Определение предела функции.

Число А называется пределом функции f(x) при х стремящимся к а, если для любого числа эбсилент >0, найдется такое число дельта, зависящее от эпсилент, что как только |x-a| будет меньше дельта (х не равен а) то тут же f(x) по модулю будут меньше эбсилант

А=Limx-af(x)

VE>0

Существует δ(E)>0; любой х принадлежащий Х; |x-a|< δ; (x не равен а)

=>|f(x)-A|<E

2.Операции над пределами.

Пусть существует предел функции f(x), при х стремящимся к а, равным А и существует предел функции g(x)=B, при х стремящимся к а, равный В, тогда существует предел функции f(x+g(x)), при х стремящимся к а, равный А=В

Существует limx-af(x)=F; существует limx-ag(x)=B

1) limx-a|f(x)+g(x)|=A+B

2) limx-af(x)*g(x)=AB

3) B не равен 0=> limx-a(f(x)/g(x))=A/B

Бесконечно малые и бесконечно большие пределы.

Функция α(х) называется бесконечно малой в точке а, х-а, если ее предел=0

Функция α(х) называется бесконечно большой в точке а, х-к бесконечности.

Теорема:

Пусть α(х) бесконечно малая в точке а, тогда 1/ α(х)- бесконечно большая, и наоборот если f(x)- бесконечно большая в точке а, то 1/ α(х)- бесконечно малая.

Вывод: если х стремится к бесконечности, и в числители и в знаменателе некоторые многочлены, а числитель> знаменателя, то предел = отношению коэффициента при старших степенях. Если степени числителя < степени знаменателя, то предел =0.

Первый замечательный предел.

Предел при х-0; Limx-0(sinx/x)=1

X, sinx- эквивалентные малые единицы, х примерно равен sinx

5. Второй замечательный предел.

Limx-∞(1+1/x)=е (е- иррациональное число)- бесконечная непериодическая дробь

е=2,71728192…

Logea= lna

Непрерывность функции.

Непрерывность функции- функция f(x) называется непрерывной точкой в хо, если существует предел функции. Limx-xof(x)=f(xo)

Существует теорема:

Все элементарные функции непрерывны в области своего определения.

7. Классификация точек разрыва функции.

1) разрыв первого рода: скачок. Limx-xo-of(x)≠Limx+xof(x)

2) Разрыв второго рода, или бесконечный разрыв имеет место тогда, когда хотя бы один из односторонних пределов бесконечны F(x)=1/x

3) Точки устранимого разрыва. Имеет место тогда, кода существует предел Limx-xof(x)≠f(xo)

F(x)=sinx/x.

Sinx/x, где х≠0, 1, где х=0

Теоремы о непрерывности функции.

Теорема Больцамо-Коши

Пусть ф-ция f(x) непрерывна на отрезке ав и на концах отрезка принимает разные знаки, тогда существует точка С из интервала ав, в которой значение этой ф-ции =0.

Теорема:

Если ф-ция непрерывна на отрезке ав и f(а)= А, а F(b)=B, если A<B, то для любого С существует точка с из интервала ав, такая, что f(c)=C

Первая теорема Веерштрассе:

Если ф-ция f(x) не прерывна на отрезке ав, то она ограничена на этом отрезке. Существуют числа m,M, такие что m≤f(x)≤M

Вторая теорема Веерштрассе:

Если ф-ция непрерывна на отрезке ав, то она достигает на этом отрезке своего минимума и максимума. Т.е. существует в точке х1 их2 отрезки, такие, что f(x1)=m; f(x2)=M

Определение производной ф-ции.

Пусть функция f(x) непрерывна на интервале ав и точка хо принадлежит ав, выберем число дельтаХ такое, что х0+дельтаХпринадлежат ав, тогда величина дельтаХ называется приращением аргумента х в точке х0.

10. Дифференцируемость функции.

Функция f(x) называется дифференцированной в точке х0, если ее приращениев той точке может быть представлено в виде как некоторое число А*дельтаХ+£(дельтах)

Дельтаf(х0)= А*дельтаХ+£(дельтах)

Дифференциал функции.

Дифференциалом функции f(х) называется главное, линейное относительно приращение элемента часть приращения функции.

Теорема: если функция дифференцириума на интервале ав, то она непрерывна на этом интервале.

12. Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть u(x) и v(x)- две дифференцируемые функции в точке х, т.е. для них существуют производные, тогда: 1) (u+v)΄=u΄+v΄, сумма тоже дифференцируема;

2) (uv)΄=u΄v+uv΄ так же дифференцируема. Следствие если с константа, то (c*u) ΄=c*u΄

3) если v≠0, то (u/v) ΄=(u΄v-uv΄)/v²

Пусть функция y=f(x) дифференциривана в точке х, в свою очередь в х есть некая функция x=φ(t), деференцируема в точке t, тогда функцию у можно записать у=f(φ(t)) при этом функция у будет дифференцируема от t (y΄t=fx΄(x)-φt΄(t))/

Функция f называется внешней, а функция φ- внутренней.

Признак выпуклости функции.

Говорят, что функция на интервале ав выпукла вверх (вниз), если ее график лежит выше (ниже) касательной графиков в любой точке этого интервала.

Точка на график ф-ции, в которой выпуклость вверх переходит в выпуклость вниз или наоборот называется точкой перегиба графикаю

Теорема: пусть функция y=f(x) дважды дифференцирована на интервале ав. Для того, чтобы ф-ця f(x0 на интервале ав была выпукла вверх ( вниз), необходимо и достаточно, чтобы f’’(x)≤0, (f”’(x)≥0)

Асимптоты графика функции.

Асимптотой графика функции называется прямая расстояние от которой до точки на графике функции стремится к 0, при бесконечном удалении точки на графике от начла координат.

Асимптоты бывают: горизонтальные, вертикальные и наклонные.

Вертикальная асимптота: х=а, где а- точка бесконечного графика ( разрыв второго рода)

Наклонные асимптоты: у=kx+b, где k- определяется из условия k=limx-±∞(f(x)-k(x))

17. Первообразная. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

Пусть ф-ция f(x) непрерывна на интервале ав, ф-ция F(x) называется первообразной для ф-ции f(x), если выполняется равенство: F’(x)=f(x)

Ясно, что если с- любое число ( постоянная величина), то F(x)+c- так же будет первообразная для f(x) (F(x)+C)’=F’(x)+C’=f(x) т.е. если ф-ция f(x) существует хотя бы 1 первообразную, то их будет бесконечное множество и все они будут отличаться друг от друга на некоторое число С.

Пусть ф-ция f(x) непрерывна на интервале ав, тогда совокупность всех первообразных для нее называется неопределенным интегралом и обозначается: ⌠f(x)dx=F(x)+C

Вычисление неопределенного интеграла называется интегрированием.

Свойства неопределенного интеграла:

1) ⌠f(x)dx=⌠dF(x)=F(x)+C

2) (⌠f(xdx)’=(F(x)+C)’=f(x)

3) ⌠(f(x)+g(x))dx=⌠f(x)dx+⌠g(x)dx

4) ⌠λf(x)dx=λ⌠f(x)dx+⌠g(x)dx

Формула Ньютона-Лейбница

Если Определение предела функции. - student2.ru непрерывна на отрезке и — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство