Множества. Операции над множествами. Символика математической логики.

Множество - это совокупность объектов, рассматриваемая как одно целое. Понятие множества принимается за основное, т. е. не сводимое к другим понятиям. Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами.

Ниже перечислены основные операции над множествами:

объединение:

пересечение:

разность:

симметрическая разность:

дополнение:

Операция дополнения подразумевает некоторый универсум (множество U, которое содержит A):

Декартово или прямое произведение:

мвол (TeX)	Название	Значение
Произношение
Раздел математики
	Импликация, следование	означает «если верно, то также верно». (→ может использоваться вместо ⇒ или для обозначения функции, см. ниже.) (⊃ может использоваться вместо ⇒, или для обозначениянадмножества, см. ниже.).
«влечёт» или «если…, то»
везде
	Равносильность	означает « верно тогда и только тогда, когда верно».
«если и только если» или «равносильно»
везде
	Конъюнкция	истинно тогда и только тогда, когда и оба истинны.
«и»
Математическая логика
	Дизъюнкция	истинно, когда хотя бы одно из условий и истинно.
«или»
Математическая логика
	Отрицание	истинно тогда и только тогда, когда ложно .
«не»
Математическая логика
	Квантор всеобщности	обозначает « верно для всех ».
«Для любых», «Для всех», «Для всякого»
Математическая логика
	Квантор существования	означает «существует хотя бы один такой, что верно »
«существует»
Математическая логика
	Равенство	обозначает « и обозначают одно и то же значение».
«равно»
везде
«Множество всех… таких, что верно…»
Теория множеств
	Пустое множество	и означают множество, не содержащее ни одного элемента.
«Пустое множество»
Теория множеств
	Принадлежность/непринадлежность к множеству	означает « является элементом множества » означает « не является элементом множества »
«принадлежит», «из» «не принадлежит»
Теория множеств
	Подмножество	означает «каждый элемент из также является элементом из ». обычно означает то же, что и . Однако некоторые авторы используют , чтобы показать строгое включение (то есть ).
«является подмножеством», «включено в»
Теория множеств
	Надмножество	означает «каждый элемент из также является элементом из ». обычно означает то же, что и . Однако некоторые авторы используют , чтобы показать строгое включение (то есть ).
«является надмножеством», «включает в себя»
Теория множеств
	Собственное подмножество	означает и .
«является собственным подмножеством», «строго включается в»
Теория множеств
	Собственное надмножество	означает и .
«является собственным надмножеством», «строго включает в себя»
Теория множеств
	Объединение	означает множество элементов, принадлежащих или (или обоим сразу).
«Объединение … и …», «…, объединённое с …»
Теория множеств
	Пересечение	означает множество элементов, принадлежащих и , и .
"Пересечение … и … ", «…, пересечённое с …»
Теория множеств
	Разность множеств	означает множество элементов, принадлежащих , но не принадлежащих .
«разность … и …», «минус», «… без …»
Теория множеств
	Функция(отображение)	означает функцию с областью определения иобластью значений .
«из … в …»,
везде
	Отображение	означает, что образом после применения функции будет .
«отображается в»
везде
	Натуральные числа	означает множество или реже (в зависимости от ситуации).
«Эн»
Числа
	Целые числа	означает множество
«Зед»
Числа
	Рациональные числа	означает
«Ку» или «Къю»
Числа
	Вещественные (действительные) числа	означает множество всех пределов последовательностей из
«Эр»
Числа
	Комплексные числа	означает множество
«Це»
Числа
	Кватернионы	означает множество
«Аш»
Числа
	Сравнение	обозначает, что строго меньше . означает, что строго больше .
«меньше чем», «больше чем»
Отношение порядка
или или	Сравнение	означает, что меньше или равен . означает, что больше или равен .
«меньше или равно»; «больше или равно»
Отношение порядка
	Приблизительное равенство	с точностью до 10−3 означает, что 2,718 отличается от не больше чем на 10−3.
«приблизительно равно»
Числа
	Арифметическийквадратный корень	означает неотрицательное действительное число, которое в квадрате даёт .
«Корень квадратный из …»
Числа
	Бесконечность	и суть элементы расширенного множества действительных чисел. Эти символы обозначают числа, меньшее/большее всех действительных чисел.
«Плюс/минус бесконечность»
Числа
	Абсолютная величина(абсолютное значение, модуль) числа, илимощность множества	обозначает абсолютную величину . обозначает мощность множества и равняется, если конечно, числу элементов .
«Модуль»; «Мощность»
Числа и Теория множеств
	Сумма (набора чисел), суммаряда	означает «сумма , где принимает значения от 1 до », то есть . означает сумму ряда, состоящего из .
«Сумма … по … от … до …»
Арифметика,Математический анализ
	Произведение	означает «произведение для всех от 1 до », то есть
«Произведение … по … от … до …»
Арифметика
	Факториал	означает произведение всех натуральных чисел от 1 до включительно, то есть
« факториал»
Комбинаторика
	Интеграл	означает «интеграл от до функции от по переменной ».
«Интеграл (от … до …) функции … по (или d)…»
Математический анализ
	Производная	или означает «(первая) производная функции от по переменной ».
«Производная … по …»
Математический анализ
	Частная производная	означает «(первая) частная производная функции от переменных по переменной ».
«Частная производная … по …»
Математический анализ
« -я производная … по …»
Математический анализ