Тема 8. Непрерывная случайная величина

Непрерывная случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения вероятностей . Найти:

1) коэффициент ;

2) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины;

3) вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу .

Задача 1

№ варианта
		1,5	2,5	0,5		2,5		1,5	0,5

Задача 2

№ варианта
		0,5	0,75				1,5
	0,5					1,5

Задача 3

№ варианта

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч. 2 / Под ред. Р.Ш. Марданова – Казань: Изд-во КФЭИ, 2001. - Гл.. 15, с. 63 – 78.

2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие под ред. проф. Р.Ш. Марданова. – Казань: Изд-во КГУ, 2009. - Гл.. 14, №№14.14 – 14.30.

Тема 9. Системы случайных величин. Элементы теории случайных функций (случайных процессов). Цепи Маркова

1. Состояние курса акций имеет 3 фазы: – низкий уровень, – средний уровень, – высокий уровень. Вектор начального состояния курса в начале первого года приведен в таблице 1.

Таблица 1

№ варианта
	0,2 0,1 0,3 0,1 0,4 0,2 0,3 0,2 0,7 0,3 0,1 0,5 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1 0,4 0,8 0,2 0,4 0,1 0,7 0,3 0,5	0,5 0,8 0,6 0,2 0,5 0,2 0,2 0,4 0,1 0,4 0,6 0,1 0,6 0,7 0,3 0,5 0,3 0,4 0,1 0,3 0,3 0,5 0,2 0,6 0,4	0,3 0,1 0,1 0,7 0,1 0,6 0,5 0,4 0,2 0,3 0,3 0,4 0,2 0,2 0,4 0,2 0,6 0,2 0,1 0,5 0,3 0,4 0,1 0,1 0,1
	0,6 0,2 0,5 0,1 0,6	0,2 0,7 0,3 0,4 0,3	0,2 0,1 0,2 0,5 0,1

В таблице 2 даны частоты перехода трех состояний курса акций.

Таблица 2

№ варианта	От состояния	К состоянию	Сумма по строке
низкий	нормальный	высокий
Продолжение таблицы 2
Продолжение таблицы 2

1) Найти матрицу Р вероятностей перехода.

2) Найти вектор состояния системы через два года .

2. Найти матрицу вероятностей перехода, если соответствующий размеченный граф состояний имеет вид:

1. 0,75     0,1 0,2 0,9 0,05     0,35 0,55 0,1

2. 0,2     0,8 0,65 0,15 0,3 0,2     0,1 0,1 0,5

3. 0,7     0,25 0,2 0,1 0,5     0,35 0,4 0,5

4. 0,15     0,5 0,75 0,1 0,65 0,15     0,4 0,1 0,2

5. 0,3     0,4 0,5 0,2 0,25 0,6   0,3 0,3 0,15

6. 0,4     0,4 0,2 0,3 0,1     0,95 0,05 0,6

7. 0,55     0,05 0,45 0,5   0,1   0,35 0,6 0,4

8. 0,1     0,1 0,6 0,3 0,15   0,05   0,7 0,2 0,8

9. 0,7     0,6 0,3 0,4 0,15     0,2 0,2 0,45

10. 0,65     0,5 0,1 0,25 0,5   0,4   0,2 0,3 0,1

11. 0,2     0,6 0,7 0,1 0,25 0,05     0,4 0,7

12. 0,8     0,85 0,2 0,3   0,5   0,05 0,1 0,2

13. 0,5     0,1 0,4 0,7 0,15     0,15 0,85 0,15

14.     0,3 0,65 0,35 0,2   0,6   0,6 0,1 0,2

15. 0,6     0,5 0,1 0,3 0,75 0,25     0,5

16. 0,3     0,1 0,5 0,2 0,2   0,7   0,8 0,1 0,1

17. 0,1     0,1 0,45 0,45   0,3   0,4 0,5 0,7

18. 0,8     0,7 0,2 0,4   0,1   0,25 0,05 0,5

19. 0,65     0,3 0,05 0,5   0,2   0,1 0,9 0,3

20. 0,35     0,4 0,2 0,65   0,1   0,55 0,05 0,7

21. 0,5     0,6 0,05 0,45 0,2   0,15   0,3 0,1 0,65

22. 0,9     0,6 0,1 0,1   0,3   0,25 0,15 0,6

23. 0,25     0,2 0,5 0,15 0,25     0,7 0,1 0,85

24. 0,75     0,5 0,25   0,1   0,8 0,2 0,4

25. 0,55     0,2 0,1 0,35 0,25   0,05   0,45 0,35 0,7

26.     0,35 0,2 0,8 0,4   0,5   0,65 0,1

27. 0,9     0,2 0,1 0,3   0,15   0,75 0,05 0,55

28. 0,55     0,5 0,2 0,25 0,45   0,3   0,15 0,35 0,25

29. 0,45     0,05 0,25 0,3 0,6   0,4   0,9 0,05

30. 0,6     0,25 0,4 0,35   0,3   0,55 0,2 0,35

3. Дана матрица Р вероятностей перехода Марковской системы. Построить граф состояний системы. Варианты заданий:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ; 24) ;

25) ; 26) ;

27) ; 28) ;

29) ; 30) .

4. Соотношение платежеспособных (состояние ) и неплатежеспособных (состояние ) клиентов банка в начале месяца определяется отношением , а вероятности переходов между этими состояниями по истечении месяца характеризуются матрицей

.

Определить отношение K в конце месяца (или в начале следующего месяца). Варианты заданий:

№ варианта
			0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,9 0,7	0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,1 0,3	0,4 0,2 0,1 0,3 0,2 0,3 0,4	0,6 0,8 0,9 0,7 0,8 0,7 0,6
			0,6 0,8 0,5 0,4 0,9 0,3 0,7 0,8 0,6 0,5 0,4 0,9 0,8 0,3 0,6 0,8 0,7 0,5 0,8 0,7 0,6 0,9 0,8	0,4 0,2 0,5 0,6 0,1 0,7 0,3 0,2 0,4 0,5 0,6 0,1 0,2 0,7 0,4 0,2 0,3 0,5 0,2 0,3 0,4 0,1 0,2	0,5 0,1 0,4 0,7 0,2 0,8 0,1 0,3 0,2 0,3 0,1 0,4 0,2 0,6 0,3 0,5 0,3 0,2 0,1 0,2 0,3 0,4 0,3	0,5 0,9 0,6 0,3 0,8 0,2 0,9 0,7 0,8 0,7 0,9 0,6 0,8 0,4 0,7 0,5 0,7 0,8 0,9 0,8 0,7 0,6 0,7

Рекомендуемая литература

1. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие под ред. проф. Р.Ш. Марданова. – Казань: Изд-во КГУ, 2009. - Гл.. 17, №№17.13 – 17.19.

Рекомендуемая литература

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2001.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2006.

3. Математика для экономических специальностей вузов. Ч. 1,2 / Под ред. Р.Ш. Марданова – Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.

4. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальные и интегральные исчисление (для втузов), т.2. – М.: Наука, 1997.

6. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие под ред. проф. Р.Ш. Марданова. – Казань: Изд-во КГУ, 2009.

7. Файзуллина М.А. и др. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике / Файзуллина М.А., Фатыхов А.Г., Шешукова Ф.И. – Казань: Изд-во КФЭИ, 2000.

Приложение 1

Таблица значений функции

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0	0,3989 0,3970 0,3910 0,3814 0,3683 0,3521 0,3332 0,3123 0,2897 0,2661 0,2420 0,2179 0,1942 0,1714 0,1497 0,1295 0,1109 0,0940 0,0790 0,0656 0,0540 0,0440 0,0355 0,0283 0,0224 0,0175 0,0136 0,0104 0,0079 0,0060 0,0044 0,0033 0,0024 0,0017 0,0012 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001	0,3989 0,3965 0,3902 0,3802 0,3668 0,3503 0,3312 0,3101 0,2874 0,2637 0,2396 0,2155 0,1919 0,1692 0,1476 0,1276 0,1092 0,0925 0,0775 0,0644 0,0529 0,0431 0,0347 0,0277 0,0219 0,0171 0,0132 0,0101 0,0077 0,0058 0,0043 0,0032 0,0023 0,0017 0,0012 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001	0,3989 0,3961 0,3894 0,3790 0,3653 0,3485 0,3292 0,3079 0,2850 0,2613 0,2371 0,2131 0,1895 0,1669 0,1456 0,1257 0,1074 0,0909 0,0761 0,0632 0,0519 0,0422 0,0339 0,0271 0,0213 0,0167 0,0129 0,0099 0,0075 0,0056 0,0042 0,0031 0,0022 0,0016 0,0012 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001	0,3988 0,3956 0,3885 0,3778 0,3637 0,3467 0,3271 0,3056 0,2827 0,2589 0,2347 0,2107 0,1872 0,1647 0,1435 0,1238 0,1057 0,0893 0,0748 0,0620 0,0508 0,0413 0,0332 0,0264 0,0208 0,0163 0,0126 0,0096 0,0073 0,0055 0,0040 0,0030 0,0022 0,0016 0,0011 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0000	0,3986 0,3951 0,3879 0,3765 0,3621 0,3448 0,3251 0,3034 0,2803 0,2565 0,2323 0,2083 0,1849 0,1626 0,1415 0,1219 0,1040 0,0878 0,0734 0,0608 0,0498 0,0404 0,0325 0,0258 0,0203 0,0159 0,0122 0,0093 0,0071 0,0053 0,0039 0,0029 0,0021 0,0015 0,0011 0,0008 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0,0000	0,3984 0,3945 0,3867 0,3752 0,3605 0,3429 0,3230 0,3011 0,2780 0,2541 0,2299 0,2059 0,1827 0,1604 0,1394 0,1200 0,1023 0,0863 0,0721 0,0596 0,0488 0,0396 0,0317 0,0252 0,0198 0,0155 0,0119 0,0091 0,0069 0,0051 0,0038 0,0028 0,0020 0,0015 0,0010 0,0007 0,0005 0,0004 0,0002 0,0002 0,0000	0,3982 0,3939 0,3857 0,3739 0,3589 0,3411 0,3209 0,2989 0,2756 0,2516 0,2275 0,2037 0,1804 0,1582 0,1374 0,1182 0,1006 0,0848 0,0707 0,0584 0,0478 0,0387 0,0310 0,0246 0,0194 0,0151 0,0116 0,0089 0,0067 0,0050 0,0037 0,0027 0,0020 0,0014 0,0010 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002 0,0000	0,3980 0,3932 0,3847 0,3726 0,3572 0,3391 0,3187 0,2966 0,2732 0,2492 0,2251 0,2012 0,1781 0,1561 0,1354 0,1163 0,0989 0,0833 0,0694 0,0573 0,0468 0,0379 0,0303 0,0241 0,0189 0,0147 0,0113 0,0086 0,0065 0,0049 0,0036 0,0026 0,0019 0,0014 0,0010 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002 0,0000	0,3977 0,3925 0,3836 0,3712 0,3555 0,3372 0,3166 0,2943 0,2709 0,2468 0,2227 0,1989 0,1759 0,1539 0,1334 0,1145 0,0973 0,0818 0,0681 0,0562 0,0459 0,0371 0,0297 0,0235 0,0184 0,0143 0,0110 0,0084 0,0063 0,0047 0,0035 0,0025 0,0018 0,0013 0,0009 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0001 0,0000	0,3973 0,3918 0,3825 0,3697 0,3538 0,3352 0,3144 0,2920 0,2685 0,2444 0,2203 0,1965 0,1736 0,1518 0,1315 0,1127 0,0957 0,0804 0,0669 0,0551 0,0449 0,0363 0,0290 0,0229 0,0180 0,0139 0,0107 0,0081 0,0061 0,0046 0,0034 0,0025 0,0018 0,0013 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,0000

Приложение 2

Таблица значений функции

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0	0,0000 0,0797 0,1585 0,2358 0,3108 0,3829 0,4515 0,5161 0,5753 0,6319 0,6827 0,7287 0,7699 0,8064 0,8385 0,8664 0,8904 0,9109 0,9281 0,9426 0,9545 0,9643 0,9722 0,9786 0,9836 0,9876 0,9907 0,9931 0,9949 0,9963 0,9973 0,9981 0,9986 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999	0,0080 0,0876 0,1663 0,2434 0,3182 0,3899 0,4581 0,5223 0,5821 0,6372 0,6875 0,7339 0,7737 0,8098 0,8415 0,8690 0,8926 0,9127 0,9297 0,9439 0,9556 0,9651 0,9729 0,9791 0,9840 0,9879 0,9909 0,9933 0,9950 0,9964 0,9974 0,9981 0,9987 0,9991 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999	0,0160 0,0955 0,1741 0,2510 0,3255 0,3969 0,4647 0,5285 0,5878 0,6424 0,6923 0,7373 0,7775 0,8132 0,8444 0,8715 0,8948 0,9146 0,9312 0,9451 0,9566 0,9660 0,9736 0,9797 0,9845 0,9883 0,9912 0,9935 0,9952 0,9965 0,9975 0,9982 0,9987 0,9991 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999	0,0239 0,1034 0,1819 0,2586 0,3328 0,4039 0,4713 0,5346 0,5935 0,6476 0,6970 0,7415 0,7813 0,8165 0,8473 0,8740 0,8969 0,9164 0,9327 0,9464 0,9576 0,9668 0,9743 0,9802 0,9849 0,9886 0,9915 0,9937 0,9953 0,9966 0,9976 0,9983 0,9988 0,9991 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999	0,0319 0,1113 0,1897 0,2661 0,3401 0,4108 0,4778 0,5407 0,5991 0,6528 0,7017 0,7457 0,7850 0,8198 0,8501 0,8764 0,8990 0,9181 0,9342 0,9476 0,9586 0,9676 0,9749 0,9807 0,9853 0,9889 0,9917 0,9939 0,9955 0,9967 0,9976 0,9983 0,9988 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999	0,0399 0,1192 0,1974 0,2737 0,3473 0,4177 0,4843 0,5467 0,6047 0,6579 0,7063 0,7499 0,7887 0,8230 0,8529 0,8789 0,9011 0,9199 0,9357 0,9488 0,9596 0,9684 0,9756 0,9812 0,9857 0,9892 0,9920 0,9940 0,9956 0,9968 0,9977 0,9984 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999	0,0478 0,1271 0,2051 0,2812 0,3545 0,4245 0,4907 0,5527 0,6102 0,6629 0,7109 0,7540 0,7923 0,8262 0,8557 0,8812 0,9031 0,9216 0,9371 0,9500 0,9606 0,9692 0,9762 0,9817 0,9861 0,9895 0,9922 0,9942 0,9958 0,9969 0,9978 0,9984 0,9989 0,9992 0,9995 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999	0,0558 0,1350 0,2128 0,2886 0,3616 0,4313 0,4971 0,5587 0,6157 0,6679 0,7154 0,7580 0,7959 0,8293 0,8584 0,8835 0,9051 0,9233 0,9385 0,9512 0,9616 0,9700 0,9768 0,9822 0,9865 0,9898 0,9924 0,9944 0,9959 0,9970 0,9979 0,9985 0,9989 0,9992 0,9995 0,9996 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999	0,0638 0,1428 0,2205 0,2961 0,3688 0,4381 0,5035 0,5646 0,6211 0,6729 0,7199 0,7620 0,7995 0,8324 0,8611 0,8859 0,9070 0,9249 0,9399 0,9523 0,9625 0,9707 0,9774 0,9827 0,9869 0,9901 0,9926 0,9946 0,9960 0,9971 0,9979 0,9985 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999	0,0717 0,1507 0,2282 0,3035 0,3759 0,4448 0,5098 0,5705 0,6265 0,6778 0,7243 0,7660 0,8029 0,8355 0,8638 0,8882 0,9090 0,9285 0,9412 0,9534 0,9634 0,9715 0,9780 0,9832 0,9872 0,9904 0,9928 0,9947 0,9961 0,9972 0,9980 0,9986 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999

Приложение 3