Разложение определителей по элементам строки и столбца.

Рассмотрим, какую роль играют определители n–го порядка в решении системы n линейных уравнений с n неизвестными и вычислении обратной матрицы. Предварительно докажем следующие две теоремы.

Теорема 1: Какую бы строку (столбец) определителя n–го порядка мы ни взяли, определитель всегда равен сумме произведений элементов этой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Иными словами, имеет место такое разложение определителя по элементам строки или столбца:

(1) или

(2).

Доказательство: В силу свойства равноправности строк и столбцов можно ограничиться выводом разложения (1). По свойству 6, (§ 3)

по теореме 2 (из предыдущего параграфа). Что и требовалось доказать.

Пример:

Теорема 2:Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) определителя равна нулю.

Иными словами: ,

.

Кроме данного определителя рассмотрим вспомогательный , у которого -я и -я строки одинаковы, а все строки, за исключением -й и -й, совпадают с соответствующими строками определителя .

Он по свойству 3 из § 3 равен 0, с другой стороны, разлагая по элементам - й строки, получим: (3) ,

где - алгебраические дополнения элементов -й строки определителя . При составлении алгебраического дополнения мы вычеркиваем в -ю строку (и -й столбец), т.е. вычеркиваем единственную строку, отличающую от .Следовательно, , где - алгебраическое дополнение элемента -й строки определителя . Таким образом, равенство (3) принимает следующий окончательный вид:

Справедливость теоремы для столбцов очевидна в силу свойства равноправности строк и столбцов.

Обратная матрица

Определение 1: Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или неособенной), если ее определитель отличен от нуля.

Произведение матриц, хотя бы одна из которых вырожденная, вновь вырожденная матрица.

Роль единицы в умножении матриц играет единичная матрица , причем она перестановочная с любой матрицей данного порядка, (доказывается это равенство непосредственным применением правила умножения матриц).

Рассмотрим вопрос о существовании для данной матрицы обратной матрицы. Ввиду некоммутативности умножения матриц, мы будем говорить о правой обратной матрице, т.е. о такой матрице , что произведение матрицы справа на эту матрицу дает единичную матрицу

(1).

Если матрица вырожденная, то если бы матрица существовала, произведение, стоящее в правой части равенства (2), было бы, как мы знаем, вырожденной матрицей, в то время как на самом деле матрица , стоящая в правой части этого равенства, является невырожденной, т.к. ее определитель равен единице. Таки образом, вырожденная матрица не может иметь правой обратной матрицы. Такие же соображения показывают, что она не имеет и левой обратной и поэтому для вырожденной матрицы обратная матрица вообще не существует.

Рассмотрим случай с невырожденной матрицей; для этого введем следующие вспомогательные понятия. Пусть дана матрица -го порядка

и .

Матрица составлена из алгебраических дополнений к элементам матрицы , причем алгебраическое дополнение к элементу стоит на пересечении -й строки и -го столбца. Эту матрицу назовем присоединенной матрицей к матрице .

Найдем произведения и . Используя известную теорему о разложении определителя по строке или столбцу, а также теорему о сумме произведений элементов любой строки или столбца на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки или столбца и обозначая через определитель матрицы .

, мы получим:

(2).

Отсюда вытекает, что если матрица невырожденная, то ее присоединенная матрица также будет невырожденной, причем определитель матрицы равен -й степени определителя матрицы . В самом деле, из равенства (2), если перейдем к определителям, то получим: , откуда ввиду .

Теперь легко доказать существование обратной матрицы для всякой невырожденной матрицы и найти ее вид. Заметим сначала, что если мы рассмотрим произведение двух матриц и все элементы одного из множителей, например , разделим на одно и то же число , то все элементы произведения также разделятся на это число: для доказательства нужно лишь вспомнить определение умножения матриц. Таким образом, если , то из равенства (2) вытекает, что обратной для матрицы будет служить матрица, получающаяся из присоединенной матрицы делением всех ее элементов на число :

.

Действительно, из (2) вытекают равенства (3).

Можно показать, что определяется однозначно.

Пример: , , .

= = E

Правило Крамера

Рассмотрим систему (4) n линейных уравнений с n неизвестными. Составим определитель из коэффициентов при неизвестных системы (4); его называют определителемсистемы. Покажем, как при помощи теоремы 1 и теоремы 2 можно решить при систему уравнений

(4) .

Перейдём к матричной записи системы (4): (5), где , , .

Если , то существует обратная матрица . Покажем, что матрица - единственное решение системы (4). Действительно,

,

т.е. - решение уравнения (5), а значит и системы (4).

Если - какое – то решение уравнения (5), то . Тогда .

Следовательно, матрица - единственное решение уравнения (5) и системы (4).

Наряду с определителем рассмотрим определители , где получается из заменой - го столбца столбцом из свободных членов: . Раскладывая определитель , , по - му столбцу, получаем:

. Выясним, как же выглядит матрица . Так как , тогда

.

Тогда . Эти формулы называют формулами Крамера.

Таким образом, мы доказали теорему:

Теорема:Если определитель системы линейных уравнений с неизвестными отличен от 0, то система имеет единственное решение, выражаемое формулами: .