Двойные и криволинейные интегралы

351-360.Вычислить двойные интегралы по области D.

351. , где D – область, ограниченная линиям

352. , где D – область, ограниченная линиями

353. , где D – область, ограниченная линиями

354. , где D – область, ограниченная линиями

355. где D – область, ограниченная линиями

356. , где D – область, ограниченная линиями

357. где D – область, ограниченная линиями

358. где D – область, ограниченная линиями

359. , где D – область, ограниченная линиями

360. где D – область, ограниченная линиями

.

361 – 370. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь фигуры, ограниченной областью D.

361. Область D ограниченна линиями: (І четв.)

362. Область D ограниченна линиями: .(І четв.)

363. Область D ограниченна линиями: . (І четв.)

364. Область D ограниченна линиями:

365. Область D ограниченна лемнискатой: (І четв.)

366. Область D ограниченна линиями:

367. Область D ограниченна линиями:

368. Область D ограниченна линиями:

369. Область D ограниченна линиями:

370. Область D ограниченна лемнискатой:

371 – 380. Вычислить криволинейные интегралы

371. где L – контур треугольника, образованного осями координат и прямой в положительном направлении, т.е. против движения часовой стрелки.

372. где L – дуга параболы от точки О (0;0) до точки

А(2;4).

373. где L – контур прямоугольника, образованного прямыми

в положительном направлении (против часовой стрелки).

374. вдоль кривой .

375. вдоль кривой от точки О (0;0) до точки А(1;1).

376. вдоль отточки О (0;0) до точки А(1;1).

377. , где L – четверть окружности 0 , против часовой стрелки.

378. , где L – первая арка циклоиды 0 .

379. вдоль линии от точки О (0;0) до точки А(1;1).

380. вдоль отрезка ОА, О (0;0), .

Ряды

421-430. Исследовать сходимость числового ряда.

421. . 422. .

423. . 424. .

425. . 426. .

427. . 428. .

429. . 430. .

431-440. Найти интервал сходимости степенного ряда.

431. . 432. .

433. . 434. .

435. . 436. .

437. . 438. .

439. . 440. .

441-450. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд, и, затем, проинтегрировав ее почленно.

441. . 442. .

443. . 444. .

445. . 446. .

447. . 448. .

449. . 450. .

451 – 460.Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

451.

452.

453.

454.

455.

456.

457.

458.

459.

460.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

В данном разделе приведены образцы выполнения заданий, содержащихся в контрольных работах.

Задания 11 – 20

Для решения задач 11 – 20 рекомендуется учебное пособие [5]

Гл. I –IV, стр.39 – 91.

В пирамиде SABC: треугольник АВС – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S. Сделать чертеж. Найти:

1. длину ребра АВ;

2. угол между ребрами АВ и AS;

3. угол наклона ребра AS к основанию пирамиды;

4. площадь основания пирамиды;

5. объем пирамиды;

6. уравнение прямой АВ;

7. уравнение плоскости АВС;

8. проекцию вершины S на плоскость АВС;

9. длину высоты пирамиды

SABC: А(-3;0;0); В(0;2;0); С(0;0;6); S(-3;4;5).

Решение

1) Длину ребра АВ находим по формуле расстояния между двумя точками:

2) Угол между рёбрами найдём по формуле косинуса угла между векторами , координаты которых определяются так:

3) Найдем координаты вектора

Найдем координаты вектора

Он перпендикулярен плоскости (грани) ABC, поэтому угол между ребром AS и гранью ABC является дополнительным к углу α между векторами

α

φ

Отсюда получаем

4) Площадь определяем с помощью векторного произведения:

,

5) Объём пирамиды находится через вычисление смешанного произведения векторов Изучите понятие смешанного произведения, формулу объёма пирамиды и формулу для вычисления смешанного произведения трёх векторов. Формула для нахождения объема V пирамиды:

7) Запишем уравнение плоскости (ABC) перпендикулярной вектору , проходящей через точку А(-3;0;0)

6) Уравнение прямой , проходящей через точки

Канонические уравнения прямой, вектор направляющий вектор прямой

7) Запишем уравнение плоскости (ABC) перпендикулярной вектору , проходящей через точку А(-3;0;0)

8) Для определения проекции вершины на плоскость выполняютсяследующие действия:

а) составляется уравнение высоты пирамиды .

б) находится точка пересечения высоты и основания решением системы, содержащей уравнение высоты и уравнение плоскости.

Решение: SO –высота пирамиды, перпендикулярна плоскости (ABC), следовательно, прямая (SO) параллельна вектору или - нормали плоскости (ABC.

Он будет направляющим для По уравнению координаты вершины , т.е.

. Так как точка О – пересечение прямой (SO) и плоскости (ABC), то ее координаты удовлетворяют системе уравнений

, которую можно решить подстановкой

Подставив во второе уравнение, найдём значение , и следовательно значения

Точка - проекция точки на плоскость

9) Длину высоты пирамиды можно найти по формуле расстояния между точками S и O или по формуле расстояния d от точки до плоскости :

Изучите формулы самостоятельно, решив задание 9).

Задания 51 – 60

Дана система линейных уравнений

Решить систему а) матричным методом, б) методом Крамера, в) методом Гаусса.

а) Матричный метод

Данной системе соответствует матричное уравнение , которое решается по формуле: . Матрицы имеют вид:

Находим обратную матрицу

Находим матрицу

б) Метод Крамера

- формулы Крамера.

Вычислим все определители

в) Метод Гаусса

Составим расширенную матрицу и преобразуем её с помощью элементарных преобразований.

Из полученной матрицы, выделяя последнюю строку, видим, что исключены неизвестные и . Найдём . .

Вторая строка соответствует уравнению:

или

Аналогично из первой строки напишем уравнение:

Итак:

Задания 91 – 100.

Дано комплексное число

Записать число в геометрической и тригонометрической формах и найти все корни уравнения

Рекомендуемая литература : Данко П.Е., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. II, гл.III, §7, стр.97 – 101.

Найдём алгебраическую форму комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа определится по формуле .

Изобразив число на плоскости, найдём и .

-1

Итак, число

Найдём корни уравнения

вычислим по формуле Муавра

Задания 111 – 120

Вычислить пределы:

а)

За скобку выносили наивысшую степень для числителя и знаменателя.

б)

Для исключения неопределённости требуется числитель и знаменатель разложить на множители.

в)

В данном случае для исключения неопределённости использованы эквивалентные бесконечно малые ,например

г)

д) Числитель и знаменатель умножаем на выражение, сопряжённое числителю.

Задания 111 – 120

Задана функция Найти точки разрыва, если они существуют.

Сделать чертёж.

.

Кусочно-заданная функция представлена функциями, непрерывными на данных интервалах.

Проверим непрерывность в граничных точках.

найдём односторонние пределы

Левосторонний и правосторонний пределы равны и равны значению функции в точке . Значит функция в этой точке непрерывна.

аналогично

Пределы различны, значит в точке функция имеет разрыв с конечным скачком.

График функции выполните самостоятельно.

Обратите внимание на учебное пособие [5] , ч.I , гл.IV, §§4 – 6.

Задания 141– 150

Найти производные следующих функций:

а) б) ;

в) г) ;

д) .

б)

в)

г)

Прологарифмируем обе части равенства

Продифференцируем обе части равенства

д)

Функция задана неявно. Учитываем, что аргумент, функция.

Задания 151 – 160

Найти функций:

Решение:

а)

б)

Задания 191 – 200

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить её график.

Рассмотрим свойства функции:

1. Область определения:

2. Чётностьь, нечётность функции:

Функция общего вида.

3. Асимптоты.

а) Так как , то прямая является вертикальной асимптотой:

б) – наклонная асимптота.

Найдём

Найдём

– уравнение наклонной асимптоты.

4. Найдём точки экстремума и интервалы монотонности функции:

Так как то действительных корней нет, значит, нет точек экстремума.

Производная на всей области определения, значит функция

убывает.

5. Точки пересечения с координатными осями

а) с осью при ,

б) с осью при .

Используя исследование функции, строим график (схематично).

Задания 141-150, 151-160, 191-200 легко выполнить, используя учебное пособие [5]? Высшая математика в упражнениях и задачах ч.I гл. VII §§ 1-2 стр. 151-183.

Задания 231-240

Показать, что функция удовлетворяет равенству:

Находим частные производные по и по :

Подставим в равенство частные производные.

;

Равенство верно.

Задания 251-260

Найти наименьшее и наибольшее значения функции

в области D=(ABCD):

y

В С

2 А D

0 1 2 x

а) Найдём стационарные точки

Точка - стационарная, но не принадлежит области D.

б) Исследуем данную функцию на границах квадрата АВСD

АВ:

Функция возрастает на границе АВ

ВС:

На границе ВС функция возрастает

Значит, на границе функция возрастает

Значит на границе функция возрастает

Найденные значения z сравним и выделяем

Задания 261 – 270

Дана функция точка и вектор

Найти в точке и производную в точке по направлению вектора .

Найдём частные производные и вычислим их значение в точке .

– направляющие косинусы вектора

Литература к заданиям 231 – 240, 251 – 260 , 261 – 270 – пособие [5],

гл. VIII §§1-2, §4.

Задания 281 – 290

Найти неопределённые интегралы, выполнив проверку дифференцированием в первых двух примерах.

Решение:

Проверка:

Метод интегрирования по частям для функции

Формула:

Проверка:

Найдём коэффициенты

Задания 301– 310

Вычислить несобственный интеграл

Несобственный интеграл расходится.

Методы интегрирования рассматриваются в учебном пособии [5], ч. I, гл. IХ. §§1-4.

Задания 321– 330

В данном задании предлагается решить дифференциальное уравнение одного из трёх типов – однородное, линейное или с разделяющимися переменными. Предлагается решение однородного уравнения

Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

.

Уравнение является однородным.

Функции однородные второго порядка.

Уравнение можно привести к виду

разделить обе части на а затем на .

Введём подстановку

Разделяем переменные:

Интегрируем обе части, получаем

Общее решение (общий интеграл) примет вид

Задание 341-350.

Найти общее и частное решения дифференциального уравнения

при начальных условиях .

Однородное уравнение

имеет характеристическое уравнение

корни которого .

Тогда общее решение

- для однородного уравнения

Согласно теории общее решение данного неоднородного уравнения имеет вид частное решение данного уравнения, правя часть которого

Учитывая стандартную формулу правой части, находим

Число не совпадает с

подбираем с учётом этого

Найдём

Общее решение данного уравнения

Найдём частное решение, взяв для отыскания

В равенства (1) и (2) подставим начальные условия: , тогда

Тема «обыкновенные дифференциальные уравнения рассмотрена в пособии [5] ч. , гл. .

Задание 371-380.

Вычислить двойной интеграл если область D ограничена окружностями

Необходимо перейти к полярным координатам, используя формулы перехода

Интеграл, звисящий от , берём по частям

В результате

Задание 391-400.

Вычислить криволинейный интеграл по дуге линии, заданной параметрически

Тогда

Задания 421-430

Исследовать сходимость числового ряда

Для исследования данного ряда применяем признак Даламбера:

, ряд расходящийся, сходящийся, нет ответа по данному признаку.

по данному условию, составим

Значит данный ряд сходящийся.

Задания 431-440

Найти область сходимости степенного ряда

Прежде всего определяется радиус сходимости степенного ряда

Значит интервал сходимости

На границах интервала рассматриваются числовые ряды.

При

Так как предел то ряд считается расходящимся.

При –знакочередующийся ряд.

1. Рассмотрим члены ряда по абсолютной величине

Члены ряда возрастают, значит по теореме Лейбница при ряд расходящийся.

Задания 441 – 450

Вычислить определённый интеграл с точностью 0,001, Разложим подынтегральную функцию в ряд, а затем проинтегрируем её почленно.

.

Используя разложение в ряд Маклорена функции

, запишем разложение

Проинтегрировав, получим:

Значение интеграла (по теореме Лейбница) соответствует сумме с точностью 0,001.

Шестое слагаемое поэтому взято пять слагаемых.

Типовые задачи по теме «Ряды» рассматриваются в учебном пособии [5], ч. , гл. ,§§1-6.

Задания 451 – 460.

Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения удовлетворяющего данному условию

Используем разложение искомой функции в ряд Тейлора около точки .

В нашем примере т.е. первый член ряда обращается в ноль.

Из заданного дифференциального уравнения

Поэтому второй член ряда имеет вид . Чтобы найти третий член ряда продифференцируем обе части нашего уравнения

И поэтому следующий член ряда равен . Аналогично

Третий нулевой член ряда

Окончательно:

Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов рассматривается в учебном пособии [5] ч. гл. , §4.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Литература

Основная литература

1. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математ