Матрицы. системы линейных уравнений

МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Учебно-методическое пособие

Томск

РАССМОТРЕНО и УТВЕРЖДЕНО методической комиссией факультета прикладной математики и кибернетики.

ПРОТОКОЛ № 26 от 26 января 2007 г.

Председатель комиссии

профессор С.Э.Воробейчиков

В учебно-методическом пособии приведены краткие теоретические сведения и даны практические рекомендации к решению задач по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».

Пособие разработано для студентов факультета прикладной математики и кибернетики дневной формы обучения.

Составители: К.И.Лившиц

Л.Ю.Сухотина

1. Матрицы

Основные понятия

Определение.Пусть — множество чисел и — набор из элементов множества . Прямоугольная таблица

,

состоящая из строк и столбцов, называется матрицей.

Числа , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. Совокупность элементов образуют ю строку матрицы, а совокупность элементов образует й столбец матрицы. Величины и называются порядками матрицы.

Две матрицы, имеющие одинаковое число строк и одинаковое число столбцов называются матрицами одинакового типа. Две матрицы и называются равными, если они имеют одинаковые порядки и .

Если , матрица называется квадратной. Совокупность элементов называется главной диагональю матрицы. Квадратная матрица, у которой отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называется диагональной. Если все диагональные элементы диагональной матрицы , то диагональная матрица называется единичной и обозначается символом .

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается . Нулевые матрицы различных порядков считаются различными, так как состоят из разного числа элементов.

Квадратная матрица называется верхней треугольной, если из следует, что и нижней треугольной, если из следует, что .

Матрицу, состоящую из одной строки, называют вектор — строкой, а матрицу, состоящую из одного столбца, называют вектор — столбцом. Например, матрица вектор — строка размера .

Действия с матрицами

1. Транспонирование матриц. Операция транспонирования матриц состоит в перемене местами строк и столбцов с сохранением их номеров. Пусть дана матрица порядка . Тогда транспонированной по отношению матрице называется матрица порядка , элементы которой . Транспонирование матрицы обозначается как .

Пример. Пусть Тогда

2. Сложение матриц.Операция сложения вводится только для матриц одинакового типа. Суммой двух матриц и одинакового типа называется матрица того же типа, элементы которой Используется обозначение .

3. Умножение матрицы на число.Произведением матрицы порядка и числа называется матрица того же типа, элементы которой . Используется обозначение .

Пример.Пусть

Тогда матрица

4. Умножение матрицы на матрицу. Операция умножения матрицы на матрицу вводится для прямоугольных матриц при условии, что число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Произведением матрицы порядка и матрицы порядка , заданных в определенном порядке ( — первая, — вторая), называется матрица порядка , элементы которой

Таким образом, элемент матрицы есть сумма произведений элементов - й строки матрицы на соответствующие элементы - го столбца матрицы .

Пример 1. Пусть . Тогда

,

.

Пример 2.Пусть . Тогда

.

Задачи

Вычислить произведения матриц:

1. 2. . 3. .

4. . 5. .

6. Доказать, что если для матриц и оба произведения и существуют, причем , то матрицы и - квадратные и имеют одинаковый порядок.

Вычислить выражения:

7. . 8. . 9. .

10. , порядок матрицы равен .

11. Найти значение многочлена от матрицы .

12. Доказать, что если матрицы и - квадратные и имеют одинаковый порядок, причем , то

а) . б) .

13. Доказать, что если матрицы и - квадратные и имеют одинаковый порядок, причем , то

.

14. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей

.

Определители

Основные понятия

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц. Пусть — квадратная матрица порядка . Составим произведение из различных элементов матрицы , выбирая по одному и только одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Запишем это произведение в виде . Будем называть его членом определителя. Рассмотрим последовательность чисел . По самому построению члена определителя это различные числа, которые представляют собой перестановку чисел от 1 до . Назовем инверсией в перестановке такое расположение чисел, когда старшее стоит перед младшим. Например, в перестановке 1,2,4,5,7,9,10,8,3,6 будет 12 инверсий. Обозначим число инверсий в перестановке через . Так как из чисел можно составить различных перестановок, то число различных членов определителя равно !

Определение. Определителем (детерминантом) матрицы называется алгебраическая сумма ! членов определителя перед каждым из которых стоит знак . Или

где сумма берется по всем возможным перестановкам .

Хотя определитель матрицы это число, будем для удобства столбцы и строки матрицы называть также столбцами и строками ее определителя .

Пример. Вычислим определитель матрицы второго порядка

.

Члены определителя имеют вид , где принимают значения 1 и 2. Возможны две пары значений и . Поэтому

.

Свойства определителя

1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется, т.е. . Поэтому свойства, сформулированные для столбцов матрицы, справедливы и для строк.

2. При перестановке двух столбцов (строк) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

3. Обозначим через определитель, й столбец которого есть вектор-столбец . Если все элементы го столбца определителя представлены в виде линейной комбинации двух слагаемых , где и фиксированные числа, то определитель равен линейной комбинации двух определителей

.

Например,

.

4. Определитель матрицы с двумя одинаковыми столбцами равен нулю.

6. Если некоторый столбец матрицы состоит из нулей, то определитель этой матрицы равен нулю.

7. Если к элементам одного столбца определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится. Например,

.

Вычисление определителей

Основным приемом вычисления определителя го порядка является сведение его к определителям более низкого порядка с помощью формул разложения. При этом полезен учет свойств определителя, позволяющий существенно уменьшить объем вычислений.

Пример 1. Вычислить определитель

Разложим определитель по первому столбцу. Получим

.

Таким образом, вычисление определителя четвертого порядка свелось к вычислению четырех определителей третьего порядка. Далее, разлагая определители третьего порядка по первому столбцу, получим

и т.д. Окончательно получим .

Вычисления значительно упростятся, если воспользоваться свойствами определителя. По свойству 7 можно, не меняя значения определителя, прибавить второй, третий и четвертый столбцы к первому, а затем первую строку вычесть из второй, третьей и четвертой. Получим

Пример 2. Вычислить определитель треугольной матрицы го порядка

.

Для вычисления разложим определитель по последней строке. Получим, что , где треугольный определитель порядка . Определитель снова разложим по последней строке и т.д. Продолжая аналогичные рассуждения, получим что .

Пример 3. Вычислить определитель матрицы го порядка

.

Подобные определители можно достаточно просто преобразовать к треугольному виду. Для этого прибавим все столбцы к первому и затем вычтем первую строку из всех остальных. Получим

Пример 4. Следующий метод вычисления определителей го порядка называется методом рекуррентных соотношений. Этот метод заключается в том, что данный определитель выражают, преобразуя его и раскладывая по строке или столбцу, через определители того же вида, но более низкого порядка. Полученное равенство называется рекуррентным соотношением.

Рассмотрим идею метода на примере вычисления определителя трехдиагональной матрицы или матрицы Якоби (матрицей Якоби называется матрица , если из следует ). Вычисление определителей матриц Якоби часто приводит к рекуррентному соотношению вида

,

где и постоянные числа. Для нахождения необходимо решить полученное уравнение. Заменим соответствующей степенью переменной

.

Перенося все слагаемые в левую часть и сокращая на , получим квадратное уравнение , называемое характеристическим уравнением. Пусть корни этого уравнения. Тогда возможны два случая: и .

Если , то определитель имеет вид

,

где числа находятся из условий

.

Определители и в левых частях условий вычисляются непосредственно из вида .

Если , то

,

а числа находятся из условий

.

Рассмотрим конкретный пример. Вычислим определитель го порядка

, .

Разложим определитель по последнему столбцу

.

Первый определитель в правой части является определителем порядка того же типа, что и . Второй определитель разложим еще раз по последней строке. Минор, дополнительный к ненулевому элементу в последней строке, вновь представляет собой определитель того же типа, что и , но порядка . В итоге получим рекуррентное соотношение для

.

Соответствующее характеристическое уравнение

имеет корни и . Так как , то и . Из вида находим

.

Тогда для определения получим систему уравнений

решая которую, находим

(при решении использовались равенства: ). Тогда

.

Пример 5. Вычислить определитель го порядка

.

Представим элементы последнего столбца в виде суммы двух слагаемых: . Тогда по свойству 3. определитель представится в виде суммы двух определителей

.

Первый определитель разложим по последнему столбцу. Второй определитель приведем к треугольному виду, вычитая последний столбец из всех остальных. Тогда

(1)

где является определителем порядка того же типа, что и .

Решим полученное уравнение для . Из вида при имеем .Выписывая (1) при с учетом равенства для , получаем

.

Методом математической индукции теперь нетрудно показать, что .

Пример 6.Вычислить определитель го порядка

.

Представим элементы последнего столбца в виде суммы двух слагаемых: и распишем определитель как сумму двух определителей

.

Первый определитель разложим по последнему столбцу. Для вычисления второго определителя умножим последний столбец на и вычтем из остальных. Получим

Для решения полученного рекуррентного соотношения воспользуемся тем, что при транспонировании матрицы ее определитель не меняется. В нашем случае транспонировании приводит к замене на наоборот. Поэтому имеем два равенства

Откуда .

Пример 7.Следующий пример иллюстрирует применение теоремы Лапласа. Нужно вычислить определитель квазитреугольной матрицы порядка . Квазитреугольной называют блочную матрицу вида , где квадратные матрицы, прямоугольная матрица, нулевая матрица. В подробной записи матрица имеет вид

.

Пусть . Покажем, что . Воспользуемся теоремой Лапласа. Разложим этот определитель по первым строкам. Очевидно, что из первых строк можно составить только один минор го порядка не содержащий нулевого столбца, у которого номера выделяемых столбцов удовлетворяют условию . Этот минор есть . Дополнительным к нему минором является определитель , что и доказывает формулу.

Задачи

1. Определить число инверсий в перестановках:

а) 1,9.6,3.2.4.7.8.

б) .

в) .

2. Выбрать значения и так, чтобы произведение входило в определитель 7-го порядка со знаком плюс.

3. С каким знаком входит в определитель порядка произведение элементов побочной диагонали?

4. Найти члены определителя

,

содержащие и .

5. Пользуясь только определением, вычислить определитель

.

6. Пользуясь только свойствами определителей вычислить следующие определители:

а) . б) .

в) . г) .

д) , где .

7. Не вычисляя определителей, доказать следующие тождества:

а) .

б) .

в) .

г) .

8. Пользуясь свойствами определителей, включая разложение по строке или столбцу, доказать тождество:

.

9. Разлагая по 2-му столбцу, вычислить определитель

.

Вычислить определители:

10. . 11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

В следующих задачах, где по виду определителя нельзя установить его порядок, предполагается, что он равен .

Вычислить следующие определители, приводя их к треугольному виду.

17. . 18. .

19. 20. .

Вычислить следующие определители методом рекуррентных соотношений.

21. 22. .

23. . 24. .

Пользуясь теоремой Лапласа вычислить следующие определители.

25. . 26. . 27. .

28. . 29. .

Вычислить определители:

30. . 31. .

32. . 33. .

34. .

35. . 36. .

37. Порядок следующего определителя равен :

.

38. .

39. . 40. .

41. .

42. .

Обратная матрица

Квадратная матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице того же порядка, если

.

Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является невырожденность матрицы т.е.

.

В этом случае обратная матрица существует, является единственной и определяется соотношением

,

где алгебраические дополнения элементов матрицы .

Обратная матрица обладает следующими свойствами:

1. .

2. .

3. .

Полезно помнить, что если матрица является треугольной, то является треугольной того же типа, что и матрица . Обратная к симметричной матрице тоже симметрична.

Пример. Найти матрицу обратную к матрице

.

Определитель и, следовательно, обратная матрица существует. Алгебраические дополнения элементов матрицы равны

Поэтому

.

Задачи

Найти матрицы обратные к данным.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. .

6. .

7. Решить матричные уравнения:

а) .

б) .

8. Показать, что вычисление матрицы, обратной к данной матрице порядка , можно свести к решению систем линейных уравнений, каждая из которых содержит уравнений с неизвестными и имеет матрицей коэффициентов при неизвестных матрицу .

9. Как изменится обратная матрица , если в данной матрице :

а) переставить ю и ю строки?

б) ю строку умножить на число ?

в) к й строке прибавить ю, умноженную на число , или совершить аналогичное преобразование столбцов?

Ранг матрицы

Основные понятия

Определение 1. Пусть даны вектор – столбцов порядка

и скаляров . Умножая на и складывая, получим вектор – столбец с элементами , который называется линейной комбинацией столбцов .

Определение 2. Столбцы называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа , не равные нулю одновременно, что линейная комбинация

,

где ноль справа это нулевой вектор – столбец.

Определение 3. Столбцы называются линейно независимыми, если равенство

возможно только при условии .

Необходимым и достаточным условием линейной зависимости вектор – столбцов является равенство одного из них линейной комбинации других.

Пример. Пусть даны вектор – столбцы

.

Нетрудно заметить, что столбец равен сумме . Поэтому при линейная комбинация данных столбцов равна нулю и, следовательно, они линейно зависимы.

В общем случае проверка условия линейной зависимости сводится к нахождению ненулевого решения системы уравнений

Рассмотрим теперь матрицу порядка .

Определение 4. Натуральное число называется рангом матрицы , если у нее имеется минор порядка отличный от нуля, а все миноры порядка и выше, если это возможно, равны нулю. Очевидно, что .

Определение 5. Если ранг матрицы равен , то всякий отличный от нуля минор порядка матрицы называется базисным минором. Строки и столбцы матрицы , на пересечении которых расположен базисный минор, называются базисными строками и столбцами.

Теорема (о базисном миноре). Базисные столбцы (строки) матрицы линейно независимы. Любой столбец (любая строка) матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов (строк).

Из последних утверждений следует второе определение ранга матрицы: ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых столбцов (строк).

Вычисление ранга матрицы

Вычисление ранга матрицы можно проводить одним из следующих способов.

Первый состоит в сведении данной матрицы с помощью элементарных преобразований к канонической матрице. Каноническая матрица является блочной матрицей, у которой один из блоков представляет собой единичную матрицу, а все остальные блоки – нулевые матрицы.

Каноническую матрицу можно записать в виде

.

Ранг канонической матрицы равен, очевидно, числу единиц, стоящих на диагонали. Преобразования, не меняющие ранга матрицы, называются элементарными. К их числу относятся:

1. Перестановка двух любых столбцов (строк) матрицы.

2. Умножение столбца (строки) на отличное от нуля число.

3. Прибавление к одному столбцу (строке) линейной комбинации других столбцов (строк).

Пример. Вычислить ранг матрицы

.

Вычтем первый столбец из четвертого и шестого, а в получившейся матрице второй столбец приб