Назначение лабораторной работы, основные решаемые задачи.

Работа предназначена для первоначального ознакомления студентов с одной из основных задач математической экологии, а также с частными методами исследования динамических систем, применяемыми в экологии.

Она посвящена исследованию процессов роста и затухания хорошо перемешанной изолированной популяции живых существ.

Динамика популяции математически описывается нелинейным дифференциальнымуравнением c эмпирически подобранными коэффициентами. Для его исследования применяются методы:

- фазовой плоскости,

- численного интегрирования,

- функций чувствительности.

Рассматривается математическая модель и элементы динамики изолированной популяции, при условиях пространственной однородности, то есть равномерного распределения по ареалу обитания, как самой популяции и всех ее характеристик (соотношения численности перекрывающихся во времени поколений и проч.), так и ее трофического (пищевого) ресурса.

Пусть:

- площадь ареала обитания популяции - S,

- численность популяции - n,

- величина численности, принимаемая за базовую, (например, начальная на момент начала

анализа) - n₀.

Примем в качестве характеристики численности популяции ее нормированную или относительную плотность в ареале, равную нормированной или относительной численности популяции N=(n/S)/(n₀ /S)=n/n₀.

Динамика популяции во времени t, измеряемом средним временем смены поколений, определяется ее законом роста dN/dt = F(N) и описывается дифференциальным уравнением вида:

F(N) = dN/dt = (B(N) – D(N))*N. (1)

Здесь B(N) и D(N) - соответственно, функции рождаемости и смертности.

Их разность

B(N) – D(N) = M(N) (2)

иногда называют мальтузианской функцией.

Для анализа динамики популяции задается вид функций рождаемости и смертности

в форме их зависимостей от относительной плотности популяции в ареале и учитываемых параметров популяции и условий ее существования.

Придав функциям рождаемости и смертности в популяции, а также условиям ее существования «человеческие» параметры, исполнители работы выясняют характер совместного и раздельного влияния параметров условий существования на характеристики роста и (или) затухания популяции.

В качестве этих параметров рассматривается

- среднее число детей в сложившихся семьях,

- уровень зараженности популяции практически неизлечимыми социальными болезнями

(коэффициент наркотичности),

- качество жизни и др.

Анализ динамики популяции выполняется поэтапно.

На первом этапе анализируется вид функций рождаемости B(N), смертности D(N), мальтузианской функции M(N), а также фазовый портрет динамики, который строится в координатах (N,Nprime = dN/dt).

Рассматриваемая здесь популяция при определенных ее параметрах имеет участки роста и затухания численности, а также увеличения и снижения темпа роста, разграниченные характерными точками:

- критическим порогом относительной плотности,

- относительной плотностью, при которой достигается максимальный темп роста,

- относительной емкостью ареала.

На втором этапе работы анализируются переходные процессы в популяции N(t) при ненулевых начальных условиях, рассматривается уровень, к которому стремится относительная плотность популяции и темп процесса.

На третьем этапе работы углубленно анализируется важнейшее параметрическое влияние уровня наркотичности популяции на характер процессов в ней.

На четвертом этапе работы оценивается чувствительность динамических характеристик популяции по отношению к ее параметрам.

Работа выполняется в среде МАТЛАБ, при этом используются знания и навыки, приобретенные при выполнении лабораторной работы № 1. Используются приведенные в приложениях программы.

Отчет о лабораторной работе должен включать в себя основные полученные исполнителями графики, таблицы, в которые удобно свести численные результаты, комментарии к ним, выводы по всем выполненным исследованиям.

2. Рабочие уравнения динамики популяции.

В программах моделирования динамики популяции EL12maltus, EL12maltode, EL12grow, EL12narcborder, приведенных в приложении, используются следующие конкретные формы уравнений этой динамики.

Функции рождаемости и смертности:

Birth=.125.*NChild.*(1 - exp(-1 .*Commun.*N)).*exp(-7.6.*Narc.*N).*QLife; (3)

Death=.125.*(1+N.^Contest).*(2-1.*exp(-2 .*Narc.*N))./QLife ; (4)

Мальтузианская функция:

Increment=Birth-Death ; (5)

Производная от относительной численности или плотности популяции в ареале:

Nprime=Increment.*N . (6)

Параметрами уравнений принимаются следующие среднестатистические для популяции коэффициенты, выбором численных значений которых популяции придается «человеческоелицо»:

NChild - среднее количество детей у сложившейся брачной пары - основной

параметр популяции, предопределяющий ее рост или затухание.

За стандартное значение принимается 3, варьируется от 1 до 5, в отдельных

(гиперболизированных) задачах - до 10 или даже до 15 ;

Narc - коэффициент наркотичности популяции, практически предопределяющий почти

полное затухание ее части.

За стандартное значение принимается 0.001, варьируется от 0.0001 до уровней

0.05 - 0.1 или даже до 0.2, предопределяющих затухание популяции при любых

мыслимых значениях предыдущего параметра ;

Commun - коэффициент коммуникабельности, для биологических объектов

приближенно описывающий соотношение между среднеквадратическими

значениями радиусов индивидуальной активности члена популяции и

приходящегося на него субареала обитания.

Принимается > 1, стандартное значение - 1.3;

QLife - коэффициент качества жизни, при детальном рассмотрении являющийся

функцией естественных и искусственных ресурсов, приходящихся на одного

члена популяции, и к.п.д. их использования на его благо.

За стандартное значение принимается 1, варьируется от 0.5 до 1.5;

Contest - коэффициент, описывающий средний уровень конкуренции членов популяции

в получении жизненных ресурсов при базовом значении численности

популяции.

За стандартное значение принимается 1.1, варьируется в диапазоне 1 2.

Уравнения (3) и (4) позволяют рассчитать и отобразить графически зависимость рождаемости и смертности в популяции от ее относительной численности.

Подключение уравнения (5) позволяет определить мальтузианскую функцию.

Интегрирование уравнения (6) со связями, представленными предыдущими уравнениями, дает относительную численность популяции во времени ее роста или затухания.

3. Исследование функций рождаемости, смертности, мальтузианской функции, фазового портрета популяции.

Рекомендации (практические) и ограничения.

Исследование выполняется методом математического моделирования динамики популяции на основе приведенных выше уравнений.

Моделирование выполняется с помощью программ, приведенных в приложении.

В учебной лаборатории программы стоят в субдиректории worcпакета программ МАТЛАБ 6.1.

Для работы на домашнем компьютере откопируйте программы в отдельные файлы, поместив их в субдиректорию worc указанной или иной, лучше одной из последующих версий МАТЛАБА.

Поскольку система команд всех версий пакета в основном едина, программы легко адаптировать к любой версии, начиная с 3.1.

Работа пользователя ограничивается вводом нужных значений указанных выше параметров, вызовом программ и выходом из режима пользования ими.

Другие изменения в программах в ходе выполнения лабораторных работ неразрешаются.

Перед работой создайте резервные копии программ, зафиксируйте начальные значения параметров, которые вы должны будете снова ввести в конце работы.

Для хранения своих результатов в лаборатории создайте свой файл или даже субдиректорию по адресу D:\students\(курс)\(группа)

Хотя расчеты выполняются в МАТЛАБЕ, оформление отчета о работе удобнеевыполнять в текстовом редакторе WORD.

В начале каждого раздела работы освойте работу с программами.