Метод конечных элементов (МКЭ).

В методе Рэлея-Ритца координатные функции, определенные во всем теле, должны удовлетворять кинематическим краевым условиям, что для тел сложной формы сделать практически невозможно. Кроме того, матрица системы уравнений относительно коэффициентов при координатных функциях (обобщенных координат) оказывается полностью заполненной и, как следствие, плохо обусловленной.

В МКЭ используются простые (как правило, полиномиальные) координатные функции, определенные лишь в одной подобласти – в конечном элементе, а вне него равные нулю. Поэтому даже при одинаковой степени аппроксимации искомой функции в каждом из элементов координатные функции линейно независимы.

В качестве обобщенных координат принимаются значения искомой функции в некоторых точках на границе и внутри элемента (узлах) и координатные функции в конечном элементе называются функциями формы.

Рассмотрим в качестве примера элементы для одномерных задач.

1. Элемент первого порядка (линейная аппроксимация)

Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru

Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru

Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru
Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru
Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru
Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru  

2. Элемент второго порядка (квадратичная аппроксимация)

Квадратичная функция имеет вид Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru

Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru  
Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru
Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru
Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru
Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru
Коэффициенты Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru можно найти из системы

Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru .

На практике Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru записывают в виде

Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru , где функции формы должны удовлетворять условиям:

Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru

Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru

Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru

Пример 2. Продольные колебания консольного стержня постоянного сечения.

Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru
Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru
Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru
Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru
Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru
(1)
(2)

Найдем матрицы инерции и жесткости для элемента первого порядка длиной Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru

Имеем Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru

Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru

Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru

Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru

Разобьем стержень длиной Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru на два элемента длиной Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru и, складывая кинетические и потенциальные энергии элементов, получим с учетом выполнения Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru

Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru

Уравнения Лагранжа имеют вид

Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru .

Отыскивая решение в виде Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru получим

Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru ,

и, приравнивая нулю определитель, получим частотное уравнение

Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru

Откуда Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru ,

Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru .

Точные значения собственных частот равны

Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru

Первая собственная частота превышает точную на Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru вторая Метод конечных элементов (МКЭ). - student2.ru .

В заключение заметим, что превышение приближенных значений собственных частот точных значений неслучайно – система с бесконечным числом степеней свободы всегда «мягче» построенных дискретизацией расчетных моделей.

Литература

1.Кочин Н.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Наука, 1965. 427с.

2. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990.414с.

3. Жилин П.А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве.-

Санкт-Петербург, Изд-во «Нестор»,2001.275с.

4. Елисеев В.В. Механика упругих тел. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003.336с.

5. Жилин П.А. Теоретическая механика. Фундаментальные законы механики:

Учеб. Пособие. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003.340с.

6. Айзерман М.А. Классическая механика.- М., Наука,: 1974.367с.

7. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике.- М., Наука, 1966.

8. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний: Учебник для вузов. -М.:

Высш.школа,1980. – 408с.

9. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М., 1967.

10. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: ГИФМЛ, 1961. 824 с.

Наши рекомендации