Специальные операции реляционной алгебры

Первой специальной операцией реляционной алгебры является горизонтальный выбор, или операция фильтрации, или операция ограничения отношений. Для определения этой операции нам необходимо ввести дополнительные обозначения.

Пусть а — Булево выражение, составленное из термов сравнения с помощью связок И (^), ИЛИ (), НЕ (-) и, возможно, скобок. В качестве термов сравнения допускаются:

а) терм А ос а, где А — имя некоторого атрибута, принимающего значения из домена D; а — константа, взятая из того же домена D, a D; ос — одна из допустимых для данного домена D операций сравнения;

б) терм А ос В, где А, В — имена некоторых Q-сравнимых атрибутов, то есть атрибутов, принимающих значения из одного и то же домена D.

Тогда результатом операции выбора, или фильтрации, заданной на отношении R в виде Булева выражения, определенного на атрибутах отношения R, называется отношение R[G], включающее те кортежи из исходного отношения, для которых истинно условие выбора или фильтрации:

R[G(r)] = {r | r R ^ G(r) = "Истина"}

Операция фильтрации является одной из основных при работе с реляционной моделью данных. Условие а может быть сколь угодно сложным.

Например, выбрать из R₁₀ детали с шифром «0011003». R₁₂ =R₁₀[ Шифр детали = «0011003»]

R12
Шифр детали	Название детали	Цех
000 1 1003	Болт М 1	Цех 1
	Болт М 1	Цех 3

Следующей специальной операцией является операция проектирования. Пусть R — отношение, S_R = (А₁, ... , А_n) — схема отношения R. Обозначим через В подмножество [ Аi]; В { Аi }При этом пусть В¹ — множество атрибутов из { Ai }, не вошедших в В. Если В = {A¹j.A²j .....A^kj}, В¹ = {А¹j,А²j,...,А^kj}и r = <а¹j, а²j,...,а^kj >, а^kj А^kji, то r [В], s= < a¹j, а²_j, ... , а^m, > ; а^m, А^mj

Проекцией отношения R па набор атрибутов В, обозначаемой R[B], называется отношение со схемой, соответствующей набору атрибутов В S_R|_B| = В, содержащему кортежи, получаемые из кортежей исходного отношения R путем удаления из них значений, не принадлежащих атрибутам из набора В.

R[B] = {r[В]}

По определению отношений все дублирующие кортежи удаляются из результирующего отношения.

Операция проектирования, называемая иногда также операцией вертикального выбора, позволяет получить только требуемые характеристики моделируемого объекта. Чаще всего операция проектирования употребляется как промежуточный шаг в операциях горизонтального выбора, или фильтрации. Кроме того, она используется самостоятельно на заключительном этапе получения ответа на запрос. Например, выберем все цеха, которые изготавливают деталь «Болт Ml».

Для этого нам необходимо из отношения R₁₀ выбрать детали с заданным названием, а потом полученное отношение спроектировать на столбец «Цех». Результатом выполнения этих операций будет отношение R₁₄:

R₁₃⁼ R₁₀ [ Название детали = «Болт Ml» ]

R₁₄ = R₁₃ [ Цех |

R13
Шифр детали детали	Название	Цех
	Болт M1	Цех 1
	Болт M1l	Цех3

R14

Цех

Цех 1

Цех 3

Следующей специальной операцией реляционной алгебры является операция условного соединения.

В отличие от рассмотренных специальных операций реляционной алгебры: фильтрации и проектирования, которые являются унарными, то есть производятся над одним отношением, операция условного соединения является бинарной, то есть исходными для нее являются два отношения, а результатом — одно.

Пусть R = {r}, Q = { q } — исходные отношения,

S_R, S_Q — схемы отношений R и Q соответственно.

S_R = (А₁, А₂, ... , A_k): S_Q = (В₁ В₂, ... , B_m),

где А,, В, — имена атрибутов в схемах отношений R и Q соответственно. При этом полагаем, что заданы наборы атрибутов А и В

А { А_i } ,_j=1,k; В { B_j } _j=1,m, и эти наборы состоят из Q-сравнимых атрибутов.

Тогда соединением отношений R и Q при условии р будет подмножество декартова произведения отношений R и Q, кортежи которого удовлетворяют условию р, рассматриваемому как одновременное выполнение условий:

• r.A_j Q_j В_i, : i=l,k, где k — число атрибутов, входящих в наборы А и В, а Q_j— конкретная операция сравнения.
• A_j Q_j В_i D_i Qi — i-й предикат сравнения, определяемый из множества допустимых на домене D_i операций сравнения.

R [ Р ] Q = { r.q) | (г. q) | r.A Q_j q.B_j - «Истина», i=l,k}

Например, рассмотрим следующий запрос. Пусть отношение R₁₅ содержит перечень деталей с указанием материалов, из которых эти детали изготавливаются, и оно имеет вид:

R15
Шифр детали	Название детали	Материал
	Гайка Ml	сталь-ст1
	Гайка М2	сталь-ст2
	Гайка МЗ	сталь-ст1
	Болт М1	сталь-стЗ
	Болт МЗ	сталь-стЗ
	Шайба Ml	сталь-ст1
	Шайба МЗ	сталь-ст1
	Гайка М4	сталь-ст2
	Болт М2	сталь-стЗ
	Болт М5	сталь-стЗ
	Шайба М2	сталь-ст1

R16

Название детали

Гайка M1

Гайка МЗ

Шайба М1

Шайба МЗ

Шайба М2

Получим перечень деталей, которые изготавливаются в цеху 1 из материала «сталь-ст1»

R₁₆⁼ (R₁₅[(R₁₅Шифр детали =R₁₀.Шифр детали) ^R₁₀.Цех = «Цех1» ^ ^ R₁₅.Материал =«сталь-ст1»] R₁₀)[Hазвание детали]

Последней операцией, включаемой в набор операций реляционной алгебры, является операция деления.

Для определения операции деления рассмотрим сначала понятие множества образов.

Пусть R — отношение со схемой S_R = (A1, A₂ ,..., A_k);

Пусть А — некоторый набор атрибутов А { А_i } i=l,k , А¹ — набор атрибутов, не входящих в множество А.

Пересечение множеств А и А¹ пусто: А А¹ = 0; объединение множеств равно множеству всех атрибутов исходного отношения: A А¹ = S_R.

Тогда множеством образов элемента у проекции R[А] называется множество таких элементов у проекции R[A¹] , для которых сцепление (х, у) является кортежами отношения R, то есть

QA(x) = {у | у R[A¹] ^ (х, у) R} - множество образов.

Например, множеством образов отношения R₁₅ по материалу «сталъ-ст2» будет множество кортежей

К₁₅.Материал = {< 00011075, Гайка М2, «сталь-ст2»>, < 00011077, Гайка М4, «сталь-ст2»>}

Дадим теперь определение операции деления. Пусть даны два отношения R и Т соответственно со схемами: S_R = (А₁, А₂, ... , A_k); S_T =-(В₁, В₂, ... , В_m);

А и В — наборы атрибутов этих отношений, одинаковой длины (без повторений);

А S_R ; В S_T. Атрибуты А¹ — это атрибуты из R, не вошедшие в множество А.

Пересечение множеств А А¹ = — пусто и A А¹ = S^R. Проекции R[A] и Т[В] совместимы по объединению, то есть имеют эквивалентные схемы: S_R|_A|~ S_T[B|.

Тогда операция деления ставит в соответствие отношениям R и Т отношение

Q = R[A:B]T, кортежи которого являются теми элементами проекции R[A¹], для которых Т[В] входит в построенные для них множество образов:

R[A:B]T = {r | r R[A¹] ^ Т[В] (у | у R [А] ^ (r, у) R } }.

Операция деления удобна тогда, когда требуется сравнить некоторое множество характеристик отдельных атрибутов. Например, пусть у нас есть отношение R₇, которое содержит номенклатуру всех выпускаемых деталей на нашем предприятии, а в отношении R₁₀ хранятся сведения о том, что и в каких цехах действительно выпускается. Поставим задачу определить перечень цехов, в которых выпускается вся номенклатура деталей.

Тогда решением этой задачи будет операция деления отношения R₁₀ на отношение R₇ по набору атрибутов (Шифр детали, Наименование детали).

R₁₇⁼ R₁₀[Шифр детали, Наименование детали: Шифр детали, Наименование детали] R₇

R 17

Цех

Цех1

Операция деления достаточно сложна для абстрактного представления. Она может быть заменена последовательностью других операций. Действительно, выполним тот же запрос с использованием других операций. Для этого определим последовательность промежуточных запросов, которая приведет нас к конечному результату:

1. Построим отношение, которое моделирует ситуацию, когда в каждом цеху изготавливается вся номенклатура, это уже построенное нами ранее расширенное декартово произведение отношений R₇ и R₈. Это отношение R₉:

R₉ = R₇R₈

1. Теперь найдем перечень того, что из обязательной номенклатуры не выпускается в некоторых цехах

R₁₁ =R₉\R₁₀

1. Далее найдем те цеха, в которых не все детали выпускаются, для этого нам надо отношение R₁₁ спроектировать на столбец «Цех»:

R₁₈ = R₁₁[Цех]

R18

Цех

Цех 2

ЦeхЗ

1. А теперь из перечня всех цехов вычтем те, кто выпускает не все детали, и получим ответ на запрос, и это будет тот же результат, что и в отношении R₁₇.

Посмотрим, как работают операции реляционной алгебры для другого примера. Возьмем набор отношений, которые моделируют сдачу сессии студентами некоторого учебного заведения. Тема весьма понятная и привычная.

R₁ = <ФИО, Дисциплина, Оценка>;

R₂ = <ФИО, Группа>;

R₃ = < Группы, Дисциплина>,

где R₁ — информация о попытках (как успешных, так и неуспешных) сдачи экзаменов студентами; R₂ — состав групп; R₃ — список дисциплин, которые надо сдавать каждой группе. Домены для атрибутов формально задавать не будем, но, ориентируясь на здравый смысл, будем считать, что доменом для атрибута Дисциплина будет множество всех дисциплин, преподающихся в ВУЗе, доменом для атрибута Группа будет множество всех групп ВУЗа и т. д.
Покажем, каким образом можно получить из этих таблиц интересующие нас

сведення с помощью реляционной алгебры. В каждом из приведенных примеров путем операции над исходными отношениями R₁, R₂, R₃ формируются промежуточные отношения и результирующее отношение S, содержащее требуемую информацию.

• Список студентов, которые сдали экзамен по БД на «отлично». Результат может быть получен применением операции фильтрации по сложному условию к отношению R₁ и последующим проектированием на атрибут «ФИО» (нам ведь требуется только список фамилий).

S = (R₁|[Оценка = 5 ^ Дисциплина = «БД»])[ФИО];

• Список тех, кто должен был сдавать экзамен по БД, но пока еще не сдавал. Сначала найдем всех, кто должен был сдавать экзамен по БД. В отношении R₃ находится список всех дисциплин, по которым каждая группа должна была сдавать экзамены, ограничим перечень дисциплин только «БД». Для того чтобы получить список студентов, нам надо соединить отношение R₃ с отношением R₂, в котором определен список студентов каждой группы.

R₄⁼ (R₂[R₃Номер группы = R₂.НомерГруппы ^ R₃.Дисциплина = «БД»] R₃)[ФИО];

• Теперь получим список всех, кто сдавал экзамен по «БД» (нас пока не интересует результат сдачи, а интересует сам факт попытки сдачи, то есть присутствие в отношении R₁):

R₅ = (R₁ [Дисциплина = «БД»1)[ФИО];

и, наконец, результат — все, кто есть в первом множестве, но не во втором:

S = R₄ \ R₅;

• Список несчастных, имеющих несколько двоек:

S = (R₁[R₁.ФИО = R_l.ФИО ^ R₁Дисцинлина не равно R'₁.Дисциплина ^

R₁Оценка <= 2^ R'₁.Оценка < 2] Rэ₁,)[ФИО]

Этот пример весьма интересен: для поиска строк, удовлетворяющих в совокупности условию больше одною, применяется операция соединения отношения с самим собой. Поэтому мы как бы взяли копию отношения R₁и назвали ее R'₁.

• Список круглых отличников. Строим список всех пар <студеит—дисциплина>, которые в принципе должны быть сданы:

R₄ = (R₂[R₂Группа = R₃Группa] R₃)[ФИО, Дисциплина];

Строим список пар <студент- дисциплина>, где получена оценка «отлично»:

R₅ = (R₁|[Оценкa = 5])[ФИО, Дисциплина];

Строим список студентов, что-либо не сдавших на отлично:

R₆₌(R₄\R₅)[ФИО].

Наконец, исключив последнее отношение из общего списка студентов, получаем результат:

R₂[ФИО] \ R₆

Обратите внимание, что для получения множества студентов, что-либо не сдавших на «отлично» (R₆). мы осуществили «инверсию» множества всех отлично сданных пар <студент—дисциплина> (R₅) путем вычитания его из предварительного построенного универсального множества (R₄). Рекомендуем очень внимательно разобрать этот пример и вникнуть в смысл каждого действия — это очень пригодится для понимания реляционной алгебры.

Задания для самостоятельной работы

Задание 1

Даны отношения, моделирующие работу банка и его филиалов. Клиент может иметь несколько счетов, при этом они могут быть размещены как в одном, так и в разных филиалах банка. В отношении R₁ содержится информация обо всех клиентах и их счетах в филиалах нашего банка. Каждый клиент, в соответствии со своим счетом, может рассчитывать на некоторый кредит от нашего банка, сумма допустимого кредита также зафиксирована.

R,
ФИО клиента	№ филиала	№ счета	Остаток	Кредит

R2
№ филиала	Район

С использованием языка реляционной алгебры составить запросы, позволяющие выбрать:

1. Филиалы, клиенты которых имеют счета с остатком, превышающим $1000.
2. Клиентов, которые имеют счета во всех филиалах данного банка.
3. Клиентов, которые имеют только по одному счету в разных филиалах банка. То есть в общем у этих клиентов может быть несколько счетов, но в одном филиале не более одного счета.
4. Клиенты, которые имеют счета в нескольких филиалах банка расположенных только в одном районе.
5. Филиалы, которые не имеют ни одного клиента.
6. Филиалы, которые имеют клиентов с остатком на счету 0 (ноль).
7. Филиалы, у которых есть клиенты с кредитом, превышающим остаток на счету в 2 раза.

Задание 2

Даны отношения, моделирующие работу международной фирмы, имеющей несколько филиалов. Филиалы фирмы могут быть расположены в разных странах, это отражено в отношении R₁. Клиенты фирмы также могут быть из разных стран, и это отражено в отношении R₄. По каждому конкретному заказу клиент мог заказать несколько разных товаров.

R1
Филиал	Страна

R2
Филиал	Заказчик	№ заказа

R3
N заказа	Товар	Количество

R4
Заказчик	Страна

С использованием реляционной алгебры составить запросы, позволяющие выбрать:

1. Заказчиков, которые работают со всеми филиалами фирмы, но покупают только один товар.
2. Филиалы фирмы, которые торгуют всеми товарами.
3. Товары, которые фирма продает только в одной стране.
4. Заказчиков, которые работают с филиалами фирмы, которые расположены только в одной стране.
5. Филиалы, с которыми не работает ни один заказчик.
6. Заказчиков, которые работают только с филиалами, расположенными в той же стране, что и заказчик.
7. Заказчиков, которые покупают все товары, представленные в отношении R₃.

Правил Кодда для СУБД

На английском они называются Codd’s 12 rules — 12 правил, на самом деле их 13, которым должна удовлетворять каждая система управления реляционными базами данных.

Правила предложены английским математиком Эдгаром Коддом (Edgar Codd)

В действительности правила столь строго императивны, что все популярные, так называемые “реляционные” СУБД не соответствуют многим критериям, а сами критерии не являются строго логичными.