Интегральная формула Муавра-Лапласа. Вероятность отклонения относительной частоты случайного события от его вероятности в каждом отдельном испытании.

Если требуется найти вероятность того, что событие А произойдет от m₁ до m₂ раз (m₁<m₂) в серии из n испытаний, то применяют интегральную формулу Муавра-Лапласа( для больших значений):

Pn(m₁ m m₂) 1/ x, где пределы интегрирования равны x₁=(m₁-np)/ x₂=(m₂-np)/ (p не равно 0 и 1). Поскольку интеграл ∫ dx не выражается через элементарные функции, то используют специальные таблицы для функции Ф(x)= 1/ x.

Таблицы составлены для x>0, для x<0 применяют свойство Ф(-x)= -Ф(x).

Pn(m₁ m m₂) 1/ x= Ф(x₂) -Ф(x₁).

Интегральная формула Муавра-Лапласа может быть применена для вычисления вероятностей отклонения относительной частоты наступления события А от его вероятностей р не более, чем на заданную величину . Другими словами требуется вероятность выполнения неравенства l m/n-p l .

Это неравенство можем записать в развернутом виде: - m/n-p ; n(p- ) ).

Неравенство будет выполнено , если в серии из n независимых испытаний, данное событие А произойдет от m₁ раз равное n(p- ) до m₂=n(p+ ) раз.

Интегральная формула Муавра-Лапласа дает нам вероятность Рn(l m/n-p l )=выполнение неравенства = Ф(x₂) -Ф(x₁), где x₁=(m₁-np)/ =(n(p- )-np)/ =- .

Таким образом, вероятность выполнения такого неравенства равна Рn(l m/n-p l )=Ф )-Ф ) = 2Ф .

Из данной формулы можно получить закон больших чисел, заключающейся в том, что какого бы не было мало , можно подобрать n такое, что Рn(l m/n-p l ) будет сколь угодно близка к 1. При n +∞ аргумент функции F также +∞. Сама функция F в этом случае будет .

2.1 Определение и основные виды случайных величин.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Пример1. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0,1,2,…,100.

Пример2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин (силы и направление ветра, температура и т.д.), которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (a, b).

Мы будем далее обозначать случайные величины прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения соответствующими строчными буквами x, y, z.

Например, если случайная величина Х имеет три возможных значений, то они будут обозначены так: х₁, х₂, х₃.

2.2Биноминальный закон распределения дискретной случайной величины. Примеры.

Дискретной (прерывной) величиной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Так как в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, то события X=x₁, X=x₂, …, X=x_n образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей второй строки таблицы равна единице: p₁+p₂+…+p_n=1.

Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины X – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Напишем возможные значения X:

х₁ =50, х₂ =1, х₃=0.

Вероятности этих возможных значений таковы:

p₁ =0,01, p₂=0,1, p₃=1-( p₁+ p₂)0,89.

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для этого в прямоугольной системе координат строят точки (х₁, p₁), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Для того, чтобы найти закон распределения величины Х, надо определить возможные значения Х и их вероятности.

Очевидно, событие А в n испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, …, либо n раз. Таким образом, возможные значения Х таковы:

х₁ =0, х₂ =1, х₃=2, … х_n+1 =n.

Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:

, где k=0, 1, 2, …, n. (*)

Данная формула является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Закон назван биноминальным потому, что правую часть равенства (*) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона

.

Таким образом, первый член разложения pⁿ определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях; второй член np^n-1q определяет вероятность наступления события n-1 раз; …; последний член qⁿ определяет вероятность того, что событие не повится ни разу.

Пример. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X – числа выпадений герба.

Решение. Вероятность появления герба в каждом бросании монеты , следовательно, вероятность непоявления герба .

При двух бросаниях монеты герб может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения X таковы:

Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

.

.

.

Напишем искомый закон распределения:

X
p	0,25	0,5	0,25

Контроль: 0,25+0,5+0,25=1.

2.3. Распределение Пуассона. Примеры.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна p. Для определения вероятности k появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же n велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако, эта формула непригодна, если вероятность события мала (p ≤0,1). В этих случаях (n велико, p мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Требуется найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз.

Допустим, произведение np сохраняет постоянное значение, а именно np = λ. Это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, при различных значениях n, остается неизменным.

Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления интересующей нас вероятности:

.

Так как , то . Следовательно,

.

Приняв во внимание, что n имеет очень большое значение, вместо найдем . При этом будет найдено лишь приближенное значение отыскиваемой вероятности: n хотя и велико, но конечно, а при отыскивании предела мы устремим n к бесконечности. Итак,

Итак (для простоты записи знак приближенного равенства опущен),

.

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) редких (p мало) событий.

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. По условию n =5000, p =0,0002, k =3. Найдем λ:

λ= np=5000·0,0002=1.

Искомая вероятность по формуле Пуассона приближенно равна

.

2.4. Геометрическое распределение дискретной случайной величины. Примеры.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы).

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для этого в прямоугольной системе координат строят точки (х₁, p₁), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Так как в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, то события X=x₁, X=x₂, …, X=x_n образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей второй строки таблицы равна единице: p₁+p₂+…+p_n=1.

2.5 Мат ожиданием (МО) дискретной случайной величины (СВ) называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Пусть СВ х может принимать только значения Х₁, Х₂,…,Хn, вероятность которых соответственно равны Р₁, Р₂,…,Рn. Тогда МО М(Х) св Х определяется равенство:

М(Х)=Х₁Р₁+Х₂Р₂+…+ХnРn.

Вероятностный смысл МО: МО приблизительно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений СВ

Свойства МО: 1 МО постоянной величины равно самой постоянной М(С)=С; 2 Постоянный множитель можно выносить за знак МО: М(СХ)=С*М(Х)

3 МО произведения двух независ. СВ равно произведению их МО: М(XУ)=М(Х)*М(У)

4 МО суммы двух СВ равно сумме МО: М(Х+У)=М(Х)+М(У)

2.6 Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины (СВ) называют мат. ожидание (МО) квадрата отклонения СВ от ее МО: D(X)=M[X-M(X)]². Для того, чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности. Обозначают: D(X)= (X)=

Свойства дисперсии случайной величины: 1. Дисперсия постоянной величины С равно нулю: D(C)=0; 2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(CX)=C²D(X). 3.Дисперсия двух независимых величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X+Y)=D(X)+D(Y) 4.Дисперсия разности двух независимых величин Х и У равна сумме двух дисперсий: D(X-Y)=D(X)+D(Y).

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. В тех случаях, когда нужно иметь числовую характеристику рассеяния возможных значений в той же размерности, что и сама случайная величина используют среднее квадратическое отклонение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называют корень квадратный из ее дисперсии:

2.7 Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появлений события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: D(X)=npq.

Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:

Мат. ожидание M(x) числа наступлений некоторого события А в серии из n независимых испытаний равно: М(х)=np, где р – вероятность наступления события А в каждом отдельном испытании.

2.8 Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют мат ожидание величины Х^k: ν_k=М(Х^k). Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют мат ожидание величины (Х-М(Х))^k:

μ_k=М[(Х-М(Х))^k] Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные

μ₂₌ν₂-ν₁²

Нетрудно, исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами мат ожидания, получить формулы:

μ₃=ν₃-3ν₁ν₂+2ν₁³

μ₄=ν₄-4ν₃ν₁+6ν₂ν₁²-3ν₁⁴.

2.9Неравенство Чебышева.

для всех >0.Доказательство.

)

D(X)=(x₁-M(X))²*p₁+(x₂-M(X))²*p₂+…+(x_n-M(X))²_*p_n

Все слагаемые в этой сумме неотрицательные.Отбросим из них те, у которых из них модуль .Для оставшихся хар-но неравенство . После чего сумма может только уменьшаться, тогда D(X) (x_i1-M(X))²*p_i1+(x_i2-M(X))²*p_i2+(x_i3-M(X))²*p_i3,где i₁,i₂,i₃ номера оставшихся слагаемых, для которых хар-но неравенство

.Для остальных слагаемых D(X) … ²(p_i1+p_i2+…+p_i3). Здесь p_i1+p_i2+…+p_i3= - это вероятность того,что х примет знач. такое, чтобы

2.10 Теория Чебышева.Пусть х₁,х₂…х_n попарно независимые величины с равномерно ограниченными дисперсиями, т.е. D(x_i) D_max. Тогда для произвольного > 0 вероятность выполнения неравенства

будет сколь угодна близка к 1 при достаточно большом кол-ве n.

Практическое применение. Пусть некоторую величину измеряют в одинаковых условиях. Будем полагать,что:1)измерения независимы друг от друга 2)приборы не делают систематических ошибок 3)приборы обеспечивают опред. точность измерении. При выполнении этих условии мы можем применить т.Чебышева к показаниям приборов как к случайным величинам.х_1,х₂…х_n при достаточном большом n вероятность выполнения неравенства сколь угодна близка к 1,т.е. почти достоверно можно сказать, что ср. арифмет. показания приборов не более чем на отлич. от а.

2.11

Пусть в серии из n независимых испытании вероятность появления события Апостоянна и равна р. Тогда для всех >0: .Х₁-случайная величина равная числу появлении события А в i-том испытании.Ясно,что Х_i=0 или 1. М(Х₁)=1*р+0*q=р, i=1,2,3…n. Применим к случайным величинам Х₁,Х₂…Х_n т.Чебышева.

. Учитывая,что Х₁+Х₂+…+Х_n=m(кол-во раз произошедших испытании) М(Х₁)=М(Х₂)=…=М(Х_n)=р

2.12

Ф-цией распределении случайной величины Х называют F(x)=P(X<x), равная вероятности того, что Х примет значение, меньше заданного числа (х-все числа).

Св-ва:

1)Область определения-все числа, область значения-[0;1] 2)F(x)-неубывающая ф-ция

3) ; 4)для дискретной случайной величины график ф-ции имеет вид: F(x)(тут нач. фигурная скобка) 0,если х х₁

р_1,если х₁<х х₂

р₁+р₂,если х₂<х х₃

……………………

(тут заканчивается фигурная скобка) р₁+р₂+…+р_n,если х_n<х

Для непрерыв. случайной величины вероятность принятия какого-либо конкретного значения бесконечно мала. Поэтому имеет смысл говорить о вероятности попадания в некоторый интервал (а;b). Вероятность того, что Х попадет в этот интервал равна P(X=(a;b))=F(b)-F(a)

2.13.Непрерывная случайная величина.Плотность распределения вероятностей,ее основные св-ва и вероятностный смысл.

Для непрерывной СВ ф-ция распространения явл. непрерывной.Для непрерывной СВ вероятность принятия какого-либо конкретного значения бесконечно мала.Поэтому,имеет смысл говорить о вероятности попадания в некоторый интервал.Плотностью распространения вероятностей непрерывной СВ Х назыв. 1-ая производная от ее ф-ции распределения f(x)=F’(x),т.е.F явл. первообразной для плотности распределения f.

Св-ва плотности вероятности:1)f(x)>=0,для всех х,принадлежащих R;2)интеграл f(x)dx=1-условие плотности вероятности.

2.14.Числовые характерики непрерывных СВ(мат.ожидание,дисперсия,среднеквадратическое отклонение,начальные и центральные моменты)

Мат.ожидание непрерывной СВ Х,определ.по формуле:M(x)=интеграл х*f(x)dx

Дисперсия:D(x)=byntuhfk(x-M(x))2F(x)dx

Среднее квадратическое отклонение:Σ(x)=D(x)

Начальный момент каждого порядка:Vk=интеграл от x2f(x)dx

Центральный момент каждого порядка:µk=интеграл от (х-М(х))2*f(x)dx

2.15.Нормальное распределение непрерывной СВ и его числовые хар-ки.Формулировкацентральной предельной теоремы Ляпунова.

Плотность вероятности нормального распределения имеет вид:

f(x)=1/σ2п*exp(-(x-a)2/2σ2), σ,a=const.

2.16.Оценка отклонения теоретического распределения от нормального.Правило «3 сигм».Асимметрия и эксцесс.

Правило «3 сигм»:Если случайная величина распределена нормально,то абсолютная величина ее отклонения от мат.ожидания не превосходит утроенной σ.

На практике поступают так: Если распределение изучаемой СВ неизвестно,то правило «3 сигм» выполнено,то есть все основания считать,что изучаемые СВ распределенынормально.В противном случае-не нормально.

2.17. Показательным(экспоненц-ным) назыв. Распределение вероятностей непрер. Случ. Величин, заданное формулой: λ>0 const

- Ф-ция показательного распределения

Момент времени наступления некот. События в простом потоке событий, т.е. непрер. СВ с показат. Распределением.

M(x)=∫ от 0 до + ∞ (xde^–λx)dx = 1/λ

D(x)=∫ от 0 до + ∞ ((1-1/x)^2 * λe^–dx)dx=1/ λ^2

δ(x)=корень из D(x)=1/ λ

Назовем элемент устройством. Элем нач. работать в момент врем. T0, а по истеч. врем. Длит-тью t происходит поломка. F(t)=P(T<t) вер-ть безотказной работы за время t=P(t)=p(T>=t)=1-F(t) – ф-ция надежности.

2.18. Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y,то Y называют функцией случайного аргумента.

Пусть Y = ф(X) – функция случайного аргумента Х, и требуется найти ее математическое ожидание, зная закон распределения Х.

Если Х – дискретная случайная величина, то

Если Х – непрерывная случайная величина, то M(Y) можно искать по-разному. Если известна плотность распределения g(y), то

Если же g(y) найти сложно, то можно использовать известную плотность распределения f(x):

2.19.

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины, плотность вероятности которого задается этой формулой наз. Распределением Стьюдента.

Пусть — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть: . Тогда случайная величина

имеет распределение хи-квадрат с n степенями свободы.

Распределение фишера-снедекора - непрерывное сосредоточенное на распределение вероятностей с плотностью .

2.20. Двухмерная функция распределения двухмерной случайной величины

(Х, Y) равна вероятности совместного выполнения двух событий {Х < х} и

{Y < у}:

F(x,y)=p({X<x}⋅{Y<y}).

Закон распределения дискретной двумерной СВ наз. Соответствие возможных знач. Этой СВ и их вер-ти.

Свойства двухмерной плотности:

1

2 ,

3

4

5 неубывающая функция по каждому из своих аргументов при фиксированном другом аргументе.

2.21 Рассмотрим прямоугольник ABCD со сторонами, параллельными координатным осям. Пусть уравнения сторон таковы: Х=х₁, Х=х₂, У=у₁ и У=у₂. Найдем вероятность попадания случайной точки (Х, У) в этот прямоугольник. Искомую вероятность можно найти, например, так: из вероятности попадания случайной точки в полуполосу АВ с вертикальной штриховкой (эта вероятность равна F(x₂, y₂)-F(x₁, y₂) вычесть вероятность попадания точки в полуполосу CD с горизонтальной штриховкой (эта вероятность равна F(x₂, y₁)-F(x₁, y₁): Р(х₁<X<x₂, y₁<Y<y₂)=[F(x₂, y₂)-F(x₁, y₂)]-[F(x₂, y₁)-F(x₁, y₁)]

2.22Непрерывную двумерную величину можно задать, пользуясь дифференциальной функцией распределения. Здесь и далее мы будем предполагать, что интегральная функция всюду непрерывна и имеет всюду непрерывную смешанную частную производную второго порядка. Дифференциальной функцией распределения f(x, y) двумерной непрерывной случайной величины (Х, У) называют вторую смешанную частную производную от интегральной функции: f(x, y)=( δ² F(x, y))/( δx δy). Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.

2.23 Плотностью совместного распределения вероятностей двумерной СВ (Х,У) называют смешанную производную второго порядка от функций распределения F(х,у). f(х,у)=∂² F(х,у)/∂х∂у. Функция распределения F(х,у)=∫∫ f(x,у) dxdy. Вероятностный смысл плотности вероятности: P( х<x<+∆x; у<Y<y+∆y)≈f (x,у)*∆х∆у.

2.24 Пусть (Х,У) дискретная двумерная случайная величина с возможными значениями : (х_iy_i); i=1, 2,…к, j=1,2,…L. Вероятность того, что Х=хi при условии У=у_j обозначим через Р(х_i|y_i), i=1,2,…К, j=1,2,…, L. Условное распределение величины Х при условии, что У=yj, называется совок-ть условных вероятностей: Р(х₁|y_i), Р(х₂|y_i)…Р(х_i|y_i).Условная вероятность вычисляется по формуле Р(х_i|y_i)= Р(х_i|y_i)/ Р(y_i). Аналогично определяется распределение величины У при условии, что Х=Хi.