Сложение вращений вокруг пересекающихся осей

Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru Рассмотрим случай сложения вращения вокруг двух пересекающихся осей. Когда абсолютное движение тела является результатом относительного и переносного вращений с угловыми скоростями Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru и Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru вокруг осей О и Ов, пересекающихся в точке О, то скорость точки О, очевидно равна нулю.

Следовательно, результирующие движения тела является движением вокруг неподвижной точки О и для каждого элементарного

Рис. 2.45 промежутка времени представляет собой элементарный поворот с угловой скоростью Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О.

Чтобы определить вектор Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru , вычислим скорость какой-нибудь точки М тела, радиус-вектор которой Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru . В относительном движении вокруг оси Оа точка М получает скорость Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru , в переносном же движении вокруг оси Ов точка получает скорость Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru .

Следовательно, абсолютная скорость точки М равна

Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru .

С другой стороны, так как результирующие движение тела является мгновенным вращением с некоторой угловой скоростью Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru , то должно быть Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru .

Такие результаты будут получаться для всех точек тела (т.е. при любых Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru ).

Отсюда заключаем, что

Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru . (36)

Следовательно, при сложном вращении вокруг двух осей, пересекающихся в точке О, результирующие движение будет мгновенным вращением вокруг оси Ос, проходящей через точку О, причем угловая скорость Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru этого вращения равна геометрической сумме относительной и переносной угловых скоростей.

С течением времени ось Ос меняет свое положение, описывая коническую поверхность, вершина которой находится в точке О.

Если тело участвует одновременно в мгновенных вращениях вокруг нескольких осей, пересекающихся в точке О, то последняя применяя полученное равенство ( Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru ), придем к выводу, что результирующие движение является мгновенным вращением вокруг оси, проходящей через точку О, а угловая скорость этого движения

Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru . (37)

69.кинематические ур Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru авнения эйлера

70. сложение поступательного и вращательного движений(векторы Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru и Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru перпендикулярны)

Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru

Билет 71. Винтовое движение (ῶ‖ṽ). Если сложное движение тела слагается из вращательного вокруг оси Аа сугловой скоростью ῶ и поступательного со скоростью ṽ, направленной параллельно оси Аа (рис. 209), то такое движение тела называется винтовым. Ось Аа называют осью винта.Когда векторы ῶ и ṽ направлены в одну сторону, то при принятом нами правиле изображения ῶвинт будет правым; если в разные стороны, — левым.

Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если величины v и ω постоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обозначая время одного оборота черезТ, получаем в этом случае vT=hи ωТ=2π, откуда h=2πν/ω.

Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru

Рис. 209

При постоянном шаге любая точка М тела, не лежащая на оси винта, описывает винтовую линию. Скорость точки М, находящейся от оси винта на расстоянии r, слагается из поступательной скорости ṽ и перпендикулярной ей скорости, получаемой во вращательном движении, которая численно равна ωr. Следовательно,

Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru

Направлена скорость Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru по касательной к винтовой линии.Если цилиндрическую поверхность, по которой движется точка М, разрезать вдоль образующей и развернуть, то винтовые линии обратятся в прямые, наклоненные к основанию цилиндра под углом α(tgα=h/2πr).

Билет 72. Скорость поступательного движения образует произвольный угол с осью вращения. Разложим вектор ṽ (рис. 210, б) на составляющие: Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru направленную вдольῶ Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru , и Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru , перпендикулярную ῶ Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru . Скорость Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru можно заменить парой угловых скоростей Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru и Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru (как на рис. 208), после чего векторы ῶи Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru можно отбросить.

Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru Рис. 208

Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru Рис. 210

Расстояние АС найдем по формуле:

Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru

Тогда у тела остается вращение с угловой скоростью Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru и поступательное движение со скоростью Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru . Следовательно, распределение скоростей точек тела в данный момент времени будет таким же, как при винтовом движении вокруг оси Cc с угловой скоростью Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru и поступательной скоростью Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru .

Проделанными операциями (рис. 210, б) мы перешли от полюса А к полюсу С. Результат подтверждает, что в общем случае движения твердого тела угловая скорость при перемене полюса не изменяется Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru , а меняется только поступательная скорость Сложение вращений вокруг пересекающихся осей - student2.ru .

Так как при движении свободного твердого тела величины ṽ, ῶ, α будут вообще все время изменяться, то будет непрерывно меняться и положение оси Cc, которую поэтому называют мгновенной винтовой осью. Таким образом, движение свободного твердого тела можно еще рассматривать как слагающееся из серии мгновенных винтовых движений вокруг непрерывно изменяющихся винтовых осей.



Наши рекомендации