Тематические разделы практических занятий

Практическое занятие 1 Элементы Аналитической Геометрии.

(Продолжительность – 2 часа)

Вопросы для изучения

1. Метод координат на прямой, плоскости и в пространстве. Координаты точки. Длина отрезка. Площадь треугольника.
2. Задача о делении отрезка в данном отношении.
3. Различные виды уравнений прямой. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

Практические задания

1. Длина отрезка. Площадь треугольника. Деление отрезка в данном отношении.

Координаты биссектрисы и медианы. Разбор и решение задач №№ 4.1.4, 4.1.7

2. Уравнения прямых. Пересечение, параллельность, перпендикулярность прямых.

Разбор и решение задач №№ 4.2.52, 4.2.57

3. ДомашнееЗадание: №№ 4.1.5, 4.1.10 4.2.56, 4.2.58.

Список источников и литературы

Основная литература

1. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по

высшей математике. 1 курс. - М.: Айрис-пресс, 2007 – с. 118-120, с.131-134, с.138-142.

Дополнительная литература

1. Высшая математика для экономистов. Учебник. Под редакцией Кремера Н.Ш. -

М.: Юнити, 2006 - 497 с.

Практическое занятие 2 Элементы Векторной Алгебры.

(Продолжительность – 2 часа)

Вопросы для изучения

1. Метод координат на плоскости: вычисление длин сторон треугольника, медианы, высоты, биссектрисы. Нахождение уравнений медианы, высоты, биссектрисы, сторон треугольника.
2. Векторная алгебра. Сумма, разность векторов. Произведение вектора на число.
3. Условие коллинеарности и компланарности векторов. Скалярное произведение векторов. Условие ортогональности векторов.

Практические задания

1. Использование методов аналитической геометрии в задачах Домашнего задания: №№ 4.1.5, 4.1.10 4.2.56, 4.2.58.

2. Направленные отрезки. Сумма, разность векторов. Произведение вектора на число. Разбор и решение задач №№ 3.1.1, 3.1.2.

3. Скалярное произведение векторов. Условие ортогональности и коллинеарности векторов. Разбор и решение задачи № 3.2.1

4. ДомашнееЗадание: №№ 3.1.3, 3.1.8 3.2.3.

Варианты Контрольных работ: Вар. 1 №2, №3; Вар.2 №1, №2

Список источников и литературы

Основная литература

1. К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. Сборник задач по

высшей математике. 1 курс. - М.: Айрис-пресс, 2007 – с. 91-95, с.101-103, с.170-171.

Дополнительная литература

1. Высшая математика для экономистов. Учебник. Под редакцией Н.Ш.Кремера. -

М.: Юнити, 2006 - 497 с.

Практическое занятие 3 Линейные векторные пространства.

(Продолжительность – 2 часа)

Вопросы для изучения

1. Операции над векторами.
2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Базис системы векторов.
3. Разложение векторов по данному базису. Координаты вектора.

Практические задания

1. Использование методов векторной алгебры в задачах Домашнего задания: №№

3.1.3, 3.1.8 3.2.3

2. Разбор Вариантов Контрольных работ: Вар. 1 №2, №3; Вар.2 №1

3. Разбор задачи на нахождение координат векторов в базисе системы векторов:

Задача о разложении вектора:

Определить, является ли данная совокупность векторов линейно зависимой.

Найти базис данной системы векторов и разложение каждого из векторов

данной совокупности в этом базисе.

.

1. ДомашнееЗадание: №№ Варианты Контрольных работ: Вар. 3 №3; Вар.4 №1, №2; № 1) из Задания к практическим занятиям №№ 4-5

Задание к Практическим занятиям №№ 4-5

1) Определить, является ли данная совокупность векторов линейно зависимой.

Найти базис данной системы векторов и разложение каждого из векторов

данной совокупности в этом базисе.

.

2)Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

А =

3)Показать, что матрицы

А = иB = -подобны.

4) Найти собственные векторы матрицы В.

5) Показать, на примере матриц А , В,что

А) сумма собственных значений матрицы равна сумме ее диагональных членов.

В) произведение собственных значений матрицы равно ее Определителю.

6) Показать на примере матрицы А,что, если матрица имеет n попарно

различных собственных чисел, ее ранг равен числу отличных от нуля

собственных значений матрицы.

А =

7) Показать, что собственные векторы матрицы А = - линейно

независимы.

8) Показать на примере матрицы А = что, если матрица имеет n

различных собственных чисел, справедливо равенство: ,

где V – матрица, столбцамикоторой служат n собственных векторов матрицы

,L - диагональная матрица, составленная из всех собственных чисел

матрицы .

Здесь L = ,где -собственные значения матрицыА

9) Задана структурная матрица торговли трех стран:

А =

Требуется найти вектор национальных доходов этих трех стран,

Обеспечивающий бездефицитную торговлю между ними.

Список источников и литературы

Основная литература

1. К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. Сборник задач по

высшей математике. 1 курс. - М.: Айрис-пресс, 2007 – с. 91-95, с.101-103, с.170-171.

Дополнительная литература

1. Высшая математика для экономистов. Учебник. Под редакцией Н.Ш.Кремера. -

М.: Юнити, 2006 - 497 с.

Практическое занятие 4 . Линейные операторы.

(Продолжительность – 2 часа)

Вопросы для изучения

1. Линейные операторы.

2. Характеристическое уравнение Матрицы Линейного преобразования.

3. Собственные значения матрицы - корни характеристического уравнения.

Практические задания

1. Повторение задачи на нахождение координат векторов в базисе системы

векторов. Разбор и решение задачи № 1) из Задания к практическим занятиям

№№ 4-5

2 Вычисление собственных значений матриц 2-го, 3-го порядка. Разбор и решение

задач №№ 2), 3), 5) из Задания к практическим занятиям №№ 4-5

3. Нахождение и графическое построение собственных векторов, соответствующих

конкретным собственным значениям.

4. ДомашнееЗадание: №№ 4), 5), 6), 7) из Задания к практическим занятиям

№№ 4-5

Список источников и литературы

Основная литература

1. И.В.Белько, К.К.Кузьмич. Высшая математика для экономистов. 1 семестр.

Экспресс - курс. - М.: Новое знание, 2002 – с. 39-44, с. 45-51.

Дополнительная литература

1. Высшая математика для экономистов. Учебник. Под редакцией Н.Ш.Кремера. -

М.: Юнити, 2006 - 497 с.

Практическое занятие 5 Собственные значения и собственные векторы.

(Продолжительность – 2 часа)

Вопросы для изучения

1. Множество собственных векторов Матрицы Линейного преобразования.

2. Линейная модель обмена.

3. Модель международной торговли.

Практические задания

1. Вычисление собственных значений. Разбор и решение задачи №№ 5), 6) из Задания к практическим занятиям №№ 4-5
2. Нахождение и графическое построение собственных векторов, соответствующих

конкретным собственным значениям. Разбор и решение задач №№ 4), 7) из

Задания к практическим занятиям №№ 4-5

3. Модель международной торговли. Разбор и решение задачи № 9) из Задания к

практическим занятиям №№ 4-5

4. ДомашнееЗадание №8) и все невыполненные №№ из Задания к

практическим занятиям №№ 4-5; решение всех невыполненных

вышеперечисленных Вариантов Контрольных работ.

Список источников и литературы

Основная литература

1. И.В.Белько, К.К.Кузьмич. Высшая математика для экономистов. 1 семестр.

Экспресс - курс. - М.: Новое знание, 2002 – с. 39-44, с. 45-51, с.51-54.

2. К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. Сборник задач по

высшей математике. 1 курс. - М.: Айрис-пресс, 2007 – с. 91-95, с.101-103,

с. 118-120, с.131-134, с.138-142, с.170-171.

Дополнительная литература

1. Высшая математика для экономистов. Учебник. Под редакцией Н.Ш.Кремера. -

М.: Юнити, 2006 - 497 с.

Практическое занятие 6Аналитическая Геометрия. Векторная алгебра. Собственные векторы и числа Линейных операторов.

(Продолжительность – 2 часа)

Вопросы для изучения

Темы Контрольной работы:

1. Собственные значения Матрицы Линейного преобразования.

2. Собственные векторы Матрицы Линейного преобразования.

3. Базис системы векторов. Линейная зависимость векторов.

4. Уравнение прямой на плоскости (различные формы). Определение угла между

двумя прямыми. Условие перпендикулярности, параллельности прямых.

5. Векторная Алгебра. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в

данном отношении. Формула площади треугольника.

Практические задания

1. Решение индивидуального варианта Контрольной работы в

письменной форме.

2. Защита индивидуального Домашнего задания.

3. ДомашнееЗадание: Решение невыполненных №№ Контрольной работы;.

Подготовка индивидуального вопроса Коллоквиума по теоретическому

материалу в письменной форме.

Список источников и литературы

Основная литература

1. К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. Сборник задач по

высшей математике. 1 курс. - М.: Айрис-пресс, 2007 с. 91-95, с.101-103,

с. 118-120, с.131-134, с.138-142.

2. Высшая математика для экономистов. Учебник. Под редакцией Н.Ш.Кремера. -

М.: Юнити, 2006 - с.63-85, 91-92, 95-104, 104-115

Дополнительная литература

1. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении.

Учебное пособие. Серия: Классический университетский учебник. - М.: Дело,

2004 – 440 с.

Практическое занятие 7 (лабораторная работа) Линейные задачи оптимизации.

(Продолжительность – 4 часа)

Вопросы для изучения

1. Разбор и построение графического решения Линейных задач оптимизации:

Задачи о выпуске продукции, Транспортной задачи.

1. Разбор и индивидуальное исправление ошибок в задачах Контрольной работы.
2. Коллоквиум по теоретическому материалу Лекционного курса.

(см. Перечень Контрольных вопросов по курсу дисциплины «Аналитическая геометрия», стр.15, Перечень экспресс-тестов по лекционному материалу дисциплины «Аналитическая геометрия», стр.17)

Практические задания

1. Математическая постановка текстовой Задачи о выпуске продукции:

Задача о выпуске продукции

Фирма выпускает два вида древесно-стружечных плит – обычные и улучшенные. При этом производятся две основные операции – прессование и отделка. Требуется указать, какое количество плит каждого типа можно изготовить в течение месяца так, чтобы обеспечить максимальную прибыль при следующих ограничениях на ресурсы (материалы, время, затраты):

	Затраты		Партия обычных	из 100 плит: улучшенных	Имеющиеся Ресурсы на месяц
	Материал (дерево) Время на прессование Время на отделку Средства	Фунты Часы Часы Долл.

За каждые 100 обычных плит фирма получает прибыль, равную 80 долл., а за каждые 100 плит улучшенного вида – 100 долл.

2. Нахождение оптимального решения Задачи о выпуске продукции Графическим методом.

3. Определение четырех типов множеств допустимых решений Задачи Линейного Программирования.

4. Постановка сбалансированной Транспортной Задачи:

Транспортная Задача

На складах есть в наличии соответственно 15 и 25 тыс.ед. продукции. Два потребителя хотели бы получить со склада соответственно 30 и 10 тыс.ед. продукции. Стоимость перевозки продукции с i-го склада j-му потребителю задана матрицей , где - стоимость перевозки 1 тыс.ед. продукции в млн. руб.

Как минимизировать стоимость перевозок? Найти оптимальное решение и значение целевой функции.

5. Нахождение оптимального решения Транспортной Задачи Графическим методом.

6. Защита индивидуального вопроса Коллоквиума и индивидуального вопроса

Тестов по теоретическому материалу семестра в устной форме.

Список источников и литературы

Основная литература

1. К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. Сборник задач по

высшей математике. 1 курс. - М.: Айрис-пресс, 2007 с. 91-95, с.101-103,

с. 118-120, с.131-134, с.138-142.

2. Высшая математика для экономистов. Учебник. Под редакцией Н.Ш.Кремера. -

М.: Юнити, 2006 - с.63-85, 91-92, 95-104, 104-115

3. Экономико-математические методы и модели. Учебное пособие. /Под ред.

Макарова С.И., М.: КНОРУС. 2007 – с25-26, 36-42.

Дополнительная литература

1. Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Исследование операций. Учебник. М.:Изд. Проспект,

2006 280 с.

4. Методические рекомендации студенту по организации самостоятельной работы

Общая трудоемкость освоения дисциплины «Аналитическая Геометрия» составляет 2 зачетных единицы, 72 часа, из них 26 часов аудиторных занятий и 46 часов, отведенных на самостоятельную работу студента.

Самостоятельная работа студентов направлена на приобретение новых теоретических и фактических знаний, закрепление полученных навыков, - выполняется в читальном зале библиотеки и в домашних условиях, подкрепляется учебно-методическим и информационным обеспечением (учебники, учебно-методические пособия, конспекты лекций).

Индивидуальный контроль знаний может быть осуществлен на практических занятиях, которым предшествуют лекции по данной теме.

В части УМК «Тематические разделы практических занятий» приведены Домашние задания для каждого Практического Занятия, которые помогают закреплять теоретические положения курса и навыки решения типовых задач. Приведен список основной рекомендуемой литературы с указанием страниц.

В соответствии с частью УМК «Структура дисциплины (тематический план)» в нижеприведенной таблице указана трудоемкость самостоятельной работы студентов по изучению соответствующих тем дисциплины «Аналитическая Геометрия».

№ п/п	Раздел дисциплины	Семестр	Неделя семестра	Вид работы	Самостоятель-ная работа студентов	Формы самостоятельной работы студентов (по неделям семестра)
	трудоемкость (в часах)
	Элементы Аналитической Геометрии.			Подготовка к практичес-кому занятию № 1		Изучение лекций по теме 1. Написание Теста 1 для самоконтроля.
	Элементы векторной алгебры			Подготовка к практичес-кому занятию № 2		Изучение лекций по теме 2. Написание Теста 2 для самоконтроля. Выполнение домашних заданий. См. Список литературы и описание практического занятия № 1 в Плане практических занятий, стр. 22-23
	Линейные векторные пространства.			Подготовка к практичес-кому занятию № 3		Изучение лекций по теме 3. Написание Теста 3 для самоконтроля. Выполнение домашних заданий. См. Список литературы и описание практического занятия № 2 в Плане практических занятий, стр. 23-24
	Линейные операторы			Подготовка к практичес-кому занятию № 4		Изучение лекций по теме 4. Написание Теста 4 для самоконтроля. Выполнение домашних заданий. См. Список литературы и описание практического занятия № 3 в Плане практических занятий, стр. 24-26
	Собственные числа и собственные векторы			Подготовка к практичес-кому занятию № 5		Изучение лекций по теме 5. Написание Теста 5 для самоконтроля. Выполнение домашних заданий. См. Список литературы и описание практического занятия № 4 в Плане практических занятий, стр. 27
	Аналитическая Геометрия, Векторная алгебра, Собственные векторы и числа Линейных операторов.			Подготовка к практичес-кому занятию № 6		Подготовка к Контрольной работе. Выполнение домашних заданий. См. Список литературы и описание практического занятия № 5 в Плане практических занятий, стр. 27-28 Составление и решение индивидуального домашнего задания.
	Линейные задачи оптимизации.			Подготовка к лабо -раторной работе		Изучение лекций по теме 6. Написание Теста 6 для самоконтроля. Выполнение домашних заданий. См. Список литературы и описание практического занятия № 6 в Плане практических занятий, стр. 28-29 См. Список литературы и описание лабораторного занятия в Плане практических занятий, стр. 29-31 Подготовка к Коллоквиуму по теоретическому материалу.
	Промежуточная аттестация					Подготовка к Зачету