Полярная система координат на плоскости

CПРАВОЧНИК

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Полярная система координат на плоскости

Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат состоит из одной оси, которая имеет только положительное направление.
Полярная система координат на плоскости - student2.ru ‑ полюс, полупрямая Полярная система координат на плоскости - student2.ru ‑ полярная ось.

Произвольной точке Полярная система координат на плоскости - student2.ru плоскости, отличной от Полярная система координат на плоскости - student2.ru , ставят в соответствие два числа в следующем порядке:
‑ полярный радиус Полярная система координат на плоскости - student2.ru , равный расстоянию от Полярная система координат на плоскости - student2.ru до полюса Полярная система координат на плоскости - student2.ru , измеренному выбранной единицей масштаба (длина вектора Полярная система координат на плоскости - student2.ru ) ( Полярная система координат на плоскости - student2.ru );

‑ полярный угол Полярная система координат на плоскости - student2.ru , равный углу между полярной осью Полярная система координат на плоскости - student2.ru и Полярная система координат на плоскости - student2.ru . Полярный угол измеряется в радианах, отсчет положительных (отрицательных) значений Полярная система координат на плоскости - student2.ru ведется от Полярная система координат на плоскости - student2.ru против движения (по движению) часовой стрелки. Полагают, что Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru (или Полярная система координат на плоскости - student2.ru .
Полюсу Полярная система координат на плоскости - student2.ru соответствует полярный радиус Полярная система координат на плоскости - student2.ru , полярный угол для него не определен.

Запись Полярная система координат на плоскости - student2.ru означает: точка Полярная система координат на плоскости - student2.ru с полярными координатами Полярная система координат на плоскости - student2.ru и Полярная система координат на плоскости - student2.ru .

Полярная система координат на плоскости - student2.ru Если совместить полюс и начало декартовой прямоугольной системы координат, и полярную ось направить в ту же сторону, что и ось Полярная система координат на плоскости - student2.ru , то получим следующую связь между координатами точки Полярная система координат на плоскости - student2.ru в декартовой прямоугольной системе координат и координатами в полярной системе координат:
переход из ПСК в ДСК: Полярная система координат на плоскости - student2.ru ;
переход из ПСК в ДСК: Полярная система координат на плоскости - student2.ru , Полярная система координат на плоскости - student2.ru , Полярная система координат на плоскости - student2.ru , т. е.при решении последнего уравнения относительно Полярная система координат на плоскости - student2.ru учитывают, в каком квадранте лежит точка Полярная система координат на плоскости - student2.ru . Если точка Полярная система координат на плоскости - student2.ru лежит на осях, то из геометрических соображений определяют полярный угол Полярная система координат на плоскости - student2.ru .
Пример. Дана точка Полярная система координат на плоскости - student2.ru в полярной системе. Найдите декартовые координаты этой точки.
Решение: Полярная система координат на плоскости - student2.ru ; подставляем в формулы полярные координаты Полярная система координат на плоскости - student2.ru : получим декартовые координаты Полярная система координат на плоскости - student2.ru . В декартовой системе Полярная система координат на плоскости - student2.ru .

Пример. Дана точка Полярная система координат на плоскости - student2.ru в декартовой системе координат. Найдите полярные координаты точки.
Решение. Полярная система координат на плоскости - student2.ru находится в 4 четверти, поэтому Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Полярная система координат на плоскости - student2.ru , Полярная система координат на плоскости - student2.ru , Полярная система координат на плоскости - student2.ru , откуда Полярная система координат на плоскости - student2.ru , поэтому в полярной системе координат Полярная система координат на плоскости - student2.ru .
Пример. Дана точка Полярная система координат на плоскости - student2.ru в полярной системе координат. Найдите декартовые координаты точки.
Решение. Так как декартовые координаты Полярная система координат на плоскости - student2.ru , то получаем:
Полярная система координат на плоскости - student2.ru . Ответ: Полярная система координат на плоскости - student2.ru .

Векторная алгебра

Проекция вектора на ось: Полярная система координат на плоскости - student2.ru ,

где Полярная система координат на плоскости - student2.ru - угол между Полярная система координат на плоскости - student2.ru и осью Полярная система координат на плоскости - student2.ru .

Свойства проекции: Полярная система координат на плоскости - student2.ru .

Вектор, заданный своими координатами, обозначается:

на плоскости Полярная система координат на плоскости - student2.ru , в пространстве Полярная система координат на плоскости - student2.ru , где Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru .

Если известны проекции вектора Полярная система координат на плоскости - student2.ru на координатные оси ‑ координаты вектора Полярная система координат на плоскости - student2.ru , то разложение вектора по единичным векторам координатных осей имеет вид Полярная система координат на плоскости - student2.ru (верно и обратное утверждение).

Действия над векторами, заданными своими координатами

Если Полярная система координат на плоскости - student2.ru , Полярная система координат на плоскости - student2.ru , то

Полярная система координат на плоскости - student2.ru ;

Полярная система координат на плоскости - student2.ru ;

Полярная система координат на плоскости - student2.ru .

Длина вектора: Полярная система координат на плоскости - student2.ru .

Координаты вектора, если известны координаты

его начала Полярная система координат на плоскости - student2.ru и конца Полярная система координат на плоскости - student2.ru :

Полярная система координат на плоскости - student2.ru,

длина вектора: Полярная система координат на плоскости - student2.ru .

Координаты точки Полярная система координат на плоскости - student2.ru , принадлежащей отрезку Полярная система координат на плоскости - student2.ru , и делящей его в отношении Полярная система координат на плоскости - student2.ru ( Полярная система координат на плоскости - student2.ru ):

Полярная система координат на плоскости - student2.ru .

Если точка Полярная система координат на плоскости - student2.ruсередина отрезка Полярная система координат на плоскости - student2.ru , то

Полярная система координат на плоскости - student2.ru .

Скалярное произведение векторов и его свойства

Векторное произведение векторов и его свойства

Условие коллинеарности двух векторов

В векторной форме: Полярная система координат на плоскости - student2.ru .

В координатной форме: если Полярная система координат на плоскости - student2.ru , Полярная система координат на плоскости - student2.ru , то

Полярная система координат на плоскости - student2.ru .

Прямая на плоскости

Плоскость в пространстве

Угол между плоскостями

Полярная система координат на плоскости - student2.ru , Полярная система координат на плоскости - student2.ru :

Полярная система координат на плоскости - student2.ru .

Взаимное расположение двух плоскостей Полярная система координат на плоскости - student2.ru и Полярная система координат на плоскости - student2.ru :
пересекаются Полярная система координат на плоскости - student2.ru не верно, что Полярная система координат на плоскости - student2.ru ;
параллельны (но не совпадают) Полярная система координат на плоскости - student2.ru ;
совпадают Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru

Прямая в пространстве

Кривые второго порядка

Эллипс

Определение Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru 2a>2c Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Уравнение Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Параметры Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Связь между параметрами Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Фокусы Полярная система координат на плоскости - student2.ru на оси Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru на оси Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Вершины Полярная система координат на плоскости - student2.ru , Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru , Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Большая ось Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Малая ось Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Фокусное расстояние Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru  
Эксцентриситет Полярная система координат на плоскости - student2.ru ( Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru ( Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Рисунок Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru

Уравнение эллипса с центром в точке Полярная система координат на плоскости - student2.ru и полуосями Полярная система координат на плоскости - student2.ru :
Полярная система координат на плоскости - student2.ru

Гипербола

Определение Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru 2a<2c Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru 2a<2c
Уравнение Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Параметры Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Связь между параметрами Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Фокусы Полярная система координат на плоскости - student2.ru на оси OX Полярная система координат на плоскости - student2.ru на оси Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Вершины Полярная система координат на плоскости - student2.ru   Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Действительная Ось Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Мнимая ось Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Фокусное расстояние Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Уравнения асимптот Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Эксцентриситет Полярная система координат на плоскости - student2.ru ( Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru ( Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Рисунок Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru

Уравнение гиперболы с центром в точке Полярная система координат на плоскости - student2.ru и полуосями Полярная система координат на плоскости - student2.ru :
Полярная система координат на плоскости - student2.ru или Полярная система координат на плоскости - student2.ru

ПАРАБОЛА

Уравнение Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Параметр Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Фокус Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Директриса Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Рисунок Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru

Окружность

Уравнение Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Радиус окружности Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Центр окружности Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Положение окружности Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru

CПРАВОЧНИК

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Полярная система координат на плоскости

Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат состоит из одной оси, которая имеет только положительное направление.
Полярная система координат на плоскости - student2.ru ‑ полюс, полупрямая Полярная система координат на плоскости - student2.ru ‑ полярная ось.

Произвольной точке Полярная система координат на плоскости - student2.ru плоскости, отличной от Полярная система координат на плоскости - student2.ru , ставят в соответствие два числа в следующем порядке:
‑ полярный радиус Полярная система координат на плоскости - student2.ru , равный расстоянию от Полярная система координат на плоскости - student2.ru до полюса Полярная система координат на плоскости - student2.ru , измеренному выбранной единицей масштаба (длина вектора Полярная система координат на плоскости - student2.ru ) ( Полярная система координат на плоскости - student2.ru );

‑ полярный угол Полярная система координат на плоскости - student2.ru , равный углу между полярной осью Полярная система координат на плоскости - student2.ru и Полярная система координат на плоскости - student2.ru . Полярный угол измеряется в радианах, отсчет положительных (отрицательных) значений Полярная система координат на плоскости - student2.ru ведется от Полярная система координат на плоскости - student2.ru против движения (по движению) часовой стрелки. Полагают, что Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru (или Полярная система координат на плоскости - student2.ru .
Полюсу Полярная система координат на плоскости - student2.ru соответствует полярный радиус Полярная система координат на плоскости - student2.ru , полярный угол для него не определен.

Запись Полярная система координат на плоскости - student2.ru означает: точка Полярная система координат на плоскости - student2.ru с полярными координатами Полярная система координат на плоскости - student2.ru и Полярная система координат на плоскости - student2.ru .

Полярная система координат на плоскости - student2.ru Если совместить полюс и начало декартовой прямоугольной системы координат, и полярную ось направить в ту же сторону, что и ось Полярная система координат на плоскости - student2.ru , то получим следующую связь между координатами точки Полярная система координат на плоскости - student2.ru в декартовой прямоугольной системе координат и координатами в полярной системе координат:
переход из ПСК в ДСК: Полярная система координат на плоскости - student2.ru ;
переход из ПСК в ДСК: Полярная система координат на плоскости - student2.ru , Полярная система координат на плоскости - student2.ru , Полярная система координат на плоскости - student2.ru , т. е.при решении последнего уравнения относительно Полярная система координат на плоскости - student2.ru учитывают, в каком квадранте лежит точка Полярная система координат на плоскости - student2.ru . Если точка Полярная система координат на плоскости - student2.ru лежит на осях, то из геометрических соображений определяют полярный угол Полярная система координат на плоскости - student2.ru .
Пример. Дана точка Полярная система координат на плоскости - student2.ru в полярной системе. Найдите декартовые координаты этой точки.
Решение: Полярная система координат на плоскости - student2.ru ; подставляем в формулы полярные координаты Полярная система координат на плоскости - student2.ru : получим декартовые координаты Полярная система координат на плоскости - student2.ru . В декартовой системе Полярная система координат на плоскости - student2.ru .

Пример. Дана точка Полярная система координат на плоскости - student2.ru в декартовой системе координат. Найдите полярные координаты точки.
Решение. Полярная система координат на плоскости - student2.ru находится в 4 четверти, поэтому Полярная система координат на плоскости - student2.ru
Полярная система координат на плоскости - student2.ru , Полярная система координат на плоскости - student2.ru , Полярная система координат на плоскости - student2.ru , откуда Полярная система координат на плоскости - student2.ru , поэтому в полярной системе координат Полярная система координат на плоскости - student2.ru .
Пример. Дана точка Полярная система координат на плоскости - student2.ru в полярной системе координат. Найдите декартовые координаты точки.
Решение. Так как декартовые координаты Полярная система координат на плоскости - student2.ru , то получаем:
Полярная система координат на плоскости - student2.ru . Ответ: Полярная система координат на плоскости - student2.ru .

Векторная алгебра

Проекция вектора на ось: Полярная система координат на плоскости - student2.ru ,

где Полярная система координат на плоскости - student2.ru - угол между Полярная система координат на плоскости - student2.ru и осью Полярная система координат на плоскости - student2.ru .

Свойства проекции: Полярная система координат на плоскости - student2.ru .

Вектор, заданный своими координатами, обозначается:

на плоскости Полярная система координат на плоскости - student2.ru , в пространстве Полярная система координат на плоскости - student2.ru , где Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru Полярная система координат на плоскости - student2.ru .

Если известны проекции вектора Полярная система координат на плоскости - student2.ru на координатные оси ‑ координаты вектора Полярная система координат на плоскости - student2.ru , то разложение вектора по единичным векторам координатных осей имеет вид Полярная система координат на плоскости - student2.ru (верно и обратное утверждение).

Наши рекомендации