Т5. (Сумма пред. равна пред. суммы)
Если каждое слагаемое алгебраической суммы ф. имеет пред. при 
, то и алгеб. сумма имеет пред. при , причём пред. алгеб. суммы равен алгеб. сумме пред. т.е.
.
Т6. (Произведение под знаком предела).
Если каждый из сомножителей произведения конечного числа ф. имеет пред. при , то и произв. имеет предел при , причём пред. произв. равен произведению пред. т.е.
.
Т7. (Деление под знаком предела).
Если ф. 
и 
имеют предел при , причём 
, то и их частное имеет предел при , причём предел частного равен частному пределов. т.е.
.
Замечательные пределы функции.
1) Первый замечательный предел.
Предельное значение ф. 
в точке 
существует и равно единице. т.е. 
.
Второй замечательный предел.
Предельное значение ф. 
при 
существует и равно e. т.е.
.
Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.
Опр6 ( б.м.ф.)
Ф. 
называется б.м. в т. 
( при ), если 
.
Зам.: Если ф. имеет равное 
предельное значение в т. 
, то ф. 
является б.м. в т. .
Опр7 (б.б. справа(слева))
Ф. наз. б.б. в т. справа (слева), если для любой сход. к послед. 
знач. аргумента 
, элементы 
которой больше (меньше) , соотв. послед. 
значений ф. являетсяб.б. послед определённого знака.
Обозначается так: 
.
Сравнение б.м.ф.
Пусть 
и 
– две заданные на одном и том же мн-ве ф., являющиеся б.м. в т. .
1) Ф. наз. б.м. более высокого порядка, чем (имеет более высокий пор. малости), если пред. знач. ф. 
в т. равно 0.
2) Ф. и наз. б.м. одного порядка (имеют одинаковый порядок малости), если пред. знач. ф. в т. сущ. и 
.
3) Ф. и наз. эквивалентными б.м., если пред. знач. ф. в т. равно 1.
Свойства эквивалентных б.м.
1) 
, и 
.
2) Если и 
, то 
, и 
3) Если и , то 
.
4) Если 
и 
и 
, то и 
или 
.
4-е свойство самое важное, т.к. на практике это означает, что предел отношения б.м. не меняется при замене их на эквивалентные б.м.
Непрерывность функции одной и нескольких переменных.
Свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке. Равномерная непрерывность. Классификация точек разрыва.
Непрерывность функции одной и нескольких переменных.
Пусть т. 
области задания ф. 
и 
– окрестность т. содержит отличные от точки области задания этой ф.
Опр1 (Непр. ф. одной пер.)
Ф. называется непрерывной в т. , если предельное знач. этой ф. в т. 
и равно частному значению 
.
Обозначается так: 
.
Опр2 (Непр. ф. неск. пер.)
Ф. называется непрерывной в т. , если для 
сход. к послед. знач. аргумента соответствующая послед. значений этой ф. сход. к числу .
Опр3 (Непр. ф. справа (слева)).
Ф. наз. непрерывной справа (слева) в т. , если правое (левое) предельное значение этой ф. в т. 
и равно частному значению .
Обозначается так:
Справа: 
или 
.
Слева: 
или 
.
Зам.:Если ф. непрерывна в точке и слева и справа, то она непрерывна в этой точке.
Опр4 (Сложная ф.)
Ф., образованные в результате суперпозиции (т.е. последовательного применения) двух или неск. ф., будем наз. сложными.
Пусть ф. 
задана на некотором мн-ве 
, и пусть 
– множество знач. этой ф.
Предположим, что на указанном мн-ве определена другая ф. 
. Тогда, на мн-ве задана сложная ф.: где .
Обозначается так: 
.
Опр5 (Непр. сложной ф.)
Если ф. непр. в т. , а ф. непр. в соотв. т. 
, то сложная ф. 
непр. в т. .
Опр6 (огр. сверху (снизу)).
Ф. наз. ограниченной сверху (снизу) на мн-ве , если найдётся такое вещественное число 
(число 
), что для всех значений арг. из мн-ва справедливо нерав.: 
. При этом число (число ) называется верхней (нижней) гранью ф. на мн-ве .