Параметрическое уравнение прямой в плоскости.

Уравнение вида Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru - параметрическое уравнение прямой в плоскости.

Доказательство:

Для начала докажем, что любая точка прямой удовлетворяет Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru .

Проведем в плоскости прямую L, зададим на этой прямой точку Р с координатами (x,y) и вектор Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru , начинающийся в точке Р0 с координатами (x0,y0), с координатами (a,b).

 
  Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru

Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru =(x-x0;y-y0)

Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru // Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru => Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru =t* Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru

Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru => Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru

Теперь докажем, что любое решение системы является точкой принадлежащей L.

Теперь в отличие от первого случая возьмем точку Р с координатами (x,y), не принадлежащую прямой L.

 
  Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru

Вектор Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru не коллениарен вектору Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru .

Предположим, что для точки Р выполняется Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru .=> Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru => Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru // Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru

Противоречие => предположение неверно=> lдля точки не лежащей на прямой не выполняется.

=> система вида Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru , задаёт прямую.

Геометрический смысл параметрического уравнения прямой.

В системе Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru x0,y0 – координаты некоторой точки на прямой, а a,b - координаты направляющего вектора.

Каноническое уравнение прямой в плоскости.

Уравнение вида Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru называется каноническим уравнением прямой в плоскости.

Уравнение вида Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru задает прямую в плоскости.

Доказательство:

Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru => Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru => Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru - каноническое уравнение прямой в плоскости.

В этом уравнение плоскости подразумевается не дробь, а отношение в котором снизу может быть ноль.

Геометрический смысл полностью следует из параметрического уравнения прямой.

Общее уравнение прямой.

Уравнение вида A*x + B*y + C=0 называется общим уравнением прямой.

Уравнение вида A*x + B*y + C=0 задает прямую в плоскости

Доказательство:

Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru =>b*(x-x0)=a*(y-y0)=>b*x – a*y + (a*y0 - b*x0)=0

Заменим b на A, -а на B, (a*y0 - b*x0) на С.

=> A*x + B*y + C=0.

Теорема

Уравнение A*x + B*y + C=0, где Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru , является уравнением прямой в плоскости с направляющим вектором (-В,А).

Доказательство:

Пусть (x0,y0) – решение уравнения, то есть A*x0 + B*y0 + C=0,

вычтем его из исходного уравнения,

получим: A*(x-x0)+B*(y-y0)=0 – полученное уравнение эквивалентно.

A*(x-x0)=-B*(y-y0)=> Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru - это уравнение прямой с направляющим вектором (-В,А).

Критерий коллинеарнности вектора прямой.

Вектор Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru с координатами (a,b) будет коллинеарен прямой L: A*x + B*y + C=0 тогда, и только тогда, когда A*a+B*b=0.

Доказательство:

Пусть точка P0 с координатами (x0,y0) принадлежит прямой L.

(=>)Приложим вектор Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru к точке P0. => P1=( x0+a, y0+b)

=> A*(x0+a) B*(y0+b)+C=0 => A*x0 + A*a + B*y0 + B*b+C=0

A*a + B*b + (A*x0 + B*y0 + C)=0, A*x0 + B*y0 + C=0 т.к. P1 принадлежит L

=> A*a+B*b=0

(<=) не дано надо стрясти.

Все сказанное относится к произвольной аффинной системе координат.

Геометрический смысл коэффициентов.

( Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru , Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru )=A*B – B*A=0

В прямоугольной системе координат (А;В) – координаты вектора нормали.

Расстояние от точки до прямой в плоскости.

Пусть прямая L задана общим уравнением прямой, координаты точки Р=(x0,y0).

Тогда расстояние(d(P,L)) равняется Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru

Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru

Доказательство:

Возьмем точку P1 c координатами (x1;y1), лежащую на прямой L.

Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru =(x0-x1;y0-y1), Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru =(A,B)

Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru = Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru

A*x1 + B*y1 + C=0 =>С= -A*x1 - B*y1

=> Параметрическое уравнение прямой в плоскости. - student2.ru

Наши рекомендации