Первыми были открыты так называемые детерминированные фракталы. Их отличительной чертой является свойство самоподобия, обусловленное особенностями метода их генерации.

Геометрические фракталы

Уразова ДиляраЗуфаровна, 8 класс

Направляющая организация:

МБОУ«Высокогорская средняя общеобразовательная школа № 2»

Научный руководитель:

учитель математики I категории

Аксанова ИльсиярИсмагиловна

Казань 2013

Содержание

Введение………………………………………………………….…….3

Глава 1

§ 1. Фракталы и их применение…………………………………….…4

§ 2. Классификация фракталов…………………………………….…..5

Глава 2

§ 1. Геометрический метод построения фракталов…………….…….7

§ 2. Построение кривой Серпинского…………………………….…...8

§ 3. Построение фрактала «журавлиный клин»………………….…...9

Глава 3

§ 1. Метод построения фракталов с помощью L-кодов…………..…10

§2. Построение кривой с помощью L-кодов…………………….…...10

Заключение…………………………………………………………….11

Список литературы…………………………………………………....11

Введение

До недавнего времени геометрические модели различных природных конструкций традиционно строились на основе сравнительно простых геометрических фигур: прямых, многоугольников, окружностей, многогранников, сфер. Однако, очевидно, что этот классический набор, вполне достаточный для описания элементарных структур, становится плохо применимым для характеристики таких сложных объектов, как очертание береговых линий материков, поле скоростей в турбулентном потоке жидкости, разряд молнии в воздухе, пористые материалы, форма облаков, снежинки, пламя костра, контуры дерева, кровеносно-сосудистая система человека, поверхность клеточной мембраны и др. Для описания этих и им подобных образований ученые все чаще используют новые геометрические понятия.

Одним из таких понятий, изменившим многие традиционные представления о геометрии, явилось понятие фрактала. Оно было введено в обращение замечательным французским математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году. Важную роль в широком распространении идей фрактальной геометрии сыграла замечательная книга Б.Мандельброта “Фрактальная геометрия природы”.

Основой фрактальной геометрии является идея самоподобия. Она выражает собой тот факт, что иерархический принцип организации фрактальных структур не претерпевает значительных изменений при рассмотрении их через микроскоп с различным увеличением. В результате эти структуры на малых масштабах выглядят в среднем также как и на больших.

История развития идей фрактальной геометрии тесно связана с именами таких известных математиков, как Вейерштрасс, Кантор, Пеано, Хаусдорф, Безикович, Кох, Серпинский и др. Хаусдорф в 1919 г. ввел понятие о дробной (фрактальной) размерности множеств и привел первые примеры таких множеств. Среди них были канторовское множество, кривая Коха и другие экзотические объекты, мало в то время известные за пределами чистой математики.

Цели данной исследовательской работы:

· ознакомление с фракталами, их многообразием и классификацией;

· изучение методов построения геометрических фракталов;

· решение задач на построение фракталов с помощью L-кодов;

· решение задач на построение фракталов геометрическим способом.

В данной исследовательской работе нами были изучены понятие фрактала, примеры фракталов, их классификация и применение в различных областях науки и жизни. Изучены геометрический метод построения геометрических фракталов и метод построения с помощью L-кодов. Геометрическим методом были построены кривая Серпинского и фрактал «журавлиный клин». С помощью метода L-кодов были построены фрактал «прямоугольник» и фрактал «солнышко».

Глава 1.

Фракталы и их применение

Фракталами называются геометрические объекты: линии, поверхности, пространственные тела, имеющие сильно изрезанную форму и обладающие свойством самоподобия. Слово фрактал произошло от латинского слова fractus и переводится как дробный, ломаный. Самоподобие как основная характеристика фрактала означает, что он более или менее единообразно устроен в широком диапазоне масштабов. Так, при увеличении маленькие фрагменты фрактала получаются очень похожими на большие. В идеальном случае такое самоподобие приводит к тому, что фрактальный объект не изменяет основных своих геометрических особенностей при изменении масштаба.

Мы можем наблюдать фракталы в природе: модель горного хребта, крона дерева, листья папоротника, река и ее притоки, языки пламени, система кровообращения, дыхательная система и легкие, почки, каскадные водопады, гроза, облака, тучи, турбулентные процессы.

Приведем несколько примеров применения фракталов:

Компьютерные системы, механика жидкостей,телекоммуникации, физика поверхностей, медицина, биология, литература.

Удивительно то, что сходные геометрические формы встречаются в совершенно различных областях науки: в астрономии при описании процессов образования галактик во Вселенной, в картографии при изучении форм береговых линий и разветвленной сети речных русел и, например, в биологии, при анализе строения кровеносной системы или рассмотрении сложных поверхностей клеточных мембран.

Классификация фракталов

Все разнообразие фракталов можно разделить на три больших класса:

· геометрические фракталы;

· алгебраические фракталы;

· стохастические фракталы.

Геометрические фракталы.

Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двумерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.

Стохастические фракталы

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом возникают объекты очень похожие на природные – несимметрические деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Глава 2.

Глава 3.

Заключение

В представленной исследовательской работе мы познакомились с увлекательнейшим и многообразным миром фракталов. В работе нами изучены понятие фрактала, описана классификация фракталов, применение фракталов в различных областях прикладных наук. Рассмотрены и изучены два способа построения фракталов: геометрический и способ построения с помощью L-кодов.

Приведенные в работе примеры дают достаточно четкое понимание алгоритма построения фракталов. Геометрическим методом были построены кривая Серпинского и фрактал «журавлиный клин». С помощью метода L-кодов были построены фрактал «прямоугольник» и фрактал «солнышко». В заключение хочется сказать, что тема эта меня очень увлекла, и я думаю, в дальнейшем буду продолжать изучение фракталов и еще один способ построения геометрических фракталов с помощью систем итерируемых функций.

Список литературы.

1. Р.М. Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000.-352 с.

2. http://ru.wikipedia.org/wiki/фрактал

3. .http://ghcube.com/

Геометрические фракталы

Уразова ДиляраЗуфаровна, 8 класс

Направляющая организация:

МБОУ«Высокогорская средняя общеобразовательная школа № 2»

Научный руководитель:

учитель математики I категории

Аксанова ИльсиярИсмагиловна

Казань 2013

Содержание

Введение………………………………………………………….…….3

Глава 1

§ 1. Фракталы и их применение…………………………………….…4

§ 2. Классификация фракталов…………………………………….…..5

Глава 2

§ 1. Геометрический метод построения фракталов…………….…….7

§ 2. Построение кривой Серпинского…………………………….…...8

§ 3. Построение фрактала «журавлиный клин»………………….…...9

Глава 3

§ 1. Метод построения фракталов с помощью L-кодов…………..…10

§2. Построение кривой с помощью L-кодов…………………….…...10

Заключение…………………………………………………………….11

Список литературы…………………………………………………....11

Введение

До недавнего времени геометрические модели различных природных конструкций традиционно строились на основе сравнительно простых геометрических фигур: прямых, многоугольников, окружностей, многогранников, сфер. Однако, очевидно, что этот классический набор, вполне достаточный для описания элементарных структур, становится плохо применимым для характеристики таких сложных объектов, как очертание береговых линий материков, поле скоростей в турбулентном потоке жидкости, разряд молнии в воздухе, пористые материалы, форма облаков, снежинки, пламя костра, контуры дерева, кровеносно-сосудистая система человека, поверхность клеточной мембраны и др. Для описания этих и им подобных образований ученые все чаще используют новые геометрические понятия.

Одним из таких понятий, изменившим многие традиционные представления о геометрии, явилось понятие фрактала. Оно было введено в обращение замечательным французским математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году. Важную роль в широком распространении идей фрактальной геометрии сыграла замечательная книга Б.Мандельброта “Фрактальная геометрия природы”.

Основой фрактальной геометрии является идея самоподобия. Она выражает собой тот факт, что иерархический принцип организации фрактальных структур не претерпевает значительных изменений при рассмотрении их через микроскоп с различным увеличением. В результате эти структуры на малых масштабах выглядят в среднем также как и на больших.

История развития идей фрактальной геометрии тесно связана с именами таких известных математиков, как Вейерштрасс, Кантор, Пеано, Хаусдорф, Безикович, Кох, Серпинский и др. Хаусдорф в 1919 г. ввел понятие о дробной (фрактальной) размерности множеств и привел первые примеры таких множеств. Среди них были канторовское множество, кривая Коха и другие экзотические объекты, мало в то время известные за пределами чистой математики.

Цели данной исследовательской работы:

· ознакомление с фракталами, их многообразием и классификацией;

· изучение методов построения геометрических фракталов;

· решение задач на построение фракталов с помощью L-кодов;

· решение задач на построение фракталов геометрическим способом.

В данной исследовательской работе нами были изучены понятие фрактала, примеры фракталов, их классификация и применение в различных областях науки и жизни. Изучены геометрический метод построения геометрических фракталов и метод построения с помощью L-кодов. Геометрическим методом были построены кривая Серпинского и фрактал «журавлиный клин». С помощью метода L-кодов были построены фрактал «прямоугольник» и фрактал «солнышко».

Глава 1.

Фракталы и их применение

Фракталами называются геометрические объекты: линии, поверхности, пространственные тела, имеющие сильно изрезанную форму и обладающие свойством самоподобия. Слово фрактал произошло от латинского слова fractus и переводится как дробный, ломаный. Самоподобие как основная характеристика фрактала означает, что он более или менее единообразно устроен в широком диапазоне масштабов. Так, при увеличении маленькие фрагменты фрактала получаются очень похожими на большие. В идеальном случае такое самоподобие приводит к тому, что фрактальный объект не изменяет основных своих геометрических особенностей при изменении масштаба.

Мы можем наблюдать фракталы в природе: модель горного хребта, крона дерева, листья папоротника, река и ее притоки, языки пламени, система кровообращения, дыхательная система и легкие, почки, каскадные водопады, гроза, облака, тучи, турбулентные процессы.

Приведем несколько примеров применения фракталов:

Компьютерные системы, механика жидкостей,телекоммуникации, физика поверхностей, медицина, биология, литература.

Удивительно то, что сходные геометрические формы встречаются в совершенно различных областях науки: в астрономии при описании процессов образования галактик во Вселенной, в картографии при изучении форм береговых линий и разветвленной сети речных русел и, например, в биологии, при анализе строения кровеносной системы или рассмотрении сложных поверхностей клеточных мембран.

Классификация фракталов

Все разнообразие фракталов можно разделить на три больших класса:

· геометрические фракталы;

· алгебраические фракталы;

· стохастические фракталы.

Геометрические фракталы.

Первыми были открыты так называемые детерминированные фракталы. Их отличительной чертой является свойство самоподобия, обусловленное особенностями метода их генерации.

Фракталы этого класса самые наглядные. Эти фракталы обычно формируются, начиная с инициатора — фигуры, к которой применяется определенный основной рисунок. Во всех геометрических фракталах самоподобие проявляется на всех уровнях то есть независимо от того насколько вы приближаете фрактал, вы увидите все тот же узор.

Шестиугольник СерпинскогоГубка Менгера

Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двумерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.

Стохастические фракталы

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом возникают объекты очень похожие на природные – несимметрические деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Глава 2.