Подбор подходящего теоретического распределения

Критерии согласия

Для подбора подходящего теоретического распределения пре­жде всего следует построить экспериментальную кривую плот­ности распределения, после чего визуально выбрать похожую кривую из известных типов теоретических распределений. При построении экспериментальной кривой данные ран­жируют в порядке возрастания, разбивают на группы, строят гистограмму, а по ней - экспериментальную кривую. Разумеет­ся, что при наличии оснований отдать предпочтение тому или иному теоретическому закону распределения необходимость в построении экспериментальной кривой отпадает.

Выбрав тип предполагаемого теоретического распределения, выдвигают нулевую гипотезу о взаимном соответствии теорети­ческого и экспериментального распределений, проверяют ее на заданном уровне значимости, используя критерии согласия.

При больших выборках (n >100) предпочтение следует отда­вать критерию согласия Пирсона. Иногда этот критерий исполь­зуют при существенно меньших выборках. Критерий Колмого­рова— Смирнова дает хорошие результаты при n>30 и удов­летворительные при 100 > n >10. При n<10 лучшие результаты дает критерий Крамера - фон Мизеса. Эти рекомендации весьма приблизительны, так как каждый из критериев имеет свои сильные и слабые стороны, и от­носительно выбора между ними можно дать лишь самые общие указания.

Критерий Пирсона(хи-квадрат) применим только к сгруп­пированным данным. Рекомендуется, чтобы численность каждой группы (интервала) была не меньше 5. Если это не так, то смежные малочисленные группы следует объединять с сосед­ними.

Разбив исходные данные на т интервалов (групп), для каж­дого интервала вычисляют:

экспериментальные частоты р_i^* = n_i /n, где n_i - количество дан­ных, попавших в i-й интервал, п - общее количество данных (объем выборки);

теоретические частоты , найденные по таб­лицам или формулам для выбранного типа теоретического рас­пределения; экспериментальную величину

(1.54)

По таблицам квантилей распределения χ² при заданном уровне значимости β (обычно 5%) и известном числе степеней свободы f находят теоретическое значение χ². Число степеней свободы f равно количеству интервалов минус число независимых условий (связей), наложенных на эксперименталь­ные частоты р_i*. Примерами таких условий могут быть: равенст­во 1 суммы всех частот (такое условие накладывается всегда), совпадение статистического среднего с гипотетическим, совпаде­ние дисперсий и т. п. Следовательно f=т–1-r, где т - число интервалов, 1 - отмеченное выше условие, r -число парамет­ров, определяемых из опытных данных. Так, если предполага­емое распределение нормальное, то оценивают два параметра (математическое ожидание и среднее квадратическое отклоне­ние), поэтому f=т-1-r=т-1-2=т-3; при распределении по закону Пуассона, содержащему лишь один параметр λ, будем иметь r=1, поэтому f=т-1-2 =т—2. Если дополнительные условия (кроме первого) не наложены, то f = m -1.

При выполнении условия

(1.55)

считается, что при заданном уровне значимости (β=5%) функция распределения согласуется с экспериментальными данными.

Более жесткие требования по уровню значимости следует выдвигать с осторожностью. Увеличение доверительной вероят­ности уменьшает вероятность того, что незначимое различие будет принято за значимое и правильная функция будет отверг­нута. Однако это увеличивает вероятность того, что значимое различие будет принято за незначимое.

Во избежание возможных ошибок первого и второго рода, в особенности, если согласование теоретических и эмпирических частот «слишком хорошее», следует проявлять осторожность. Например, можно повторить опыт, увеличив число наблюдений, воспользоваться другим критерием согласия, вычислить асим­метрию и эксцесс и сопоставить их с известными для данного распределения.

Критерий Колмогорова - Смирноваопределяется разностью максимальных абсолютных значений статистической функции распределения F* (х) и соответствующей теоретической функции распределения F(x), т. е.

(1.56)

Смирновым Н. В., а затем Колмо­горовым А. Н. было доказано, что ка­кой бы вид ни имела функция F(х), при неограниченном возрастании чи­сла независимых наблюдений п веро­ятность неравенства

(1.57)

стремится к пределу

(1.58)

Для практического использования критерия составлена табли­ца квантилей, определенных из соотношения k (λ_а)=α, где функция распределения записана в несколько ином виде:

Схема применения критерия Колмогорова — Смирнова сле­дующая.

По результатам п наблюдений строится (рис.1.18) статисти­ческая функция распределения F* (х).

Рис. 1.18. К использова­нию критерия Колмого­рова

На том же графике наносится предполагаемая теоретическая функция распределения F(x).

Определяется максимальная величина модуля разности орди­нат D и вычисляется величина λ=D .

С помощью таблицы по заданному уровню значимости β (до­верительной вероятности α) находится значение λ_а. Если λ<λ_а, то теоретическое и экспериментальное распределения согласуются на заданном уровне значимости.

Планирование эксперимента

Планирование эксперимента позволяет оптимизировать тру­довые, временные и материальные затраты на проведение ис­следований, обеспечить их наиболее эффективное выполнение, а отсутствие соответствующего плана может существенно повы­сить трудоемкость исследований или сделать экспериментальную программу полностью безрезультатной.

Исторически теория планирования эксперимента начала раз­виваться с факторного планирования, основы которого зароди­лись еще в 30-х годах XXстолетия. Основы этой теории состоят в построении экономичных планов, по результатам эксперимен­тальных измерений в точках которых можно делать статистичес­кие выводы о неизвестных параметрах функций регрессии, при­чем делать это на основе четко формализованных процедур. Факторное планирование включает построение полных и дроб­ных факторных планов, ортогональных латинских квадратов и сбалансированных блок-схем. В отличие от классического экс­перимента, в котором влияние различных значений входных переменных на результаты исследования рассматривается по одно­му, при факторном планировании эти значения одновременно комбинируются в разных вариантах. Это позволяет дать более точные оценки неизвестных параметров регрессии при равном числе измерений [19].

К настоящему времени сложилась стройная теория планиро­вания эксперимента, оперирующая с достаточно сложным мате­матическим аппаратом, имеющая свою терминологию. Рассмотрим основные положения этой теории, позволя­ющие организовать процесс моделирования не очень сложных систем. При этом ограничимся рассмотрением двухуров­невых планов, в которых влияние на результат эксперимента каждой из входных переменных изучается на двух уровнях, т. е. при наименьшем и наибольшем значениях этой переменной в пределах исследуемой области. Двухуровневые планы в силу ряда преимуществ получили наибольшее распространение при факторном планировании эксперимента.

Поскольку математические методы планирования экспериме­нта основаны на кибернетическом подходе, наиболее подходящей моделью эксперимента является «черный ящик», для которого известно лишь то, что подается на его вход, и то, что получается на выходе, а устройство этого ящика значения не имеет. Соответ­ственно мы будем иметь два типа переменных (входных и выход­ных), которые называют факторами и откликами. Для выясне­ния различий между ними рассмотрим простой эксперимент, в котором рассматриваются лишь две переменные х и у и целью которого является ответ на вопрос: как при изменении х будет изменяться y?В этом случае х - фактор, а у - отклик. В лите­ратуре встречаются другие термины: для фактора - режим, не­зависимая переменная, входная переменная, экзогенная перемен­ная; для отклика - реакция, выход, зависимая переменная, пере­менная состояния, эндогенная переменная. Подобная терминоло­гия возникла в связи с тем, что первые исследования с применени­ем статистических экспериментов проводились в сельском хозяй­стве, биологии, а затем стремительно вторгались в другие ниши, пополняясь там терминами, наиболее близкими и понятными читателям.

Каждый фактор х_i может принимать в эксперименте одно из нескольких значений, называемых уровнями. Каждому уровню соответствует определенная точка в многомерном пространстве, а множество таких точек образует поверхность отклика. На рис.1.19 показана поверхность отклика для двухфакторного экспери­мента. Факторами являются переменные х₁ и х₂. В точках 1, 2, 3, 4 эти факторы принимают определенные значения, которым отвечают соответствующие точки на поверхности отклика.

Рис. 1.19. Поверхность отклика.

(1.59)

Конфигурация поверхности отклика, следовательно, функция (1.59) не известна. Целью эксперимента является либо описание этой поверхности (хотя бы приближенное) в интересной для исследо­вателя области варьирования факторов, либо определение экст­ремального значения отклика. Вторая задача может быть сведена к пошаговому выполнению первой, поэтому на начальном этапе нас будет интересовать только поиск аналитического выражения, близкого к искомой функции (1.59) в заданной области. Этот поиск осуществляют на основе обработки экспериментальных данных в точках 1, 2, 3, 4 (см. рис. 1.19) факторного пространства.