Двумерные «подмодели» многомерных моделей.

Естественно, что в реальной практике редко ограничиваются портфелем из двух активов, однако полученные выше результаты могут быть использованы и в общем многомерном случае, если в качестве двух активов двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru и двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru рассматривать два портфеля двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru и двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru с представляющими их векторами двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru и . двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru .

Другими словами, мы портфель двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru , состоящий из двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru активов двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru , можем представить в виде линейной комбинации:

двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru (13)

портфелей двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru и двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru , состоящих из двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru активов двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru каждый.

И если параметры рынка ценных бумаг имеют вид:

двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru ,

двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru

то средние доходности портфелей равны:

двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru ;

а риски вычисляются как:

двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru ;

ковариация между доходностями портфелей двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru и двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru будет равна:

двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru

а коэффициент корреляции:

двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru

Тогда можно вычислить оценки портфелей двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru , определяемых соотношением (13):

двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru ,

двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru .

Эти соотношения аналогичны соотношениям (6) и (7), поэтому геометрия портфеля двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru будет аналогична рассмотренным выше двумерным множествам. Это означает, что портфель (13) описывает прямую двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru в пространстве всех портфелей двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru , на критериальной плоскости двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru будем иметь параболу, а на двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru - гиперболу или пару лучей:

двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru

Рис.19.

Если речь идет о модели Марковица, то необходимо выполнение условий:

двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru

Это означает, что допустимыми являются: отрезок двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru прямой двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru , дуга параболы или гиперболы двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru Эти «отрезки» выделены на рис. 19 более жирным шрифтом.

Приведенная выше схема построения портфеля двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru из двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru активов двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru и получения их оценок двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru и двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru может применяться к любой паре портфелей двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru В частности, из вышесказанного следует, что критериальное множество в двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru - мерной модели обязательно выпукло вниз.

Действительно, пусть критериальное множество имеет вид:

двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru

Рис.20.

Тогда для любых двух портфелей двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru и двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru , с оценками двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru и двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru , лежащими на минимальной границе, получили бы для портфеля двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru (13) оценки, лежащие на дуге параболы двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru . Все оценки такого типа должны принадлежать критериальному множеству, поэтому граница критериального множества не может иметь вид, указанный выше.

МОДЕЛИ С ТРЕМЯ АКТИВАМИ

Для двумерных моделей, рассмотренных выше, критериальные множества представляли собой линии на плоскости, и граница критериального множества совпадала с самим множеством. Для моделей с числом активов более двух критериальное множество будет содержать и внутренние точки. Рассмотрим для примера модель Марковица с тремя активами, а именно

двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru

двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru

двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru

Каждый портфель двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru описывается вектором:

двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru ,

с ограничением двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru , двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru .

Пусть двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru , двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru , двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru - портфели, составленные только из одного актива с векторами:

двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru

а двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru , двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru , двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru - соответственно – оценки этих портфелей на критериальной плоскости.

Класс всех трехмерных портфелей модели Марковица представляет собой двумерный комплекс двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru в трехмерном пространстве:

 
  двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru

Рис.21.

с вершинами в единичных точках. А образы отрезков двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru , двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru , двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru на критериальной плоскости двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru будут дугами парабол двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru , двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru , двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru соответственно; а критериальное множество будет представлять собой криволинейный треугольник.

 
  двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru

Рис.22.

Если же эти дуги пересекаются, как на следующем рисунке, то, вроде бы, получается критериальное множество, состоящее из трех криволинейных треугольников.

 
  двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru

               
    двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru
      двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru
        двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru
 
  двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru
 
 

Рис.23.

Однако мы уже знаем, что минимальная граница критериального множества должна быть выпуклой линией. Поэтому, взяв, например, оценки портфелей двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru и двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru для достижения линейной комбинации этих портфелей, получим дугу параболы двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru и двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru . Повторив многократно этот процесс с различными оценками трехмерных портфелей, придем к критериальному множеству в виде одного криволинейного треугольника, только при этом границы будут состоять не из одной параболы, а из кусков парабол.

Возможны и другие виды критериального множества, например,

 
  двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru

Рис.24.

Или, если в портфель входит безрисковый актив (пусть это портфель с оценкой двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru ), то критериальное множество будет иметь вид:

двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru

Рис.25.

то есть она будет касаться оси абсцисс.

На критериальной плоскости двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru критериальное множество строится из кусков гипербол или прямолинейных отрезков. Например, если в портфель входит безрисковый актив с оценкой двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru , то типичное критериальное множество будет иметь вид

 
  двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru

Рис.26.

Отметим, что до сих пор мы строили критериальное множество на критериальной плоскости, в которой (для удобства) доходность отмечали на оси абсцисс, а риск на оси ординат. Однако в финансовой литературе действует и обратное правило, согласно которому типичные критериальные множества для моделей Блека и Марковица изображаются следующим образом:

 
  двумерные «подмодели» многомерных моделей. - student2.ru

Рис.27.

Наши рекомендации