Практическая работа №14 «Расчёт сводных характеристик выборки методом произведений».
Признак – это основная отличительная черта, особенность изучаемого явления или процесса. Количественное представление признака называется показателем.
Результативный признак – исследуемый показатель процесса, характеризующий эффективность процесса.
Факторный признак – показатель, влияющий на значение результативного показателя.
Целью регрессионного анализа является оценка функциональной зависимости условного среднего значения результативного признака (Y) от факторных (x1, x2, …, xn), выражаемой в виде уравнения регрессии:
Y = f(x1, x2, …, xn).
Для характеристики связей между признаками используют следующие типы функций:
- линейную ;
- гиперболическую ;
- показательную ;
- параболическую ;
- степенную .
Линейная функция используется в случае, если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, примерно в арифметической прогрессии, гиперболическая – если связь между Y и x, наоборот, обратная. Параболическая или степенная функция применяются, если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативный значительно быстрее.
Линейная однофакторная регрессия: . Для нахождения параметров a0 и а1 используют метод наименьших квадратов. Сущность метода заключается в нахождении параметров a0 и а1, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии. Величину параметров a0 и а1 находим как решение системы нормальных уравнений:
, где n – объём исследуемой совокупности.
В уравнении регрессии свободный член регрессии коэффициент a0 показывает совокупное влияние на результативный признак неучтённых (не выделенных для исследования) факторов; его вклад в значение результирующего показателя не зависит от изменения факторов; параметр а1 – коэффициент регрессии – показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения.
Пример.По следующим данным, полагая, что зависимость между x и Y линейная, определить значения коэффициентов a0 и а1:
х | |||||||
Y |
Решение.Для определения величин a0 и а1 необходимо вычислить следующие значения: åх, åY, åxY, åх2. Расчёты рекомендуется проводить в Excel и оформлять в виде таблицы:
№ п/п | х | Y | х2 | xY | |
2,07 | |||||
5,92 | |||||
9,77 | |||||
14,91 | |||||
20,05 | |||||
22,61 | |||||
29,03 | |||||
Итого | 104,36 |
Система нормальных уравнений имеет вид:
Решив данную систему методом Гаусса, получаем значения: a0=0,876, а1=1,284. Следовательно, =0,876+1,284х. Т.к. а1>0, связь между признаками прямая (в случае обратной связи коэффициент регрессии отрицательный). При увеличении х на единицу, - увеличивается на 1,284. Линейную модель удобно представлять графически: