Характеристикасодержания, местаироли основныхалгебраическихпонятийвначальном обученииматематике

Ключевыми алгебраическими понятиями начального курса мате­матики являются понятия переменная, выражение (математическое), числовое выражение, буквенное выражение, числовое равенство и числовое неравенство, уравнение.

Рассмотрим характеристики этих понятий, выделим важные для обучения, обеспечения понимания смысла этих понятий.

Математическое выражение.Это записи видаa, b, 2, 158, 2 + 3, 2 ·3, 12: 3, a + b, a - b, a  · b, a: b, 3 a+ 2 и т.д., а также записи, со­ставленные из подобных приведенным с помощью знаков действий и скобок, например, 2(a - b), 7 a(b + 13): (27 + 3), где буквы обознача­ют произвольное число. В выражении записаны только числа, знаки арифметических действий и скобки. Числа в выражении могут быть записаны цифрами и буквами. А в процессе обучения и другими знаками, например: А: (А · □) и А: (й: □); ф+ ©и ©+ ф, или К — Ст, где русской буквой К обозначен объем воды в кувшине, а Ст —

объем воды в стакане. Буквенное выражение К — Ст сообщает, что из кувшина вылили стакан воды. Это обозначение промежуточное между записью сообщения на родном языке и на языке математи­ческих символов.

По признаку цифровой или буквенной записи все выражения делятся на 3 три группы. Это выражения, в которых: а) все числа записаны цифрами; б) все числа записаны буквами; в) есть числа, записанные цифрами, и есть числа, записанные буквами. Выра­жения с произвольными не цифровыми обозначениями отнесем в группу с буквенными обозначениями чисел. Однако в математике выделяют только две группы: выражения, в которых все числа за­писаны цифрами и выражения, в записи которых встречается буква или буквы. Как вы думаете, почему? Этот вопрос полезно обсудить с учащимися, так как только в этом случае они смогут увидеть, по­нять, что наличие в выражении хотя бы одной буквы существен­но меняет характер выражения, и этот характер принципиально не меняется с увеличением доли буквенного обозначения чисел в выражении от одной до всех чисел выражения. Логично бы было назвать выражения первой группы «цифровыми», а выражения вто­рой — «буквенными».

Различия между выражениями, где все числа записаны цифрами и выражениями, в которых есть буква или буквы в том, что «цифро­вое» выражение однозначно задает конкретное число, способ полу­чения которого из конкретных, известных чисел, записанных в вы­ражении, задан, а буквенное выражение такого определенного чис­ла — значения выражения — не имеет. Буквенное выражение задает только зависимость между значениями буквы или букв и числовым значением этого выражения, которое меняется с изменением значе­ний букв. Отсюда название буквенных обозначений чисел — пере­менная. Когда буквенные выражения входят в уравнение, то буквен­ные обозначения называют также неизвестными.

Ранее было предложено для выражений первой группы название «цифровые», но в математике для этой группы прижилось название числовые выражения, а для выражений второй группы — буквен­ные выражения.

Числовое значение математического выражения. Это чис­ло, полученное в результате выполнения с числами выражения всех указанных в нем знаками действий в порядке, который определя­ется правилами порядка действий. У каждого числового выраже­ния — единственное числовое значение благодаря правилам порядка действий. Поэтому любое числовое выражение является способом и формой представления числа, его индивидуальности, его опера­торного смысла (см. гл. 7).

Буквенные выражения имеют числовые значения при заданных значениях букв. Если вместо букв в выражении записать их числовые значения, то буквенное выражение превращается в числовое.

Таким образом, мы имеем множество выражений — записей опре­деленного вида. Это множество не пустое. А потому можно рассма­тривать вопрос об отношениях между выражениями. В математи­ке это, прежде всего, отношения сходства и различия, отношения равенства и неравенства. Коль скоро выражения — записи, то их можно сравнивать по внешнему виду: какие знаки (буквы, числа, знаки действий) присутствуют в одном и другом выражении, поров­ну ли их, одни и те же это знаки или разные, есть ли скобки, одина­кова ли структура выражений и т. д. Умение устанавливать сходство и различия лежит в основе умения применять свойства арифмети­ческих действий при вычислениях, преобразованиях. Например, установление сходства и различия между выражениями из равенств (a + b)+c = a + (b + c),a + b = b + a, выражающих сочетательное и переместительное свойство, лежит в основе применения этих свойств в вычислениях: 23 + 19 + 7 = 19 + 23 + 7 = 19 + 30 = 49.

Отношения равенства и неравенства выражений определяют через отношения их числовых значений: два числовых выражения равны, если равны их числовые значения; одно числовое выражение боль­ше другого, если его числовое значение больше числового значения другого выражения.

Действия с выражениями: нахождение значения выражения (для буквенного — при заданных значениях букв); преобразование выра­жения (замена данного выражения другим на основе свойств дей­ствий, обозначенных в выражении), составление новых выражений из имеющихся с помощью арифметических действий. Нахождение значений выражений — это основное действие, которое выполня­ют учащиеся с числовыми и буквенными выражениями в процессе изучения математики.

Числовые равенства и неравенства.Буквенные равенства и не­равенства — это равенства и неравенства с переменной (перемен­ными), среди которых выделяют тождества, уравнения и неравен­ства с переменной (переменными).

Обратим внимание на связь понятий числовые равенства и не­равенства и отношения равенства и неравенства между числами. В неразличении, в непонимании связи этих понятий кроются труд­ности их освоения. Понятия «числовые равенства» и «числовые не­равенства» характеризуют записи, имеющие определенный внешний вид. По внешнему виду определяется, является та или иная запись числовым равенством или числовым неравенством. Отношения ра­венства и неравенства между числами — это отношения, которые устанавливаются на основе отношений между группами предметов (теоретико-множественные смысл числа), предметами или группами предметов по какой-либо величине (величинный смысл числа), поло­жению числа в натуральном ряде чисел (порядковый смысл числа).

Связь между числовым равенством (неравенством) и отношени­ем равенства (неравенства) задается понятиями «верное числовое

равенство (неравенство)» и «неверное числовое равенство (нера­венство)». Числовое равенство (неравенство) является записью по­вествовательного предложения «число … равно (не равно, меньше, больше) числу…» в определенной форме: записаны два выражения или выражение и число (в начальной школе к числу, записанному цифрами или буквой принято термин «выражение» не применять из дидактических соображений). Информация, содержащаяся в нем, может быть истинной, ложной или неопределенной истинности (в ра­венствах и неравенствах с переменной). В первом случае числовое равенство называют истинным или верным, а во втором — ложным, или неверным, например: 3 = 4, 2 + 3 = 3 + 2, 7< 5, 7> 5. В третьем случае рассматривают два множества — множество значений, кото­рые может принимать переменная, и множество ее значений, при которых равенство или неравенство будет верным. а + 2 = 7, 3 < 4, 3>4;2+ x = 7, x  < 3; x  < x  + 1.

Именно в понятиях «верное (неверное) равенство (неравенство)» соединяются «визуальные» понятия, объекты которых распознаются по внешнему виду, и содержательные, абстрактные, объекты кото­рых распознаются по содержательным характеристикам. В резуль­тате мы получаем возможность моделировать свойства отношений, применять их, пользуясь простыми правилами внешнего преобра­зования записей, замены одной записи другой и выражать сложные абстрактные содержательные понятия простыми записями и прави­лами их преобразования и замены. В основе таких преобразований лежат свойства истинных числовых равенств, истинных число­вых неравенств: a = b —>b = a,a = b —>a + c = b + c,a = b,c ≠ 0 —>—>ac = bc; a>b—>b<a,a>b—>a + c > b + c,a>b,c>0—>ac>bc, a >b, c <0 —>ac <bc.

Тождества, уравнения, неравенства с переменной.В началь­ной школе термин «тождество» не используется, хотя сами тождества могут иметь место в учебном процессе, если используется буквенная символика. Записи свойств арифметических действий: a + b = b+ a, a + (b+ c) = (а + b) + c являются тождествами. В тождестве, как и в понятиях верного и неверного числового равенства, форма от­ношения равенства в виде знака «=» и его содержание соединены.

Уравнения в математике — это равенства с переменной или пере­менными, относительно которых требуется узнать те значения пере­менной или наборы значений переменных, при подстановке кото­рых в уравнение оно (уравнение) обращается в истинное числовое равенство. Решить уравнение — значит выполнить названное тре­бование: найти такие значения переменных, при которых уравне­ние обращается в верное числовое равенство. Эти значения принято называть корнями уравнения. В некоторых современных учебниках этот термин есть.

Представленное понимание уравнения распространяется на все виды уравнений, существующие в математике. Если мы сформиру-

ем у учащегося начальной школы такое содержание понятия, то он сможет опереться на него при рассмотрении любого уравнения, из­учаемого в основной, старшей и даже высшей школе. «Недостаток» этого понимания в том, что способ решения, который напрямую вы­текает из него — это подбор или перебор. В психологии его называют еще методом проб и ошибок. Разумеется, подбором искать корень уравнения для большинства уравнений долго, метод этот кажется примитивным. Но только в нем открыто проявляется смысл урав­нения и смысл решения уравнения. Чтобы другие методы решения не были формальными или частными, узкими, нужно, чтоб они вы­текали из этого, казалось бы, примитивного, но очень важного для правильного понимания уравнения и его решения, для проверки правильности решения.

Иногда уравнение в начальной школе представляют как задачу на нахождение неизвестного числа в заведомо верном равенстве. В этом подходе кроется противоречие. Во-первых, равенство, в котором числа, все или некоторые, записаны буквами, может быть тождеством. Если равенство заведомо верное, значит, в нем записаны уже все те числа, при которых равенство верное. Толь­ко обозначены они не так, как нам хотелось — цифрами, да еще и десятичной системы. Что же мы ищем, что хотим узнать, ведь равенство уже верное вне зависимости от того, как записаны в нем числа? Тогда и вопрос о том, какое число нужно подставить, чтобы равенство было верным — нелогичен. «Неизвестное число» может появиться и при понимании уравнения как равенства с перемен­ной, но не в определении, а как прием поиска способа решения, как при ведении рассуждений, в которых мы незнаемое, искомое договариваемся считать знаемым, известным (подробнее см. под-разд. 8.3).

В начальной школе алгебраические понятия появились в 70-е годы ХХ в. в ходе реформы школьного математического образова­ния. С тех пор она в той или иной мере присутствует в начальном обучении математике. В первой попытке представления алгебраи­ческий материал был очень объемным: буквенная символика, чис­ловые и буквенные выражения, числовые равенства и неравенства, уравнения и неравенства с переменной. Затем этот объем сокращал­ся. В 90-е годы, когда начали появляться альтернативные учебники, программы, новые подходы, разные авторы по-разному определяли объем этого материала: от ключевого положения в содержании курса до представления только простейших уравнений. Опыт включения алгебраического материала показал, что он может эффективно вы­полнять функцию обобщения арифметического материала, способ­ствует повышению качества математического образования, повыша­ет интерес к изучению математики. В настоящее время уже трудно представить обучение математике без рассмотрения в том или ином объеме и виде рассмотренных понятий.