Приток к скважине в пласте неограниченных размеров

Вывод основного уравнения упругого режима.Считаем пласт упругим, горизонтальным и большой протяженности и в нём имеется одна скважина, тогда движение жидкости в пласте можно считать плоскорадиальным к точечному стоку (эксплуатационная скважина) или от точечного источника (нагнетательная скважина).

Рассмотрим процесс перераспределения давления при неустановившемся, плоском радиальном движении жидкости. Для этого запишем уравнение пьезопроводности в цилиндрической системе координат

Приток к скважине в пласте неограниченных размеров - student2.ru . (4.12)

Предположим, что возмущение вызвано мгновенным стоком, существовавшим в момент t = t/ . Для этого случая решение уравнения (4.12) имеет вид

Приток к скважине в пласте неограниченных размеров - student2.ru , (4.13)

где А и С – некоторые постоянные.

Найдём значения постоянных. Для этого будем считать, что в момент времени t = t/ давление в пласте было р = рк = const. Тогда при r> 0 и при t = t/ второй член правой части обращается в неопределённость типа ¥/¥Приток к скважине в пласте неограниченных размеров - student2.ruи определяется по правилу Лопиталя, что даёт С = рк. Таким образом,

Приток к скважине в пласте неограниченных размеров - student2.ru . (4.14)

Для определения коэффициента А воспользуемся соотношением (4.4) для случая кольцевого элемента пласта с внутренним радиусом r, толщиной hи шириной dr, а также учтем падение давления Dр = p0 - p по (4.14):

dtз = b*Dрd Vп = Приток к скважине в пласте неограниченных размеров - student2.ru . (4.15)

После интегрирования (4.15) в пределах от 0 до ¥ получим объём жидкости t3 , выделившейся из всего пласта и, учитывая выражение для Приток к скважине в пласте неограниченных размеров - student2.ru , определим коэффициент А:

Приток к скважине в пласте неограниченных размеров - student2.ru. (4.16)

Таким образом в случае скважины, введенной в неограниченный пласт в некоторый (начальный) момент времени и действующей мгновенно, изменение давления во времени определяется соотношением:

Приток к скважине в пласте неограниченных размеров - student2.ru . (4.17)

Если скважина была введена в некоторый момент времени и действовала непрерывно с постоянным дебитом Q = Q0 в течение времени dt/, то за этот промежуток времени через сток выделяется из пласта объём dtз = Qdt и, следовательно, из (4.17) следует

Приток к скважине в пласте неограниченных размеров - student2.ru . (4.18)

Интеграл правой части носит название интегрально-показательной функции

Приток к скважине в пласте неограниченных размеров - student2.ru

и с учетом данного обозначения решение для изменения давления запишется в виде

Приток к скважине в пласте неограниченных размеров - student2.ru . (4.19)

Приток к скважине в пласте неограниченных размеров - student2.ru

Рис. 4.1. График интегрально-показательной функции

Формула (4.19) является основной формулой теории упругого режима пласта.

Интегрально-показательная функция имеет вид (рис.4.1) и обладает следующими свойствами:

· -Ei(-u) изменяется от 0 до ¥ при изменении аргумента от 0 до ¥;

· функция -Ei(-u) представляется в виде сходящегося ряда

Приток к скважине в пласте неограниченных размеров - student2.ru (4.20)

Для малых значений u<1 можно принять

Приток к скважине в пласте неограниченных размеров - student2.ru (4.21)

с погрешностью, не превышающей 0,25% при u<0,01; 5,7% – при u<0,1

Приток к скважине в пласте неограниченных размеров - student2.ru . (4.22)

С учетом соотношения (4.21) основное уравнение (4.19) перепишется в виде, которое более известно под названием уравнение кривой восстановления давления (КВД)

Приток к скважине в пласте неограниченных размеров - student2.ru . (4.23)

Полученную зависимость можно использовать при числе Фурье Приток к скважине в пласте неограниченных размеров - student2.ru с погрешностью, не превышающей 0,6%. Практически это означает, что уже через 1 с после пуска скважины расчеты забойного давления, выполненные по формуле (4.23), будут иметь погрешность не превышающую 0,6%. Формулу (4.23) можно использовать и для расчета падения давления в конечном пласте, а именно, погрешность расчета давления при этом не превышает 1%, если rк> 1000rc и fo< 3,4.105 или Fo < 0,34.

Приток к скважине в пласте неограниченных размеров - student2.ru

Рис. 4.2. Пьезометрические кривые при пуске скважины в бесконечном пласте с постоянным дебитом

Рассмотрим пьезометрические кривые для бесконечного пласта, который эксплуатируется скважиной радиуса rc c постоянным дебитом Q0 (рис. 4.2). Для точек вблизи забоя можно пользоваться формулой (4.23), а дифференцируя её по координате r, найдём градиент давления

Приток к скважине в пласте неограниченных размеров - student2.ru .

Из этой формулы следует, что градиент давления для значений r, удовлетворяющих неравенству r2<<0,03.4 æ t, практически не зависит от времени и определяется по той же формуле, что для установившейся плоскорадиальной фильтрации несжимаемой жидкости. Для указанных значений r пьезометрические кривые представляют собой логарифмические линии (рис.4.2). Углы наклона касательных на забое скважины одинаковы для всех кривых.

Анализ основной формулы теории упругого режима.Основная формула (4.19) или (4.23) строго говоря справедлива лишь для точечного стока, т.е. при rс=0. Практические расчеты показывают, что ей можно пользоваться даже для укрупнённых скважин (rс~1км) и нельзя использовать только в первые доли секунды после пуска скважины. Если скважина укрупнённая, то формула (4.23) может дать большую погрешность лишь вблизи от её стенки (контура). Чем дальше отстоит от этого контура точка, в которой определяется давление, и чем больше времени прошло с момента пуска укрупнённой скважины, тем меньше погрешность.

Анализ формулы (4.23) показывает, что вскоре после пуска скважины вокруг неё начинает непрерывно увеличиваться область пласта (рис.4.2), в которой для каждого момента времени давление распределяется так, как и при установившемся движении, т.е. давление оказывается квазиустановившимся и пьезометрические кривые будут кривыми логарифмического типа.

Из (4.23) следует, что градиент давления, расход жидкости через любую цилиндрическую поверхность радиусом r и скорость фильтрации определяются соотношениями:

Приток к скважине в пласте неограниченных размеров - student2.ru (4.24)

Из данных соотношений следует, что стационарная скорость Приток к скважине в пласте неограниченных размеров - student2.ru достигается очень быстро на небольших расстояниях от скважины, так как значение коэффициента пьезопроводности велико.

Наши рекомендации