Анализ одномерных потоков при нелинейных законах фильтрации

В области нарушения верхней границы закона Дарси необходимо использовать степенной или двухчленный законы фильтрации. В целях общности рассмотрим фильтрацию при двухчленном законе для случая плоскорадиального течения

, (3.27)

где .

Несжимаемая жидкость в недеформируемом пласте.Выразим скорость фильтрации через дебит Q:u=Q / (2p rh)

и перепишем выражение (3.27) в виде

. (3.28)

Отсюда, разделяя переменные и интегрируя, в первом случае, по радиусу от r до R_к и по давлению от рдо р_к, а, во втором случае, по радиусу от r_с до R_к и по давлению от р_с до р_к, получаем:

· распределение давления в пласте

; (3.29)

· дебит скважины

. (3.30)

Дебит находится как положительный корень квадратного уравнения (3.29). Из данного уравнения видно, что индикаторная линия – парабола. Кривая распределения давления (3.29) – гипербола и воронка депрессии – гипербола вращения. Крутизна воронки депрессии у стенки скважины будет больше, чем у чисто логарифмической кривой при течении по закону Дарси.

Идеальный газ в недеформируемом пласте.Найдём распределение давления в круговом пласте и выведем формулу притока газа к скважине. С этой целью выразим скорость через приведённый объёмный расход

. (3.30)

Подставим выражение (3.30) в (3.27) и, заменив плотность по уравнению состояния (3.14), получим:

. (3.31)

Разделив переменные и проинтегрировав в пределах р – р_с и r – r_c получим:

. (3.32)

Распределение давления по (3.32) отличается от распределения давления по закону Дарси наличием последнего члена, что диктует более резкое изменение давления в призабойной зоне.

Интегрируя уравнение(3.31) в пределах р_к - р_с и R_к - r_c, получаем выражение для притока при пренебрежении 1/R_к по сравнению с 1/r_c:

, (3.33)

или в общепринятом виде

. (3.34)

Уравнение (3.34) – основное уравнение, используемое при разработке газовых и газоконденсатных месторождений, так как определяет приток газа к скважине. Коэффициенты Аи Вопределяют по данным исследования газовых скважин при установившихся режимах.

Однородная несжимаемая жидкость в деформируемом (трещиноватом) пласте.Для трещиноватой среды двухчленный закон записывается в виде

, (1.46)

где ; l_бл– средний линейный размер блока.

Умножим все члены (1.46) на плотность rи вынесем за скобки вязкость m. Тогда применительно к плоскорадиальному потоку получим:

, (3.35)

где .

После разделения переменных и интегрирования (3.35) в пределах r_c - r_к ; j_с - j_к получим

, (3.36)

Если в (3.36) подставим выражение для трещинной проницаемости и выразим массовый дебит через объёмный, то будем иметь окончательное выражение

. (3.37)

Как видно из (3.37), индикаторная кривая в этом случае определяется в результате сложения двух парабол – параболы четвёртого порядка, симметричной относительно оси, параллельной оси дебитов, и параболы второго порядка (относительно дебита Q) симметричной относительно оси, параллельной оси депрессий (Dр_с) и отстоящей от последней на расстоянии, равном

.

Идеальный газ в деформируемом (трещиноватом) пласте.Из (3.37) при подстановке выражений для плотности, проницаемости и приведённого к стандартным условиям объёмного дебита можно получить следующее выражение:

(3.38)

Зависимость величины проницаемости от метода обработки индикаторной диаграммы.В практике гидродинамических исследований скважин большое значение имеет этап идентификации индикаторных кривых, т.е. определение типов флюида и коллектора, а также закона притока флюида в скважину. Для примера рассмотрим, как изменение аппроксимации одних и тех же экспериментальных данных разными уравнениями притока приводит к значительному различию в значениях определяемой проницаемости (рис. 3.12).

а

б

Рис. 3.12. Аппроксимация индикаторной диаграммы различными уравнениями притока:

. Q=0,0972∆p – линейный закон фильтрации, без скин-эффекта;

. Q=0,132∆p -12,432 – линейный закон фильтрации, со скин-эффектом;

. ∆p=0,0001Q²+0,04 Q – нелинейный закон фильтрации

Из приведенных рисунков видно, что все аппроксимации находятся в области точности, удовлетворяющей точности, принятой при обработке гидродинамических исследований. В то же время, в первом случае мы имеем расчетную проницаемость k= 0,25 дарси, во втором – 0,19 дарси, а в третьем – 0,61 дарси. Таким образом, получаем, что по одним и тем же промысловым данным мы, если не сделать предварительно анализ вида течения, получим проницаемости пласта отличающие в несколько раз. Следовательно, и в прогнозируемой продуктивности пласта мы ошибемся в несколько раз. Если же, в результате мероприятий по интенсификации притока изменится тип коллектора, то, считая его неизменным, можно получить результаты ещё более отличающие. Отсюда следует, что применение даже очень совершенных расчетных методик может привести к неправильным результатам без предварительной оценки вида течения и коллектора, так как любая программа подбирает необходимое уравнение притока по заданной точности, а часто отличия могут крыться в области, принятой за достаточно точную.