Естественный трехгранник Френе

Естественный трехгранник Френе

Естественная система координат.

Изображаем некоторую пространственную кривую «а в», по которой движется точка М. На этой траектории выберем точку О' начало отсчета дуговой координаты и положительное направление этой дуговой координаты.

Положение точки М на данной траектории будет определяться при помощи дуговой координаты s. Если мы будем рассматривать движение точки по заданной траектории относительно основной, неподвижной системы координат то ее положение будет определяться радиусом вектором Естественный трехгранник Френе - student2.ru .

 
  Естественный трехгранник Френе - student2.ru

Т.о. положение точки М с одной стороныхарактеризуется дуговой координатой s с другой радиусом вектором Естественный трехгранник Френе - student2.ru .

На этой кривой выберем близлежащую к точке М точку М1 .

М s Естественный трехгранник Френе - student2.ru

М1 ( s + Δ s) Естественный трехгранник Френе - student2.ru = Естественный трехгранник Френе - student2.ru ( s +Δ s)

Построим вектор перемещения М М1 (из рисунка)

ММ1 = Естественный трехгранник Френе - student2.ru - Естественный трехгранник Френе - student2.ru = Естественный трехгранник Френе - student2.ru ( s +Δ s) - Естественный трехгранник Френе - student2.ru = Δ Естественный трехгранник Френе - student2.ru

С точки зрения ВМ этот вектор показывает приращение Δ Естественный трехгранник Френе - student2.ru при переходе от точки М к точке М 1 .

Составим следующий вектор

Естественный трехгранник Френе - student2.ru

Этот вектор направлен по секущей ММ1 , т.е. параллельно Δ Естественный трехгранник Френе - student2.ru .

В пределе при стремлении точки М к М1, данный вектор направлен по касательной (секущая в пределе – это касательная) к траектории и выражается производной от векторной функции Естественный трехгранник Френе - student2.ru по скалярному аргументу s , т.е.

Естественный трехгранник Френе - student2.ru Естественный трехгранник Френе - student2.ru Естественный трехгранник Френе - student2.ru = Естественный трехгранник Френе - student2.ru

Введем обозначение :

Естественный трехгранник Френе - student2.ru = Естественный трехгранник Френе - student2.ru (1)

Выясним смысл данного вектора Естественный трехгранник Френе - student2.ru .

МодульЕстественный трехгранник Френе - student2.ru

Представим dr в виде проекций

Dr ( dx, dy,dz)

Тогда модуль dr будет равен:

| d Естественный трехгранник Френе - student2.ru | Естественный трехгранник Френе - student2.ru = Естественный трехгранник Френе - student2.ru Естественный трехгранник Френе - student2.ru = | ds |

С точки зрения геометрии | ds |- этот радикал определяет элемент дуги равный по абсолютному значению ds . Или этот радикал определяет, что криволинейную дугу s мы заменили прямолинейной ds. Это значение приближенное с точностью до величин второго порядка.(высшего порядка малости)

Тогда модуль этого вектора

/ Естественный трехгранник Френе - student2.ru / = / Естественный трехгранник Френе - student2.ru / = 1

Вектор Естественный трехгранник Френе - student2.ru называется единичным вектором или ортом касательной к кривой АВ в точке М.

Направление Естественный трехгранник Френе - student2.ru

Покажем, что вектор Естественный трехгранник Френе - student2.ru всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты.

Сравним направления вектора d Естественный трехгранник Френе - student2.ru и Естественный трехгранник Френе - student2.ru

Изобразим два рисунка.

Первый рисунок.

Изображаем траекторию «а в», На этой траектории выберем точку О' начало отсчета дуговой координаты и положительное направление этой дуговой координаты.

Положение точки М на данной траектории будет определяться при помощи дуговой координаты s. Выберем близлежащую к ней точку М1.Перемещение точкиМ к М1, обозначим через d Естественный трехгранник Френе - student2.ru маленькая дуга ds . Изобразим орт Естественный трехгранник Френе - student2.ruпо касательной к траектории.

 
  Естественный трехгранник Френе - student2.ru

d Естественный трехгранник Френе - student2.ru - это вектор элементарного перемещения точки за бесконечно малый промежуток времени dt. Он всегда направлен по касательной в сторону движения точки и абсолютно не важно в каком направлении точка движется.( в сторону увеличения или убывания дуговой координаты).

Записи будем делать под одной и другой картинкой

При движении в положительном направлении, когда дуговая координата s возрастает. ( ds > 0 ) При движении в отрицательном направлении, когда дуговая координата s убывает. ( ds < 0 )
Естественный трехгранник Френе - student2.ru ↓↓ d Естественный трехгранник Френе - student2.ru или Естественный трехгранник Френе - student2.ru ↓↓ d Естественный трехгранник Френе - student2.ru Естественный трехгранник Френе - student2.ru ↓↑ d Естественный трехгранник Френе - student2.ru или Естественный трехгранник Френе - student2.ru ↓↑ d Естественный трехгранник Френе - student2.ru


Второй рисунок.

Изображаем траекторию «а в», На этой траектории выберем точку О' начало отсчета дуговой координаты и положительное направление этой дуговой координаты.

Положение точки М на данной траектории будет определяться при помощи дуговой координаты s. Выберем близлежащую к ней точку М1,но изобразим ее в противоположном направлении. Перемещение точкиМ к М1, обозначим через d Естественный трехгранник Френе - student2.ru маленькая дуга ds. Изобразим орт Естественный трехгранник Френе - student2.ruпо касательной к траектории.В этом случаеds < 0.

Вывод

Вектор Естественный трехгранник Френе - student2.ru - всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты s.

Рассмотрим некоторую пространственную линию. На этой линии возьмем две близкие друг к другу точки М и М1 и построим в этих точках орты касательных Естественный трехгранник Френе - student2.ru и Естественный трехгранник Френе - student2.ru .По модулю они одинаковые, но у нас кривая линия, поэтому направлены они будут по разному.

 
  Естественный трехгранник Френе - student2.ru

Вектор Естественный трехгранник Френе - student2.ruперенесем параллельно самому себе в точкуМ .

Произведем следующее построение: через Естественный трехгранник Френе - student2.ruи Естественный трехгранник Френе - student2.ru проведем плоскость s1

Что будет происходить с данной плоскостью, если мы будем перемещать точку М1 к точке М ?

Вектор Естественный трехгранник Френе - student2.ruпри этом будет менять свою ориентацию в пространстве.

Что будет происходить с плоскостью?

Она будет как-то поворачиваться вокруг вектора Естественный трехгранник Френе - student2.ru .Пока не займет некоторое предельное положение.

При М → М1 вдоль АВ плоскость будет поворачиваться вокруг вектора Естественный трехгранник Френе - student2.ru пока не займет предельное положение плоскости s1 .

Изобразим эту плоскость красным мелом.

Плоскость S называется соприкасающейся плоскостью в точке М к АВ.

Давайте рассмотрим модель.

Металлический стержень имитирует траекторию движения , т.е. линию АВ, шарик точку М, красная плоскость – это соприкасающаяся плоскость.

Любой перпендикуляр к касательной называется нормалью.

Плоскость, содержащая все нормали, называется нормальной плоскостью.

Показать на макете нормальную и соприкасающуюся плоскости.

Определение.

Естественный трехгранник Френе

Наши рекомендации