Естественный трехгранник Френе
Естественный трехгранник Френе
Естественная система координат.
Изображаем некоторую пространственную кривую «а в», по которой движется точка М. На этой траектории выберем точку О' начало отсчета дуговой координаты и положительное направление этой дуговой координаты.
Положение точки М на данной траектории будет определяться при помощи дуговой координаты s. Если мы будем рассматривать движение точки по заданной траектории относительно основной, неподвижной системы координат то ее положение будет определяться радиусом вектором .
Т.о. положение точки М с одной стороныхарактеризуется дуговой координатой s с другой радиусом вектором .
На этой кривой выберем близлежащую к точке М точку М1 .
М s
М1 ( s + Δ s) = ( s +Δ s)
Построим вектор перемещения М М1 (из рисунка)
ММ1 = - = ( s +Δ s) - = Δ
С точки зрения ВМ этот вектор показывает приращение Δ при переходе от точки М к точке М 1 .
Составим следующий вектор
Этот вектор направлен по секущей ММ1 , т.е. параллельно Δ .
В пределе при стремлении точки М к М1, данный вектор направлен по касательной (секущая в пределе – это касательная) к траектории и выражается производной от векторной функции по скалярному аргументу s , т.е.
=
Введем обозначение :
= (1)
Выясним смысл данного вектора .
Модуль
Представим dr в виде проекций
Dr ( dx, dy,dz)
Тогда модуль dr будет равен:
| d | = = | ds |
С точки зрения геометрии | ds |- этот радикал определяет элемент дуги равный по абсолютному значению ds . Или этот радикал определяет, что криволинейную дугу s мы заменили прямолинейной ds. Это значение приближенное с точностью до величин второго порядка.(высшего порядка малости)
Тогда модуль этого вектора
/ / = / / = 1
Вектор называется единичным вектором или ортом касательной к кривой АВ в точке М.
Направление
Покажем, что вектор всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты.
Сравним направления вектора d и
Изобразим два рисунка.
Первый рисунок.
Изображаем траекторию «а в», На этой траектории выберем точку О' начало отсчета дуговой координаты и положительное направление этой дуговой координаты.
Положение точки М на данной траектории будет определяться при помощи дуговой координаты s. Выберем близлежащую к ней точку М1.Перемещение точкиМ к М1, обозначим через d маленькая дуга ds . Изобразим орт по касательной к траектории.
d - это вектор элементарного перемещения точки за бесконечно малый промежуток времени dt. Он всегда направлен по касательной в сторону движения точки и абсолютно не важно в каком направлении точка движется.( в сторону увеличения или убывания дуговой координаты).
Записи будем делать под одной и другой картинкой
При движении в положительном направлении, когда дуговая координата s возрастает. ( ds > 0 ) | При движении в отрицательном направлении, когда дуговая координата s убывает. ( ds < 0 ) |
↓↓ d или ↓↓ d | ↓↑ d или ↓↑ d |
Второй рисунок.
Изображаем траекторию «а в», На этой траектории выберем точку О' начало отсчета дуговой координаты и положительное направление этой дуговой координаты.
Положение точки М на данной траектории будет определяться при помощи дуговой координаты s. Выберем близлежащую к ней точку М1,но изобразим ее в противоположном направлении. Перемещение точкиМ к М1, обозначим через d маленькая дуга ds. Изобразим орт по касательной к траектории.В этом случаеds < 0.
Вывод
Вектор - всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты s.
Рассмотрим некоторую пространственную линию. На этой линии возьмем две близкие друг к другу точки М и М1 и построим в этих точках орты касательных и .По модулю они одинаковые, но у нас кривая линия, поэтому направлены они будут по разному.
Вектор перенесем параллельно самому себе в точкуМ .
Произведем следующее построение: через и проведем плоскость s1
Что будет происходить с данной плоскостью, если мы будем перемещать точку М1 к точке М ?
Вектор при этом будет менять свою ориентацию в пространстве.
Что будет происходить с плоскостью?
Она будет как-то поворачиваться вокруг вектора .Пока не займет некоторое предельное положение.
При М → М1 вдоль АВ плоскость будет поворачиваться вокруг вектора пока не займет предельное положение плоскости s1 .
Изобразим эту плоскость красным мелом.
Плоскость S называется соприкасающейся плоскостью в точке М к АВ.
Давайте рассмотрим модель.
Металлический стержень имитирует траекторию движения , т.е. линию АВ, шарик точку М, красная плоскость – это соприкасающаяся плоскость.
Любой перпендикуляр к касательной называется нормалью.
Плоскость, содержащая все нормали, называется нормальной плоскостью.
Показать на макете нормальную и соприкасающуюся плоскости.
Определение.
Естественный трехгранник Френе