Расчет переходного процесса классическим методом

Классический метод заключается в непосредственном решении дифференциальных уравнений I и II законов Кирхгофа, описывающих состояние цепи в переходном режиме. Применение метода рассмотрим на примере схемы, представленной на рис.1.

Рис. 1. Цепь второго порядка

Рекомендуется следующий порядок расчета.

1. t=0_: момент непосредственно перед коммутацией; ключ еще разомкнут.

Расчет этого режима выполняем как в обычной цепи постоянного тока. Сопротивление у индуктивности принимаем равным нулю, а у емкости – бесконечно большим.

Так как ветвь с конденсатором для постоянного тока разорвана, то i₂(0_)=0, и ток замыкается по левому контуру:

.

Напряжение на конденсаторе равно напряжению между верхним и нижним узлами схемы и может быть найдено по одной из формул:

или .

2. t = 0: момент коммутации; ключ только что замкнулся, сопротивление R₂ закорочено, схема принимает следующий вид (рис. 2).

Рис. 2. Схема послекоммутационного режима

Значения токов, напряжений и их производных в момент коммутации называются начальными условиями. Определяются они с помощью законов Ома и Кирхгофа, записанных для момента коммутации.

Но начинать следует с законов коммутации:

, .

Напоминаем, что эти уравнения относятся только к току в индуктивности и напряжению на емкости и для других элементов неприменимы.

Дальше для послекоммутационной цепи (рис. 2) записываем уравнения Кирхгофа:

, (1)

, (2)

. (3)

При написании этих уравнений один из контуров рекомендуем выбирать так, чтобы в него не входила индуктивность. В этом случае уравнение, написанное для этого контура, не будет содержать производной тока, что облегчит отыскание начальных условий.

Теперь запишем уравнения (2) и (3) для момента коммутации

, .

Так как u_C(0) и i(0) известны, то i₁(0) и i₂(0) легко находятся из этих уравнений.

При расчете цепи второго порядка в решение дифференциального уравнения, определяющего ток (или напряжение) на любом участке, входят две постоянные интегрирования, для определения которых необходимо знать значения этого тока и его первой производной в момент коммутации. Имеющиеся уравнения (1) – (3) содержат производную тока i. Если требуется рассчитать только его, то написанных уравнений достаточно. При необходимости отыскания и других токов следует продифференцировать уравнения (2) и (3) и записать их совместно с (1) для момента t = 0

Добавляя к ним уравнение связи между током и напряжением на емкости в момент коммутации , получаем возможность определения всех требуемых производных.

Указание. В расчетно-графической работе следует найти производные всех токов и напряжения u_С.

Часто встречается следующее ошибочное рассуждение: “А зачем решать все эти уравнения? Раз ток i(0) постоянный, то его производная автоматически равна нулю”. Ошибка здесь состоит в том, что мы не берем производную от i(0), а сначала ищем функцию di/dt и уже в нее подставляем t=0.

Величина определяет скорость изменения тока (возрастания или убывания) в амперах в секунду в момент коммутации.

На графике она пропорциональна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к кривой тока в точке t=0. Конечно, в некоторых случаях она может оказаться равной нулю.

3. t® ¥ : установившийся или принужденный режим.

Переходный процесс закончился. В цепи установились постоянные токи и напряжения. Ветвь с конденсатором снова имеет бесконечно большое сопротивление, а индуктивность опять рассматриваем как простой проводник, без сопротивления.

Поэтому , , .

4. 0 < t < ¥ : переходный режим; все токи и напряжения изменяются во времени; идет перераспределение энергии между реактивными элементами; напряжение на индуктивности и ток в емкости не постоянны, а являются функциями времени, которые и требуется найти.

Законы изменения токов и напряжений в переходном режиме зависят от корней характеристического уравнения, которое записываем, руководствуясь следующими правилами:

– для послекоммутационной цепи составляем выражение комплексного входного сопротивления Z(jw ) относительно разомкнутых зажимов любой ветви при мысленно закороченных ЭДС; для упрощения задачи советуем выражение Z(jw ) записывать, разомкнув ветвь с конденсатором (рис. 3);

– заменяем jw на р и полученное выражение приравниваем к нулю, это и будет характеристическое уравнение:

, :

. (4)

Рис. 3. Схема для написания характеристического уравнения

Последнее уравнение приводим к виду

. (5)

Точно такое же уравнение получается, если выражение Z(jw ) записывать относительно разомкнутых зажимов любой другой ветви. Предлагаем учащемуся это проверить.

Рекомендуем не подставлять сразу числовые значения параметров в уравнение (4), а предварительно привести его к виду (5), то есть сначала записать приведенное квадратное уравнение в буквенных обозначениях и только потом подставлять числа. Это снизит вероятность появления арифметической ошибки при вычислении корней, а в случае ее возникновения облегчит проверку.

Во всех вариантах рассматриваемого задания корни уравнения (5) – сопряженные комплексные числа:

.

В этом случае свободная составляющая тока или напряжения на любом участке представляет собой синусоиду, затухающую по экспоненциальному закону. Например, для тока i будем иметь

. (6)

Здесь a и w – численные значения вещественной и мнимой составляющих корней характеристического уравнения, а А и y – постоянные интегрирования, для определения которых необходимо иметь два уравнения. Получаем их следующим образом.

Дифференцируем (6):

. (7)

Теперь (6) и (7) записываем для момента t=0:

В левые части этих уравнений подставляем значения тока и его производной в момент коммутации, найденные в пункте 2.

Решение последней системы довольно просто. Из уравнения (8) получим

(10)

Подставляя это значение в (9), находим

(11)

Теперь, разделив (10) на (11), получим значение тангенса угла y и сам этот угол. И, наконец, из (10) либо (11) находим А. Последнее может оказаться отрицательным, и выражение тока получится, например, таким:

.

Можно его так и оставить, но лучше минус перед свободной составляющей поменять на плюс, прибавив к аргументу синуса 180⁰ (с плюсом или минусом):

. (12)

Полученное выражение следует проверить.

Подставляя в него t=0, мы должны получить найденное ранее значение i(0):

Правда, эта проверка удостоверяет только отсутствие ошибок в определении А и y из уравнений (8) и (9), но она не гарантирует правильности всех предыдущих расчетов.

Аналогично току i(t) находится ток или напряжение на любом другом участке.

Операторный метод

В основу операторного метода положен математический аппарат операционного исчисления, когда функции времени и описывающие их дифференциальные уравнения заменяются соответственно алгебраическими функциями комплексного переменного и алгебраическими уравнениями. Решения последних, так называемые изображения, позволяют по определенным правилам записывать искомые функции времени – оригиналы.

Приложение операционного исчисления к задачам электротехники привело к созданию операторного метода, вообще не требующего составления дифференциальных уравнений. Реальные электрические схемы преобразуются в чисто математические – операторные схемы, расчет которых формально не отличается от расчета обыкновенных электрических цепей.

Составление операторных схем ведется по следующим правилам:

– операторная схема сохраняет конфигурацию послекоммутационной электрической цепи;

– сопротивления переносятся в операторную схему без изменения;

– индуктивность L заменяется элементом рL, последовательно с которым включается добавочная ЭДС Li(0), направленная по току;

– емкость С заменяется элементом 1/рC, последовательно с которым включается добавочная ЭДС u_C(0)/р, направленная против тока;

– ЭДС и токи заменяются их изображениями (рис. 4).

Рис. 4. Операторная схема

Полученная схема может быть рассчитана любым известным методом. Например, применение контурных токов приводит к следующим уравнениям:

(13)

Операторные токи I(р) и I₂(р) находятся из этой системы, а I₁(р), если необходимо, по первому закону Кирхгофа в операторной форме:

I₁(р)=I(р)–I₂(р).

Изображение напряжения на конденсаторе определяется по закону Ома в операторной форме (рис. 4):

. (14)

Изображения токов из системы (13) удобнее всего находить с помощью определителей. Например, для тока I₂(р) будем иметь:

.

Раскрыв определители и упростив числитель и знаменатель в выражении I₂(р), после проверки (как она выполняется, см. ниже) подставляем его в (14). В результате получаем выражение вида

, (15)

где а, b, d, f, g, h – некоторые числа.

Перед отысканием оригинала полученное изображение необходимо проверить с помощью предельных соотношений операционного исчисления:

1. ,3) ,

2. ,4) .

По этим же формулам делается и упомянутая выше проверка тока I₂(р).

Если задача имеет нулевые начальные условия, т.е. i_L(0)=0 и u_C(0)=0, что имеет место при подключении к источнику цепи с незаряженным конденсатором, как например на рис. 5, а, то операторная схема не содержит добавочных ЭДС (рис. 5, б), и для расчета можно использовать закон Ома:

,

и т.д.

Рис. 5. Электрическая (а) и операторная (б) схемы с нулевыми начальными условиями

Приступаем к отысканию оригинала u_C(t) по его изображению U_C(р).

Так как знаменатель в формуле (15) имеет нулевой корень, используем следующую формулу разложения:

. (16)

Применение формулы покажем на конкретном числовом примере.

Предположим, что в результате всех проделанных вычислений мы получили следующее выражение:

.

Для упрощения дальнейших выкладок рекомендуем разделить все члены дроби на коэффициент при р² знаменателя, т.е. на 4 · 10^-4:

. (17)

В формуле разложения F₁(р) и F₂(р) – это полиномы, стоящие в числителе и знаменателе изображения:

F₁(р)=1050р²+512000р+1375 · 10⁶,

F₂(р)=р²+750р+1,375 · 10⁶.

Записываем их значения при р = 0:

F₁(0)=1375 · 10⁶, F₂(0)=1,375 · 10⁶.

Далее находим корни полинома – знаменателя, т.е. решаем уравнение F₂(р)= 0:

р²+750р+1,375 · 10⁶ = 0,

.

Эти значения должны совпадать с корнями характеристического уравнения в классическом методе.

Примем: р₁= –375+j1111=1173е ^j108,7° ,

р₂= –375–j1111=1173е^{– j}108,7° .

Найденные корни подставляем вместо р в числитель изображения U_С(р), т.е. вычисляем F₁(р₁) и F₁(р₂):

F₁(р₁) =1050(-375+j1111)²+512000(-375+j1111)+1375 · 10⁶=

=(34,62-j306,1) · 10⁶=308 · 10⁶е ^{– j}83,5° ,

F₁(р₂) =1050(-375-j1111)²+512000(-375-j1111)+1375 · 10⁶=308 · 10⁶е ^j83,5° .

Теперь дифференцируем полином, стоящий в скобках в знаменателе формулы (17), т.е. находим F_2? (р) = 2р+750 и вычисляем его значения при
р =р₁ и р =р₂ :

F₂ (р₁) =2(-375+j1111)+750=1111· 2j,

F₂ (р₂) =2(-375-j1111)+750= -1111· 2j.

Результат записываем именно в такой форме, выделяя в нем множитель 2j.

Обращаем внимание на то, что каждая пара результатов в проведенных вычислениях – это сопряженные комплексные числа.

Подставляем найденные величины в формулу разложения (16):

.

Второе и третье слагаемые объединяем в одну дробь, вынося общие множители и собирая вместе соответствующие экспоненты:

.

Вторая дробь в соответствии с формулой Эйлера

представляет собой синус выражения, стоящего в показателе степени экспоненты:

u_C(t) =1000+236,3e^–375tsin(1111t -192,2° ).

или

u_C(t) =1000+236,3e^–375tsin(1111t+167,8° ),

Подставляя сюда t=0 и t ® ¥ , проверяем соответствие полученного выражения моменту коммутации и установившемуся режиму:

,

.

Определение тока в ЕМКОСТИ

Ток, протекающий через конденсатор (ток i₂ в заданной схеме), можно рассчитать классическим или операторным методами (см. разд. 1, 2). Но если закон изменения напряжения на конденсаторе известен, его можно найти из уравнения

. (19)

Именно так и требуется сделать в настоящей работе.

После взятия производной от u_C(t) приходится искать сумму

вида a sin(w t+y ) + b cos(w t+y ), которая легко находится символическим методом.

Например, при С = 4 мкФ применение формулы (19) к полученной ранее функции u_C(t) приведет к выражению

i₂(t) = e ^-375t [-0,354 sin (1111t+167,8° ) + 1,05 cos (1111t+167,8° )].

Синус и косинус в квадратных скобках заменяем соответствующими им комплексными числами, учитывая, что cos(1111t+167,8° ) = sin(1111t+257,8° ), производим следующие вычисления:

-0,354е ^j167,8° +1,05e ^j257,8° =0,346-j0,0748+(-0,222-j1,026)=

=0,124-j1,10=1,11e ^{– j}83,6° .

Делаем обратный переход к синусоидальной функции времени:

i₂(t)=1,11e^–375t sin(1111t-83,6° ). (20)

При t=0 выражение (20) должно дать число, равное значению i₂(0), найденному в п. 2 разд. 1.

.

МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ