Тема 4. Основы математической статистики
Задачи и основные понятия статистики. Выборочный метод. Генеральная совокупность и выборка, вариационный ряд, полигон частот, гистограмма, эмпирическая (статистическая) функция распределения. Числовые характеристики выборочного распределения.
Понятие об оценке параметров. Характеристики оценок. Методы нахождения оценок: метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов.
Понятие об интервальной оценке параметров. Доверительная вероятность. Построение доверительного интервала для оценки характеристик генеральной совокупности.
Тема 5. Проверка статистических гипотез
Понятие статистической гипотезы. Общая схема проверки статистической гипотезы. Проверка гипотез о равенстве средних и дисперсий двух совокупностей. Проверка гипотез о законе распределения выборки. Проверка гипотез об однородности выборок.
Тема 6. Регрессионный анализ. Элементы дисперсионного анализа
Линейная парная регрессия. Коэффициент детерминации. Проверка значимости уравнения регрессии. Определение доверительных интервалов для коэффициентов и функции регрессии.
Однофакторный дисперсионный анализ. Межгрупповая вариация. Внутригрупповая вариация. Двухфакторный дисперсионный анализ.
ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Тема 1. Случайные события
Занятие 1.
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Решить задачи [Л1[1], с.34 – 35]:
1.17а; 1.18; 1.19.
3. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются 4 приглашения на дискотеку, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся
а) только девушки, б) только юноши?
На дом
Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся
две девушки и двое юношей?
4. Решить задачи [Л1, с.61 – 62]:
1.37; 1.43; 1.45 на дом 1.38; 1.45; 1.51.
5. В одной группе Г1 студентов, из которых О1 учатся на «отлично». В другой – Г2 студентов, из которых на «отлично» учатся О2. Из каждой группы случайным образом выбрали по одному студенту. Какова вероятность того, что оба учатся на «отлично»?
а) Г1=18; О1=9; Г2=16; О2=4
На дом
б) Г1=15; О1=5; Г2=20; О2=6.
6. Решить задачи [Л1, с.45, 63]:
1.26а-б; 1.55 на дом 1.26в-д; 1.56.
Занятие 2.
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. В семье двое детей. Известно, что один из них мальчик. Какова вероятность, что оба ребенка – мальчики?
3. По результатам проверки зачетных работ оказалось, что в первой группе получили зачет 20 студентов из 30, а во второй 16 из 32. Какова вероятность того, что наудачу выбранная зачтенная работа принадлежит студенту первой группы?
4. Решить задачи [Л1, с.49, 64-65]:
1.31а; 1.65; 1.69 на дом 1.33а; 1.70; 1.82.
5.Два стрелка сделали по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, а для второго – 0,4. В мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что пробоина принадлежит первому стрелку.
На дом
Два стрелка сделали по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, а для второго – 0,5. В мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что пробоина принадлежит второму стрелку.
Занятие 3
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Решить задачи [Л1, с. 53, 64-67]:
1.34; 1.72; 1.78; 1, 85; 1.98 на дом 1.73; 1.75; 1.87; 1.95; 1.97.
3. Вероятность, что малое предприятие станет банкротом в течение года равна 0,2. Найти вероятность, что из восьми малых предприятий за первый год обанкротятся два предприятия.
На дом
Найти вероятность, что из восьми малых предприятий за первый год обанкротятся более двух предприятий.
Тема 2. Случайные величины
Занятие 1
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Решить задачи [Л1, с.90-92]:
3.2; 3.3.
Построить функцию распределения, найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение исходных и полученных случайных величин.
3. Решить задачи [Л1, с.133-137]:
3.25; 3.28; 3.31; 3.52 на дом 3.26; 3.29; 3.34; 3.54.
Занятие в компьютерном классе 1
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Построение и анализ графиков плотностей распределений и функций распределений Бернулли, Пуассона, Фишера, Стьюдента, экспоненциального и нормального с использованием стандартных функций Excel (БИНОМ РАСП, ПУАССОН, FРАСП, СТЬЮДРАСП, ЭКСПРАСП, НОРМРАСП).
3. Нахождение критических значений различных распределений для разных уровней значимости (КРИТБИНОМ, FРАСПОБР, СТЬЮДРАСПОБР, НОРМОБР).
4. Использование нормализованных значений, определение квантилей (НОРМАЛИЗАЦИЯ)
Практическое контрольное задание
1. Построить и сравнить графики плотностей распределения и функций распределений хи-квадрат с числом степеней свободы 5 и 3 на интервале (0, 10).
2. Найти критические значения этих распределений для уровней значимости 0,05 и 0,01.
Занятие 2
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из числа выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа возвращенных кредитов.
3. Решить задачи [Л1, с.135-140]:
3.36; 3.41; 3.49; 3.58; 3.64 на дом 3.43; 3.50; 3.57; 3.59; 3.65; 3.72
Занятие в компьютерном классе 2
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Случайные величины X и Y независимы и имеют один и тот же закон распределения.
| Значение | |||
| Вероятность | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
Составить закон распределения случайной величины Z=2X. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайных величин X, Y, Z.
3. Решить задачи [Л1, с. 214]:
5.10; 5.18, 5.23/
4. В ходе эксперимента измерялись характеристики x и y. Представить результаты графически. Найти коэффициент корреляции. Что можно сказать о зависимости этих двух величин?
| x | 0,8 | 1,0 | 2,7 | 3,4 | 0,3 | -0,3 | -0,6 | -0,5 | 1,0 | -2,0 |
| y | -1,0 | 0,4 | -0,1 | -0,4 | -1,6 | 0,3 | 0,8 | 0,9 | 0,0 | -0,5 |
Практическое контрольное задание
1. Составить закон распределения случайной величины W=X+Y (см. таблицу п.2). Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины W.
Занятие 3
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. В группе обучается 36 студентов. Вероятность того, что день рождения студента приходится на определенный день года, равна 1/365. Оценить вероятность того, что, по крайней мере 2 студента имеют одинаковый день рождения.
3. В институте обучается 730 студентов. Вероятность того, что день рождения студента приходится на определенный день года, равна 1/365. Найти наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 января, оценить вероятность такого события. Оценить вероятность того, что, по крайней мере, 3 студента имеют одинаковый день рождения.
4. Фирма раскладывает рекламные листки по почтовым ящикам. Прежний опыт работы показывает, что на 500 рекламных листков приходится один заказ. Оценить вероятность того, что при размещении 25 тысяч листков число заказов будет равно 48.
На дом
Оценить вероятность того, что при размещении 25 тысяч листков число заказов будет находиться в пределах от 45 до 55.
5. Решить задачи [Л1, с. 172 – 174]:
4.14; 4.19 на дом 4.18; 4.21; 4.28
Тема 3. Случайные процессы
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Решить задачи [Л1, с. 241 – 264]:
7.1; 7.1а; 7.3; 7.4; 7.13; 7.15 на дом 7.10; 7.14.
Тема 4. Основы математической статистики
Занятие 1
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. В городе работает N=30000 человек. При выборочном опросе n=600работающих оказалось, что k=200 из них имеют высшее образование. Найти
а)вероятность того, что доля людей с высшим образованию среди всех работающих города отличается от выборочной не более чем на 10%;
б) границы доверительного интервала для числа работающих с высшим образованием (для доверительных вероятностей, равных 0,95 и 0,99).
На дом
Решить задачу 2 при N=40000, n=1000, k=400.
3. Решить задачи [Л1, с.327 – 329]:
9.19; 9.23; 9.26; 9.32 на дом 9.20; 9.25; 9.33.
Занятие в компьютерном классе
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Решить с использованием мастера функций и пакета анализа задачу 8.10, 8.13 [Л1, с.285].
Практическое контрольное задание
1. Решить с использованием мастера функций и пакета анализа задачу 8.11 [Л1, с.285].
Тема 5. Проверка статистических гипотез
Занятие в компьютерном классе
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Для проверки эффективности новой системы оплаты труда отобраны две группы рабочих. В первой группе применялась новая система, а во второй – нет. Результаты выборочного эксперимента приведены в таблице. На уровне значимости 0,05 выяснить влияние новой системы оплаты труда на производительность.
| Группа | Численность | Выборочная средняя выработка | Выборочная дисперсия выработки |
3. В двух группах, различающихся базовым образованием, проводилось психологическое тестирование, в результате которого была получена некоторая интегральная характеристика каждого испытуемого, измеряемая в баллах и принимающая значение от 100 до 400. В группе с гуманитарным образованием оказалось 12 человек, у которых эта характеристика имела значение от 100 до 200, 14 – от 200 до 300 и 5 – больше 300. В группе с техническим образованием оказалось 16 человек, у которых эта характеристика имела значение от 100 до 200, 7 – от 200 до 300 и 6 – больше 300.
Зависит ли исследуемая характеристика от типа образования? Ответ обосновать с использованием критерия хи-квадрат.
4. Решить c использованием формул, мастера функций и надстройки «пакет анализа данных» задачи 10.17; 10.26 [Л1, с.375 – 377].
Практическое контрольное задание
Решить c использованием формул и мастера функций задачу 10.19 [Л1, с.285].
Тема 6. Регрессионный анализ. Элементы дисперсионного анализа
Занятие в компьютерном классе
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Решить c использованием формул, мастера диаграмм и надстройки «пакет анализа данных» задачи 13.9; 11.4 [Л1, с.476, 393].
Практическое контрольное задание
Решить c использованием формул, мастера диаграмм и надстройки «пакет анализа данных» задачу 12.15 [Л1, с.437].