Консультация по УМФ перед ГОСом

Консультация по УМФ перед ГОСом

Формула Даламбера

Пусть дана струна столь длинная, что её практически можно считать бесконечной. Пусть на эту струну не действуют никакие внешние силы. Тогда закон колебания струны будет задаваться уравнением:

и начальными условиями:

Где – начальное отклонение, а – начальная скорость (ясно, что и должны быть заданы для всех ).

Задавать граничные условия здесь не имеет смысла: струна бесконечна и, следовательно, не имеет границ.

Уравнение колебания струны является уравнением гиперболического типа, т.к. дискриминант квадратичной формы . Сформулированная дифференциальная задача называется задачей Коши.

Приведём это уравнение к каноническому виду. Составим характеристическое уравнение квадратичной формы

.

Оно распадается на два уравнения:

.

Решая эти уравнения получим два семейства характеристик:

; .

Следовательно, для приведения уравнения колебания к каноническому виду, надо сделать следующую замену переменных:

, .

Для того, чтобы осуществить эту замену, надо выразить и через производные от u по x и h.

Предварительно найдём:

x_x=1; h_x=1; x_t=–a; h_t=a.

u_t=–au_x+au_h.

u_x= u_xx_x+u_hh_x= u_x+u_h.

Найдём вторые производные:

u_xx=(u_x)_xx_x+(u_x)_hh_x+(u_h)_xx_x+(u_h)_hh_x=

+u_xx +2u_xh+u_hh,

u_tt=–a(u_x)_xx_t-a(u_x)_hh_t +a(u_h)_xx_t+a(u_h)_hh_t=

=a²u_xx– 2u_xha²+a²u_hh.

Первое уравнение умножаем на a² и после сокращений получаем уравнение:

u_xh=0.

Вот такой вид получает уравнение колебаний струны в канонической форме.

Для того чтобы решить это каноническое уравнение, перепишем его следующим образом:

(u_x)_h=0.

Так как производная от (u_x) по h равна нулю, то (u_x) не зависит от h, следовательно (u_x) может зависеть только от x: т.е.

(u_x)=¦(x ); u_x=¦(x ).

Далее, интегрируя по x полученное равенство, получим:

u=ò¦(x )dx+C,

где С=const, т.е. С не зависит от x, однако может зависеть от h, поэтому обозначим C=F(h), где F – совершенно произвольная функция одного переменного. С другой стороны, в силу произвольности функции ¦(x) её неопределённый интеграл также является произвольной функцией от x.

Обозначим его через Ф(x ). Итак:

u=Ф(x )+F(h).

Или, если вернутся к старым переменным x и t , получим:

u=Ф(x–at)+F(x+at).

Это общее решение уравнения колебаний струны. Для того, чтобы определить функции Ф и F (и, тем самым, найти закон колебания данной струны) надо использовать начальные условия.

Из первого условия u(x,0)=j(x) следует:

F(x–a×0)+F(x+a×0)= F(x)+F(x)=j(x).

Задачи

1. Решить задачу Коши , , .

Решение. Это неоднородное уравнение. Его решение является суммой двух решений - общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Решение однородного уравнения – это решение, получающееся по формуле Даламбера

Частным решением неоднородного уравнения в данной задаче является функция

.

Ответ.

2. Решить методом Фурье

Решение. Это первая краевая задача для уравнения колебаний струны с ненулевыми граничными условиями. Собственные числа и собственные функции первой краевой задачи для уравнения колебаний струны нам известны. (Кому неизвестны пожалуйста, повторите).

Но здесь неоднородные граничные условия

Делаем замену переменных: , где должна удовлетворять условиям: ; Тогда . Получили , тогда граничные условия для функции будут: ; то есть они становятся однородными (нулевыми).

Начальные условия для функции :

Уравнение для функции у нас остаётся однородным: .

Решение этого уравнения при нулевых граничных условиях имеет вид:

,

где и - это коэффициенты Фурье начальных данных.

Ввиду ортогональности системы синусов, этот интеграл не равен нулю только при

= интегрируем по частям:

Отсюда

Ответ:

3. Решить методом Фурье

Решение. Это неоднородное уравнение. Решения неоднородных уравнений ищутся в виде суммы двух функций , где - решение однородной задачи для уравнения со всеми поставленными в задаче начальными и граничными условиями, а - решение неоднородной задачи для уравнения с нулевыми начальными и граничными условиями.

Очевидно, что в этом случае функция будет представлять искомое решение неоднородного уравнения. В нашем случае функция будет равна нулю, ввиду нулевых начальных и граничных условий. Но нам для решения неоднородной задачи потребуются собственные числа и собственные функции однородной задачи. В нашем случае однородная задача является первой краевой задачей, её собственные числа и собственные функции нам известны: , . Решение неоднородной задачи ищется в виде ряда по собственным функциям однородной задачи: , где необходимо будет найти, а для этого неоднородность также необходимо разложить в ряд Фурье по собственным функциям однородной задачи. Видно, что выбранная в таком виде функция удовлетворяет нулевым граничным условиям за счёт присутствующего в ней сомножителя , а для получения нулевых начальных условий, надо потребовать, чтобы и .

Итак, разложим функцию в ряд Фурье по собственной системе функций . Найдём коэффициенты Фурье :

Итак, для отыскания функций имеем уравнение:

.

Решение этого обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения ищется в виде суммы частного решения и общего решения однородного уравнения: При нашей правой части частное решение ищется в виде Подставляем в уравнение получаем: Отсюда

Значит

Подставляя начальные данные найдём коэффициенты и :

Отсюда

Итак, функции - найдены.

Поскольку , получаем ответ.

Ответ.

Консультация по УМФ перед ГОСом

Формула Даламбера

Пусть дана струна столь длинная, что её практически можно считать бесконечной. Пусть на эту струну не действуют никакие внешние силы. Тогда закон колебания струны будет задаваться уравнением:

и начальными условиями:

Где – начальное отклонение, а – начальная скорость (ясно, что и должны быть заданы для всех ).

Задавать граничные условия здесь не имеет смысла: струна бесконечна и, следовательно, не имеет границ.

Уравнение колебания струны является уравнением гиперболического типа, т.к. дискриминант квадратичной формы . Сформулированная дифференциальная задача называется задачей Коши.

Приведём это уравнение к каноническому виду. Составим характеристическое уравнение квадратичной формы

.

Оно распадается на два уравнения:

.

Решая эти уравнения получим два семейства характеристик:

; .

Следовательно, для приведения уравнения колебания к каноническому виду, надо сделать следующую замену переменных:

, .

Для того, чтобы осуществить эту замену, надо выразить и через производные от u по x и h.

Предварительно найдём:

x_x=1; h_x=1; x_t=–a; h_t=a.

u_t=–au_x+au_h.

u_x= u_xx_x+u_hh_x= u_x+u_h.

Найдём вторые производные:

u_xx=(u_x)_xx_x+(u_x)_hh_x+(u_h)_xx_x+(u_h)_hh_x=

+u_xx +2u_xh+u_hh,

u_tt=–a(u_x)_xx_t-a(u_x)_hh_t +a(u_h)_xx_t+a(u_h)_hh_t=

=a²u_xx– 2u_xha²+a²u_hh.

Первое уравнение умножаем на a² и после сокращений получаем уравнение:

u_xh=0.

Вот такой вид получает уравнение колебаний струны в канонической форме.

Для того чтобы решить это каноническое уравнение, перепишем его следующим образом:

(u_x)_h=0.

Так как производная от (u_x) по h равна нулю, то (u_x) не зависит от h, следовательно (u_x) может зависеть только от x: т.е.

(u_x)=¦(x ); u_x=¦(x ).

Далее, интегрируя по x полученное равенство, получим:

u=ò¦(x )dx+C,

где С=const, т.е. С не зависит от x, однако может зависеть от h, поэтому обозначим C=F(h), где F – совершенно произвольная функция одного переменного. С другой стороны, в силу произвольности функции ¦(x) её неопределённый интеграл также является произвольной функцией от x.

Обозначим его через Ф(x ). Итак:

u=Ф(x )+F(h).

Или, если вернутся к старым переменным x и t , получим:

u=Ф(x–at)+F(x+at).

Это общее решение уравнения колебаний струны. Для того, чтобы определить функции Ф и F (и, тем самым, найти закон колебания данной струны) надо использовать начальные условия.

Из первого условия u(x,0)=j(x) следует:

F(x–a×0)+F(x+a×0)= F(x)+F(x)=j(x).