Оценка погрешностей результатов

НАБЛЮДЕНИЙ

5.1. Оценка погрешностей определения величин функций

При изложении материалов, касающихся оценки погрешностей результа­тов наблюдений, будем в дальнейшем придерживаться методологии решении этих задач, представленной в учебном пособии [2].

Необходимость в определении погрешности величин функций по извест­ным значениям погрешностей их аргументов (факторов) возникает при оценке точности результатов математического эксперимента, а также результатов так называемых косвенных измерений. Под косвенным измерением понимается та­кое, в результате которого значение искомой величины у рассчитывают по из­вестной зависимости ее от других величин х-i, х₂, ..., х_к, измеренных другим спо­собом, т.е.

у = f(xi, x 2 ,..., x i ,..., x k ), (5.1)

где х-i, х₂, ..., Xj,..., х_к - аргументы, определенные независимо друг от друга. В дальнейшем будем полагать, что погрешности определения величины у обу­словлены лишь неточностью численных значений величин х^ х₂, ..., Xj,..., х_к, входящих под знак функции.

Обозначим истинное значение i-ro параметра через Xi, среднее значение

- через х{, а абсолютную погрешность его измерения - через Ах;. Разложим

функцию f(x-i, х₂, ..., х_к) в ряд Тейлора, сохраняя члены с нулевой и первыми степенями погрешностей:

f(x^,...,xi,...,x]_c) = f(xi,...,xj,...,x]_c)+ X

i=l

df(x\,...,x[,...,x]^y

j

дх[

•Ax i ,

Xj=Xj

где все производные

5f(xj,...,xj,...,x]_c)

вычислены при значениях х[ =х[

Xj=Xj

Тогда

5. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ

Лу

f(x\,...,x[,...,x^) -f(x\,...,x[,...,x^)

к

z

i=A

df(x\,...,x[,...,x]_L дх[

Дх_х

Xj=Xj

i=l

\

df(x\,...,x[,...,x]_L

Sxj

к

Axj = 21 Ay- ,
х;=х; i=l

где Ау^

df(x\,...,x]_L

9xj

xi

=4

Axj.

(5.2)

Следовательно, Ay - это составляющие погрешности функции, обуслов­ленные погрешностью i-ro аргумента х.

Доверительная вероятность, соответствующая величине Ау, численно равна доверительной вероятности, с которой найдена погрешность Ах.

Для относительной погрешности вместо соотношения (5.2) используют выражение

Эх,

» 1 д f д ln(f)
А„ =------------ Ах =--------------- Ах

I ох

(5.3)

Соотношения (5.2) и (5.3) применимы для расчета как случайных, так и систематических погрешностей.

Общая абсолютная (Ау_Е) и относительная (А_Е) погрешности определения функции могут быть найдены с помощью выражений

ЛУЕ=±

кi=l

(5.4)

Де* = ±

к г * \2

2^ [^yi i=l

(5.5)

Предполагается, что все составляющие имеют нормальный закон рас­пределения.

Частные производные, входящие в соотношения (5.2) и (5.3), не всегда могут быть найдены аналитически. Часто не удается разрешить искомую зада­чу относительно искомой величины у в явном виде. В этих случаях полезно ис­пользовать численные методы определения производных.

5. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ

Пример 5.1.Рассмотрим погрешность определения массового расхода газового потока стандартным сужающим устройством. При этом будем считать, что случайная составляющая погрешности отсутствует, а поправка на сжимае­мость потока равна единице.

Тогда с учетом выражения для определения массового расхода вещест­ва

G = aF_Qs^2p(p_x -р₂) = aF_Q£.yj2ph, (5.6)

где F₀ - площадь сужающего устройства; 8 - поправочный множитель на сжи­маемость вещества, расход которого измеряется (s =1); р - плотность потока перед сужающим устройством; h - перепад статического давления на сужаю­щем устройстве, а - коэффициент расхода.

Используя соотношения (5.2) и (5.4), получим следующие формулы для расчета абсолютной и относительной погрешности определения расхода:

AG = ±.

9G

~др

Ар

+

5G

dh

Ah

(5.7)

а; = ±.

/ \2

' о G Ар д р G

+

(dG Ah dh G

=

+

2 \

Ар

l Р J

+

Ah h

(5.8)

dG где - aF 08

2p ш V 2h

Учтем далее погрешности определения плотности потоков. В соответст­вии с уравнением состояния газа p=p/RT, где р и Т - соответственно абсолют­ное давление и температура газа перед сужающим устройством, R - универ­сальная газовая постоянная. Абсолютная погрешность определения плотности потока без учета погрешности газовой постоянной составит

Ар = ±

Sp. ^Л —^Ар

Эр

+

Эр

дТ

AT

(5.9)

Эр 1 Эр р

где =---- ; =----

Эр RT ЭТ j^-p2

;

5. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ

относительная погрешность

л* ^АР

р

+

^v2

V Р J

+

^АТ^

т

(5.10)

Тогда относительная погрешность определения массового расхода газо­вого потока будет

Д'о=±

2 \

Ар р

+

/ _Аф\2

Т

+

Ah h

(5.11)

Здесь р, Т, h - значения измеренных параметров; Ар, AT, Ah - их абсо­лютные погрешности. Численные значения Ар, AT, Ah определяются в основном инструментальной погрешностью и могут быть вычислены с учетом класса точ­ности используемых приборов для измерения р и h. Погрешность измерения Т определяется с учетом вида измерительного устройства температуры.

Абсолютная погрешность определения массового расхода газового пото-

ка

AG = GAq,

(5.12)

где G - значение расхода, измеренное экспериментально. Таким образом, ис­тинное значение расхода будет равно

G_ucm =G± AG.,

(5.13)