Гауссова и средняя кривизны поверхности

Определение. Гауссовой (полной) кривизной поверхности называется число, равное произведению главных кривизн K = k1·k2

Определение. Средней кривизной поверхности называется число, равное среднему арифметическому главных кривизн: H = Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru .

Пример. В условиях предыдущей задачи найти гауссову и среднюю кривизны.

k1 = Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ruГауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru , k2 = Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru + Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru => K = – Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru ; H = Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru

Из уравнения главных кривизн и теоремы Виета получаем:

K = Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru и H = Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru

Пример. Условия те же

E = 5, F = 6; G = 10; L = Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru ; M = 0; N = Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru

EG – F2 = 14; EN + GL – 2MF = Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru + Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru = Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru , LN – M2 = Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru

K = Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru ; H = – Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru

Определение. Поверхности, у которых средняя кривизна во всех точках равна нулю, называются минимальными

Из всех гладких поверхностей, ограниченных данным замкнутым контуром, минимальная поверхность имеет наименьшую площадь.

Пример. Найти гауссову и среднюю кривизны прямого геликоида Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru (u cosv, u sinv, bv) (b > 0)

Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru (cos v; sin v; 0) Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru (0; 0; 0) Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru (– sin v; cos v; 0)

Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru (–u sin v; u cos v; b) Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru (–u cos v; –u sin v; 0)

E = 1, F = 0; G = u2 + v2; L = 0; M = – Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru ; N = 0

EG – F2 = u2 + b2; LN – M2 = – Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru

EN + GL – 2MF = 0

K = – Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru H = 0

Таким образом, прямой геликоид является минимальной поверхностью и поверхностью отрицательной кривизны.

В формуле для вычисления гауссовой кривизны знаменатель: EG – F2 = | Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru | > 0, следовательно, знак гауссовой кривизны совпадает со знаком числа LN – M2 => гауссова кривизна позволяет определить тип точек на поверхности.

Примеры поверхностей постоянной гауссовой кривизны

– плоскость, цилиндрические, конические (все развертывающиеся) поверхности имеют постоянную нулевую гауссову кривизну;

– сфера K = Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru > 0 – поверхность постоянной положительной кривизны;

– псевдосфера (поверхность, образованная вращением трактрисы вокруг её асимптоты) – поверхность отрицательной кривизны

Трактриса Псевдосфера

Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru x = a sin t x = a sin u cos v

y = 0 y = a sin u sin v

z = a(ln tg Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru + cos t) z = a (ln tg Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru + cos u)

K = – Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru

Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru

Внутренняя геометрия поверхностей

Изометричные поверхности

Определение. Две поверхности S и S' называются изометричными, если между точками этих поверхностей можно установить такое биективное соответствие, при котором длины соответствующих кривых на поверхностях S и S' равны.

Обозначение: S Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru S'

Если две поверхности изометричны, то говорят, что каждая из них получена изгибанием другой. Таким образом, изгибание поверхности – это такая деформация, при которой не изменяются длины кривых на поверхности.

Примеры.

1. Изгибание плоскости в двугранный угол или параболический цилиндр

Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru

2. Изгибание многогранного выпуклого угла (например, трехгранного) в коническую поверхность, которая имеет такую же развертку и плоский угол, что и данный многогранный угол

           
    Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru
    Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru
  Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru
 
 

3. Если от сферы отсечь плоскостью сферический сегмент и отразить его зеркально относительно плоскости края, получим поверхность, изометричную сфере.

       
  Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru
    Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru
 

Теорема (признак изометричности поверхностей). Две регулярные поверхности S1 и S2, заданные на одной и той же области Q вектор-функциями Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru (u, v) и Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru (u, v) соответственно, изометричны тогда и только тогда, когда одинаковы коэффициенты первых квадратичных форм этих поверхностей

Доказательство

<=) Очевидно, так как длина дуги кривой зависит только от I.

=>) Пусть S1 Гауссова и средняя кривизны поверхности - student2.ru S2 => существует изометрия f : S1 ® S2 и длины соответствующих дуг равны => I1 = I2 <=> dS12 = dS22

Пусть g1 – u1-линия, g2 – u2-линия, g1 ®g2 =>

E1du2 + 2F1du dv + G1dv2 = E2du2 + 2F2du dv + G2dv2

<=> E1 = E2, F1 = F2, G1 = G2

Наши рекомендации