Нахождение оценок параметров по методу моментов
Найдем сначала начальные моменты 1-го и 2-го порядка:
На основании группированной выборки вычислим выборочные моменты:
,
где
k – количество интервалов
Результаты:
k=30 n=1005 =1473 3495210
Составим систему уравнений для нахождения оценок параметров:
Возведя обе части первого уравнения в квадрат и разделив почленно на второе уравнение, получим:
Разделим числитель и знаменатель на λ14 и, обозначив: - придем к уравнениючетвертой степени:
-0.242x4– 1.936x3+ 2.676x2+6.32x -1.922=0
Его единственный положительный корень: х ≈ 0.278
Подставим теперь λ2=0.278∙λ1 в первое уравнение системы:
Отсюда найдем оценки параметров:
Используя найденные оценки, получим оценки функции распределения и плотности вероятности:
(1`)
(2`)
(здесь: t>0; при t≤0обе функции равны 0).
График оценки плотности вероятности и гистограмма
Для построения гистограммы найдем высоты соответствующих прямоугольников:
Значения hiприведены в таблице 2.
Таблица 2 – Значения высот прямоугольников гистограммы
Номер интервала i | Высота прямоугольника hi |
2.72711*10-4 | |
5.12254*10-4 | |
4.42233*10-4 | |
4.90142*10-4 | |
3.83269*10-4 | |
3.50101*10-4 | |
2.0269*10-4 | |
2.39543*10-4 | |
1.65837*10-4 | |
1.36355*10-4 | |
1.21614*10-4 | |
7.37055*10-5 | |
7.37055*10-5 | |
5.89644*10-5 | |
3.68528*10-5 | |
2.57969*10-5 | |
4.05381*10-5 | |
1.84264*10-5 | |
2.57969*10-5 | |
3.68528*10-6 | |
7.37055*10-6 | |
1.10558*10-5 | |
3.68528*10-6 | |
3.6852810-6 | |
6.1421310-7 |
Соответствующие графики изображены на рисунке 2.
Рисунок 2 – График оценки вероятности и гистограмма
Оценивание функции распределения
Значение выборочной функции распределения
в точках tiможно найти по формуле:
При этом: F*(t)=0, если t ≤ 0и F*(t)=1, если t ≥ tk.
Эти значения, а также приведены в таблице 3.
Соответствующие графики изображены на рисунке 3.
Таблица 3 – Значение F*(ti) и
i | ti | F*(t) | i | ti | F*(t) | ||
0.07363 | 0.06084 | 0.96816 | 0.9702 | ||||
0.21194 | 0.18588 | 0.9791 | 0.97655 | ||||
0.33134 | 0.32415 | 0.98408 | 0.98152 | ||||
0.46368 | 0.45301 | 0.99104 | 0.98543 | ||||
0.56716 | 0.5641 | 0.99204 | 0.98849 | ||||
0.66169 | 0.65592 | 0.99403 | 0.9909 | ||||
0.71642 | 0.72994 | 0.99701 | 0.9928 | ||||
0.78109 | 0.7887 | 0.99801 | 0.9943 | ||||
0.82587 | 0.83493 | 0.99801 | 0.99548 | ||||
0.86269 | 0.87109 | 0.99801 | 0.99642 | ||||
0.89552 | 0.89929 | 0.99801 | 0.99716 | ||||
0.91542 | 0.92126 | 0.99801 | 0.99774 | ||||
0.93532 | 0.93836 | 0.999 | 0.99821 | ||||
0.95124 | 0.95169 | 0.999 | 0.99858 | ||||
0.96119 | 0.96209 | 0.99964 |
Рисунок 3 – Оценивание функции распределения
Видно, что оценка функции распределения, полученная на основе построенной математической модели с помощью метода моментов, весьма близка к выборочной функции распределения.
Проверка гипотезы о виде закона распределения
Проверяемая гипотеза H0 состоит в том, что функция распределения времени безотказной работы рассматриваемой системы действительно задается формулой (1).
В соответствие с критерием Пирсона используем статистику
гдеpi=F(ti)-F(ti-1) – вероятность попадания случайной величины τ в i – й интервал. Поскольку значения параметров неизвестны, вместо функции F(t) берется ее оценка
Кроме того, при вычисленииpk полагаем: pk=1-F(tk-1).
Зададим уровень значимости α=0.05 и будем искать критическое значение Uкр из условия:
Как известно, при справедливости гипотезы H0можно считать, что статистика U распределена по закону хи – квадрат с числом степеней свободы r= k-1-m , где m – количество оцениваемых параметров, т.е. в нашем случае r=k-3=27. Поэтому в качестве Uкрвозьмем sr,a, определяемое условием:
где - случайная величина, распределенная по закону хи – квадрат с числом степенейсвободы r.
Из таблицы распределения хи – квадрат (см. приложение Б) имеем:
Uкр =s27,0.05>40.1.
Вычислим значение статистики U=27.702
Поскольку полученное значение U<Uкр гипотеза H0принимается.