Нахождение оценок параметров по методу моментов

Найдем сначала начальные моменты 1-го и 2-го порядка:

Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru

Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru

На основании группированной выборки вычислим выборочные моменты:

Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru ,

где

Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru

Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru

k – количество интервалов

Результаты:

k=30 n=1005 Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru =1473 Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru 3495210


Составим систему уравнений для нахождения оценок параметров:

Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru

Возведя обе части первого уравнения в квадрат и разделив почленно на второе уравнение, получим:

Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru

Разделим числитель и знаменатель на λ14 и, обозначив: Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru - придем к уравнениючетвертой степени:

-0.242x4– 1.936x3+ 2.676x2+6.32x -1.922=0

Его единственный положительный корень: х ≈ 0.278

Подставим теперь λ2=0.278∙λ1 в первое уравнение системы:

Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru

Отсюда найдем оценки параметров:

Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru

Используя найденные оценки, получим оценки функции распределения и плотности вероятности:

Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru (1`)

Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru (2`)

(здесь: t>0; при t≤0обе функции равны 0).

График оценки плотности вероятности и гистограмма

Для построения гистограммы найдем высоты соответствующих прямоугольников:

Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru

Значения hiприведены в таблице 2.

Таблица 2 – Значения высот прямоугольников гистограммы


Номер интервала i Высота прямоугольника hi
2.72711*10-4
5.12254*10-4
4.42233*10-4
4.90142*10-4
3.83269*10-4
3.50101*10-4
2.0269*10-4
2.39543*10-4
1.65837*10-4
1.36355*10-4
1.21614*10-4
7.37055*10-5
7.37055*10-5
5.89644*10-5
3.68528*10-5
2.57969*10-5
4.05381*10-5
1.84264*10-5
2.57969*10-5
3.68528*10-6
7.37055*10-6
1.10558*10-5
3.68528*10-6
3.6852810-6
6.1421310-7

Соответствующие графики изображены на рисунке 2.

Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru

Рисунок 2 – График оценки вероятности и гистограмма

Оценивание функции распределения

Значение выборочной функции распределения

Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru

в точках tiможно найти по формуле:

Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru

При этом: F*(t)=0, если t ≤ 0и F*(t)=1, если t ≥ tk.

Эти значения, а также Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru приведены в таблице 3.

Соответствующие графики изображены на рисунке 3.

Таблица 3 – Значение F*(ti) и Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru

 
i ti F*(t) Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru i ti F*(t) Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru
0.07363 0.06084 0.96816 0.9702
0.21194 0.18588 0.9791 0.97655
0.33134 0.32415 0.98408 0.98152
0.46368 0.45301 0.99104 0.98543
0.56716 0.5641 0.99204 0.98849
0.66169 0.65592 0.99403 0.9909
0.71642 0.72994 0.99701 0.9928
0.78109 0.7887 0.99801 0.9943
0.82587 0.83493 0.99801 0.99548
0.86269 0.87109 0.99801 0.99642
0.89552 0.89929 0.99801 0.99716
0.91542 0.92126 0.99801 0.99774
0.93532 0.93836 0.999 0.99821
0.95124 0.95169 0.999 0.99858
0.96119 0.96209 0.99964
Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru


Рисунок 3 – Оценивание функции распределения

Видно, что оценка функции распределения, полученная на основе построенной математической модели с помощью метода моментов, весьма близка к выборочной функции распределения.

Проверка гипотезы о виде закона распределения

Проверяемая гипотеза H0 состоит в том, что функция распределения времени безотказной работы рассматриваемой системы действительно задается формулой (1).

В соответствие с критерием Пирсона используем статистику

Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru

гдеpi=F(ti)-F(ti-1) – вероятность попадания случайной величины τ в i – й интервал. Поскольку значения параметров неизвестны, вместо функции F(t) берется ее оценка
Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru Кроме того, при вычисленииpk полагаем: pk=1-F(tk-1).

Зададим уровень значимости α=0.05 и будем искать критическое значение Uкр из условия:

Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru

Как известно, при справедливости гипотезы H0можно считать, что статистика U распределена по закону хи – квадрат с числом степеней свободы r= k-1-m , где m – количество оцениваемых параметров, т.е. в нашем случае r=k-3=27. Поэтому в качестве Uкрвозьмем sr,a, определяемое условием:

Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru

где Нахождение оценок параметров по методу моментов - student2.ru - случайная величина, распределенная по закону хи – квадрат с числом степенейсвободы r.

Из таблицы распределения хи – квадрат (см. приложение Б) имеем:

Uкр =s27,0.05>40.1.

Вычислим значение статистики U=27.702

Поскольку полученное значение U<Uкр гипотеза H0принимается.

Наши рекомендации