Особенности восприятия дошкольниками количественных представлений в разных возрастных группах.

Развитие количественных и числовых представлений У ДЕТЕЙ ВНЕ ОБУЧЕНИЯ включает:

• овладение манипулятивными действиями с предметами (ран­ний и младший дошкольный возраст);

• составление групп предметов, уменьшение и увеличение ко­личества предметов в группе (2—4 года);

• узнавание количества без счета (явление субитации чисел) (2—3 года);

• отнесение числа (слова-числительного) к количеству предме­тов (2—4 года);

• стремление считать предметы и обозначать их цифрой (2,5—3,5 года);

• увеличение и уменьшение количества предметов;

• овладение счетом (3—4 года);

• количественная оценка непрерывных величин (длины, объема жидкости) (3—5 лет);

• самобытность освоения вычислений.

Уже в раннем возрасте у детей накапливаются представления о совокупностях, состоящих из однородных и разнородных пред­метов. Они овладевают рядом практических действий (расклады­вание в ряд, накладывание одного предмета на другой и др.), на­правленных на восприятие численности множества предметов.

Дети первого и второго года жизни осваивают способы дейст­вий с группами однородных предметов (шарики, пуговицы, коль­ца и др.). Они их перебирают, перекладывают, пересыпают, вновь собирают, раскладывают по горизонтали, в виде кривой линии; выполняют более сложные действия: группируют предметы раз­ной численности по форме и цвету.

Первоначальное формирование представлений о множествен­ности предметов (много) и единичности (один) происходит очень рано (на втором, третьем годах жизни). Показателем этого явля­ется различение детьми единственного и множественного числа.

На втором году жизни дети начинают понимать смысл слов много, мало при различии между группами в два предмета. Однако слова многои мало не имеют для них четкой количественной ха­рактеристики.

Слово много ассоциируется у них и со словом боль­шой, а слово мало — со словом маленький. Слово много относят как к совокупности предметов, так и к их размеру. Так, при воспри­ятии и оценке совокупности, состоящей из больших и маленьких предметов (четыре маленькие машины и одна большая), слово мало они произносили, показывая на маленькие машины, а слово много относили к одной большой машине. Следовательно, коли­чественные представления у детей еще не отдифференцировались от пространственных (В. В. Данилова).

При относительно раннем практическом уровне умения разли­чать совокупности с контрастной численностью элементов слово мало в активном словаре детей появляется позже, чем слово много.

Итак, количественная сторона в совокупности предметов не является еще особым признаком, значимым для детей второго года жизни (В. В. Данилова). В этом возрасте происходит воспри­ятие множества предметов как неопределенной множественно­сти, появляется способность различать по смыслу слова один и много, происходит активное овладение грамматическими форма­ми единственного и множественного числа.

К концу второго года жизни дети уже небезразличны к словам сколько и посчитай. Такие слова стимулируют у них подражатель­ные взрослым действия счета. При этом малыши называют слу­чайные числительные.

На третьем году жизни зарождается тенденция к умению раз­личать разные по численности группы предметов. Слова один, много, мало дети соотносят с определенным количеством предме­тов, выполняют действия в ответ на просьбу взрослых: «Принеси один шарик», «Дай мне много картинок» и т. д.

К концу третьего года дети овладевают умением дифферен­цировать не только предметные совокупности, но и множества звуков.

У детей конца второго — начала третьего года жизни появля­ется стремление самим создавать совокупности предметов.

В этом возрасте наблюдается склонность «сравнивать» пред­меты наложением. Но движения детей еще не точны, к тому же они не видят отношений между сравниваемыми группами пред­метов, их интересует главным образом сам процесс дробления на отдельные предметы и их объединение.

Когда дети накладывают пуговицы на карточку с пятью нари­сованными пуговицами, они обычно раскладывают все имеющие­ся у них пуговицы. При этом они действуют двумя руками в опре­деленном направлении; от середины — к краям, от краев — к се­редине, постепенно переходя к действиям одной рукой в удобном направлении. Иногда при выполнении аналогичных заданий дети ограничиваются фиксацией лишь крайних, наиболее легко и зримо воспринимаемых предметов. Так, ребенок кормит лишь первую и последнюю в ряду куклу, не обращая внимания на про­межуточных между ними. Ребенку предлагают убрать все кубики в коробку или отнести все ложки. Он же ограничивается лишь тем, что убирает несколько кубиков и относит несколько ложек.

Дети третьего года жизни в разных условиях правильно пони­мают и соотносят слова много, малов пределахпяти предметов.

На третьем году жизни количественная сторона множеств по­степенно начинает абстрагироваться от предметного содержания. У детей появляется умение действовать по указанию, что свиде­тельствует об интеллектуальной активности. Так, приняв задание положить предметы одной совокупности на предметы другой, ре­бенок старается поставить столько игрушек, сколько кружков на­рисовано на карточке. У детей появляется интерес к подобным действиям, что создает основу для понимания отношений больше, меньше, равно. Овладение детьми умением сочетать слова больше, меньше с названиями сравниваемых предметов («больше, чем кукол»), использование слова лишние свидетельствует о понима­нии сути отношений равенства, неравенства.

Постепенно дети начинают овладевать способом простейшего сравнения элементов двух множеств. Они накладывают (прикла­дывают) предметы одной совокупности на предметы другой, уста­навливая между ними взаимнооднозначное соответствие, и видят равенство их по количеству. Однако они часто допускают ошибки, заполняя промежутки между изображениями.

По данным В. В. Даниловой, наиболее доступными для различения и осмы­сливания отношения больше — меньше являются сочетания пред­метов в количестве: 1 и 3, 2 и 4, 5 и 2, 3 и 5.

Дети 3-х лет дифференцируют звуки (при двух и четырех уда­рах). В условиях игры они правильно отвечают на вопрос «Кто по­стучал много, кто — мало, кто — один раз?»

Предметные действия детей раннего возраста (1,5—2,5 года) являются пропедевтикой счетной деятельности. Активно дейст­вуя, дети разбрасывают предметы или, наоборот, собирают их. Как правило, все одинаковые действия сопровождаются повторе­нием одного и того же слова: «вот.., вот.., вот...», или «еще.., еще.., еще...», или «на.., на.., на...»; или хаотическим называнием чисел: «два, один, пять...» Иногда каждое повторяемое ребенком слово соотносится с одним предметом или с одним движением, между словом и предметом устанавливается соответствие. Слово помо­гает выделить элемент из множества однородных предметов, дви­жений, более четко отделить один предмет от другого, способст­вует ритмизации действий. Дети легко усваивают простые считал­ки, отдельные слова-числительные и используют их в процессе движений, игр.

В раннем возрасте (2—3 года) дети от хаотического познания числительных переходят к усвоению последовательности чиселв ограниченном отрезке натурального ряда. Как правило, это числа 1,2, 3.

Итак, к трем годам, о чем свидетельствуют результаты иссле­дования В. В. Даниловой, происходят значительные качественные изменения в восприятии и сравнении детьми множеств.

Дети на­чинают выделять количество. Они проявляют способность разли­чать множества предметов и множества звуков, самостоятельно создавать множества из предметов, усваивать смысл слов много, мало, один, относить их к соответствующим группам предметов, звуков, движений.

Содержание развития количественных и числовых представлений у детей ТРЕТЬЕГО И ЧЕТВЕРТОГО ГОДОВ ЖИЗНИ.

• Разнообразные манипулятивные действия с множествами предметов, ориентировка в их цвете, размере, форме, количе­стве {один, много, много — мало) в совместных со взрослым действиях в специально организованной предметно-игровой среде.

• Представления о единичности, умение отделять один предмет от другого, приговаривая: «Один, еще один, еще один» и т. д.

• Представления об относительности слов мало — много (про­слеживание за изменением ситуации: много яблок, мало слив, затем — много груш, а слив по-прежнему мало).

• Поэлементное сравнение предметов по количеству (наложе­нием, приложением); установление соответствия. Осуществ­ление сравнения предметов на дочисловом уровне (столько же, больше чем) и по числу (там, где 3 — больше, где 2 — мень­ше). Выделение лишнего предмета и уравнивание по количе­ству; указание на множество, в котором, не хватает предмета.

• Перечисление однородных и разнородных по составу мно­жеств: один, еще один, еще один и т. д.; называние характе­ристических свойств элементов множества: цвет, размер, форма.

• Восприятие «чисел», называние количества (1, 2, 3). Выбор со­ответствующих цифр.

• Пересчет предметов при поддержке взрослого (до 3—4-х лет).

• Независимость численности множества предметов (в пределах 5 элементов) от способа расположения предметов в простран­стве (на расстоянии, рядом, в виде круга, ряда и т. д.).

• Воспроизведение множеств предметов, звуков, движений (за­данных в образце в количестве от 1 до 5).

В процессе разнообразных практических действий с совокуп­ностями дети усваивают и используют в своей речи простые слова и выражения: много, один, по одному, ни одного, совсем нет (ничего нет), мало, такой же, одинаковый (по цвету, форме), столько же, поровну; столько, сколько; больше, чем; меньше, чем; каждый из; все, всех.

По просьбе взрослого объясняют и интерпретируют: «Возьму еще один и положу», «Стало», «Становится меньше», «Каждому зайцу дали по морковке», «Всех кукол угостили конфетами», «Этот круг лишний, он мне не нужен», «Квадратов не хватило, значит, их меньше», «Постучал столько же раз» и т. д.

Объяснение своих действий требует от детей использования в речи не только простых, но и более сложных предложений с со­юзами а, и, отрицанием не, частицей чем: «В шкафу много игру­шек, и на полу много», «Большие и маленькие шары положили в коробку», «Красные шары положили в красную коробку, а синие — в синюю», «Здесь красные флажки, а этот — не крас­ный», «Мишек меньше, чем кукол».

НАПЯТОМ ГОДУ ЖИЗНИ у детей систематизируются представле­ния о счете как способе обозначения количества числом. Уточня­ется цель (ответить на вопрос «Сколько всего?»), средство дости­жения (процесс сосчитывания), назначение результата (получить число, назвать его и обозначить цифрой).

Дети осваивают следующее.

• Сравнение множеств (поэлементно, на основе зрительного восприятия, проведения линий от одного предмета к другому и т. д.) с определением количественных отношений числом; с выделением различия на 1 элемент, увеличения или уменьше­ния одного из сравниваемых множеств, что помогает ребенку понять способ образования как большего, так и меньшего числа.

• Умения отсчитывать количество предметов названных, пока­занных счетной карточкой, цифрой; воспроизводить заданное количество; выполнять просьбы взрослого: «возьми и передай Гале 4 флажка»; «отдай 2 карандаша из пяти имеющихся».

• Согласование числительных с существительными в роде, числе, падеже: одна утка; один мяч; одно окно. В отдельных случаях ребенок может пользоваться словом предмет; началь­ным при счете является числительное один; общее количество называется как «четыре предмета посуды».

• Подсчет звуков (на слух), предметов, спрятанных в «чудесном мешочке» (по осязанию), движений другого человека (на ос­нове зрительного восприятия), собственных движений (на ос­нове тактильных ощущений).

• Освоение порядка следования чисел и использование поряд­ковых числительных в практической деятельности: при опре­делении номера дома; места животного, направляющегося к водопою в общей «цепочке». Ответы на вопросы «Который?», «Какой по порядку?»

В процессе практических действий с множествами предметов, счета и сравнения дети овладевают словами и выражениями: число (здесь столько же, тоже три, первый, пятый, последний), пара (разложил в ряд, подложил один предмет под другой, составил пары, добавил один предмет, убрал один предмет, стало меньше, со­считал, отсчитал столько, сколько нарисовано) и др.

При этом они упражняются в построении простых и сложных предложений со связками (и, а, если, то), объяснении своих действий, умении за­давать простые вопросы со словом сколько о количестве предметов в комнате, на картине.

Дети учатся выражать в речи не только результат своих дейст­вий, т. е. отвечать на вопрос «Что ты сделал?», но и способ выпол­нения действия. Сначала по вопросам педагога, а затем самосто­ятельно они объясняют ход своих действий. Дети начинают адек­ватно понимать выражения, употребляемые педагогом: «Сравни по количеству», «Какое из чисел больше?», «Если звуков столько же, сколько предметов, то сколько их?», «Равны по количеству», «Не равны по числу».

В пять лет ребенок владеет счетом до 8—10; число восприни­мается им как итог счета, показатель определенного количества предметов, опознавательный и различительный признак несколь­ких множеств. Поясним. Число 5 и соответствующая цифра пока­зывают на то, что кошек, игрушек, столов по 5. Их количество одинаково. Количество элементов первого, второго, третьего множества выражено одним и тем же числом. Для ребенка пяти лет число является результатом измерения, деления целого на не­равные и равные части.

НАШЕСТОМ ГОДУ ЖИЗНИ дети осваивают следующее.

• Осознание независимости количества предметов от занимаемой ими площади.

Предметы одной совокупности раскладываются по горизонтали на близком расстоянии друг от друга, вто­рой — на более далеком расстоянии. Выделяется общий при­знак предметов, входящих в каждое из множеств. Затем дети по заданию педагога находят отличительные признаки. Это могут быть цвет, форма, размер и т. д. Особо подчеркиваются различия в расстоянии между предметами, а отсюда и в зани­маемой каждой совокупностью площади, т. е. в плотности и длине ряда. Количество несущественных признаков в подоб­ных упражнениях нарастает.

Первые упражнения следует про­водить с использованием однородного материала, при этом подчеркивается, что различие между множествами лишь одно — занимаемая площадь. После противопоставления (предметы расположены близко один к другому, поэтому они занимают мало места, и наоборот) педагог предлагает детям найти способ определения равенства или неравенства количе­ства элементов в множествах: «Как вы считаете, поровну пред­метов или нет? Как это доказать? В чем вы убедились?»

• Умение разбивать совокупности из 4, 6, 8, 10 предметов на группы по 2, 3, 4, 5 предметов, определять количество групп и отдельных предметов.

• Освоение состава числа из единиц на конкретных предметах и в процессе измерения, что уточняет и конкретизирует пред­ставление о числе, единице, месте числа в натуральном ряду чисел.

• Различение количественного и порядкового значения числа, применение количественного и порядкового счета в практи­ческой деятельности.

• Деление целого (предмет, геометрическая фигура) на 2, 3, 4 равные части, установление зависимостей между частью и целым, частями целого.

• Освоение умения пользоваться в речи понятиями (словами), отражающими количественные отношения: поровну, столько же, одинаково по количеству, такое же число, не поровну, число, цифра, наложение, приложение, составление пар, часть, целое, половина, четверть и др.

• Использование в речи простых и сложных предложений, крат­ких и точных выражений; объяснение полученного результа­та; ответы на вопросы «Что ты сделал?», «Что ты узнал?», «Как достичь результата?» Усиливается внимание к осмыслению вопросов со словами столько, который, адресованных сверст­никам, воспитателю.

• Понимание смысла слов, которые использует воспитатель: коли­чество, сравни по количеству, отсчитай, по сколько, признак и т. д.

• Сравнение множеств, отличающихся на 2, 3, с целью позна­ния отношений: на сколько больше (меньше).

• Умение сосчитывать небольшие совокупности (3—5 предме­тов) быстро, на основе только зрительного восприятия, запо­минать числа.

• Умения составлять объемные и плоские «числовые лесенки» (модели и схемы) из однородных и разнородных картинок, объектов.

• Освоение измерения условными мерками, определение ре­зультата. Ответы на вопросы «Скольким меркам равна длина скакалки?», «Где больше воды: в бутылке или банке?», «Как ты это узнал?», «Что нужно сделать, чтобы проверить, не ошибся ли ты?» Эти упражнения способствуют познанию числа как отношения измеряемой величины к мере измерения.

• Освоение состава чисел из двух меньших чисел. Запоминание результатов в процессе практических упражнений и использо­вание их в процессе решения арифметических задач (исклю­чая освоение понятий: условие, решение).

17. Методика обучения образованию множеств из отдельных элементов на основе выделения свойств, выделению элементов из множества и сравнение множеств приемами наложения и приложения путем установления взаимооднозначных соответствий.

Современная математика при обосновании таких важнейших понятий, как «число», «геометрическая фигура» и т.д., опирается на теорию множеств.

Специальную работу по формированию элементарных математических представлений начинают проводить в МЛАДШЕЙ ГРУППЕс образования множеств, т.к. выполнение детьми дошкольного возраста различных операций с предметными множествами позволяет в дальнейшем развить у малышей понимание количественных отношений и сформировать понятие о натуральном числе.

У трёхлетнего малыша только начинает формироваться представление о множестве, поэтому очень важно до обучения счётным операциям закрепить у него представление о множестве как целостном единстве, состоящем из отдельных элементов.

Задача обучения состоит в том, чтобы подвести ребёнка к абстрагированию количественной стороны (абстрагирование — это мысленное выделение, вычленение некоторых элементов конкретного множества и отвлечение их от прочих элементов данного множества) в любом множестве; стало быть, надо, чтобы малышнаучился видеть эту количественную сторону, сравнивать количество предметов в разных совокупностях.

В связи с этим ребёнок овладевает значением слов «столько — сколько», «поровну», «больше — меньше». А это становится возможным лишь тогда, когда малыш научится выделять общее в многочисленном конкретном, ибо чем ограниченнее виды конкретных множеств, тем сложнее выделить из них и то общее, что характерно для всех, т.е. количество.

Это требует разнообразного дидактического материала, который отражал бы количественные отношения.

Этот дидактический материал должен сосредотачивать внимание на количественной стороне, не отвлекая малыша на другие признаки. Поэтому предметы для счёта и их изображения должны быть хорошо известны детям в повседневной жизни.

Следующее немаловажное требование к дидактическому материалу — это его многообразие (наборы мелких кубиков, окрашенных в разные цвета, картонные разноцветные кружочки и треугольнички, наборы флажков, пуговиц разного размера и т.д.).

В качестве дидактического материала можно использовать карточки: нарисованные на них в разном количестве предметы должны быть простыми и чёткими, а главное, расположены линейно, что облегчит трёхлетнему малышу их сосчитывание.

Формирование представлений о множестве довольно сложная задача, которая осуществляется путём овладения приёмами наложения и приложения элементов одного множества к элементам другого, знакомства с равенством и неравенством множеств (конечно, только на наглядных примерах, а не на числах), усвоения выражений «поровну», «столько — сколько» и др.

ПРИЁМ НАЛОЖЕНИЯ способствует тому, что внимание ребёнка всё более от­влекается от самих предметов и фиксируется на равенстве множеств и со­ответствии отдельных элементов, представленных на рисунках и в пред­метах.

Наложение является наиболее простым приемом сравненияявляется наложение. Для обучение детей этому приему установления соответствия используются карточки с нарисованными предметами, а впослед­ствии и с геометрическими фигурами в количестве 3—6 штук, а также игрушки. Изображенные предметы располагаются в ряд, так как на данном этапе обучения иное расположение пред­метов затрудняет их адекватное воспроизведение. На изображения ставятся мелкие предметы (раздаточный материал) или накладыва­ются силуэты предметов.

Наглядный материал подбирается для занятий таким образом, чтобы дети видели необходимость сопоставления: угостить зайцев морковкой, посадить бабочек на цветы, надеть на кукол платья и т. д.

ПРИЁМ ПРИЛОЖЕНИЯ - его цель заключается в том, чтобы научить ребёнка видеть и соотносить элементы одного множества с элементами другого.

Прием приложений более сложный, чем прием наложения, так как он требует более четкой дифференцировки элементов внутри множества. Для обучения можно использовать карточки с двумя полосками, на ко­торых предметы изображены лишь на верхней полосе. Наложив предметы на изображения, отметив соответствие, педагог последо­вательно сдвигает вниз каждый из них, подкладывая под изобра­жение. Можно пользоваться специальными карточками, на которых нижняя полоса расчерчена на квадраты, что предупреждает ошибки.

При обучении приемам наложения и приложения следует учить детей накладывать и прикладывать предметы только правой рукой слева направо. Педагог упражняет детей в воспроизведении хлопков, движений на слух (без счета). Не умея считать, малыши воспроизводят множество звуков на основе только чувственного восприятия: они хлопают, поднимают руку или стучат молоточками столько же раз, сколько постучал воспитатель. В данном возрасте огромную роль играет включение в работу таких приемов, при которых участвуют различные анализаторы.

Работу с малышами начинают с заданий на подбор и объединение предметов в группы по общему признаку («Отбери все синие кубики» и т п.)

Умение выделять качественные признаки предметов и объединять предметы в группу на основе одного общего для всех их признака — важное условие перехода от качественных наблюдений к количественным.

Рассмотрим в качестве примера проведение занятий на образование множеств

ОБРАЗОВАНИЕ МНОЖЕСТВ ИЗ ОТДЕЛЬНЫХ ПРЕДМЕТОВ И ВЫДЕЛЕНИЕ ОДНОГО ПРЕДМЕТА ИЗ МНОЖЕСТВА.

Задача этой темы и приведённых ниже упражнений состоит в том, чтобы сформировать у малыша устойчивое представление о множествах и научить сравнивать их.

Для этого ребёнка нужно познакомить с тем, что всякое множество состоит из отдельных однородных элементов. Это очень важная задача, поскольку она в будущем на математическом языке будет означать, что всякое число состоит из единиц. Этой теме следует посвятить 3–4 занятия.

На первом занятии дети узнают, что всякая совокупность составляется из отдельных предметов и что она может быть разделена на отдельные предметы. В связи с этим малышей нужно знакомить с понятиями «много» — «один».

Разложите на столе (на одном из двух подносов) кучкой разноцветные кубики.

Затем, показывая ребёнку рукой на эту кучку, взрослый должен несколько раз громким и чётким голосом сказать ребёнку: «Многокубиков». Далее, взяв из кучки один кубик и положив его на другой поднос, так же чётко сказать: «Малокубиков. Одинкубик».

Это упражнение необходимо повторять 3–5 раз, на следующий день, меняя кубики на шарики и т.д., до тех пор, пока ребёнок не усвоит это задание, и не будет выполнять его самостоятельно.