Вычисление длинны дуги кривой

Пусть плоская кривая AB задана уравнением Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru где Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru непрерывная функция на отрезке Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru Разобьем кривую AB на n произвольных частей точками Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru в направлении от A к B. Соединив соседние точки хордами, получим некоторую вписанную в кривую AB ломаную, длину которой обозначим через P

(рис. 4.10). Через Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru обозначим длину одного звена Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru ломанной, а через Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru длину наибольшего из её звеньев: Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

 
  Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Рис. 4.10

Определение: Число L называется пределом длин ломанных P при Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru если для любого Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru существует Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru такое, что для всякой ломанной, у которой Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru выполняется неравенство

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Если существует предел L длин P, вписанных в кривую ломаных при Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru то этот предел называется длинной дуги AB. Если функция Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru непрерывна вместе с Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru на отрезке Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru то длинна L дуги AB выражается формулой

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru (4.12)

При вычислении длины дуги в случае, когда кривая AB задана параметрическими уравнениями Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru где Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru и Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru - значения параметра t, соответствующие значениям Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru т.е. Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru формула (4.12) принимает вид:

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

При вычислении длины дуги в случае, когда кривая AB задана в полярных координатах уравнением Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru где Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru имеет непрерывную производную Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru на отрезке Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru и точкам A и B соответствует значения Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru , равные Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru и Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru , формула (4.12) примет вид

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru .

Пример.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольной системе координат

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Решение.Найдем производную

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Производная непрерывна, следовательно, можем найти длину дуги кривой по формуле

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru .

Пример. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Решение. Функции Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru непрерывно дифференцируемы.

Найдем Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru и вычислим длину дуги по формуле

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Пример. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Решение. Кривая Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru представляет собой окружность Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru Данная кривая непрерывна (рис. 4.11). Длину дуги OAB вычисляем по формуле Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Рис. 4.11

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Объем тела вращения.

Если функция Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru знакопостоянна на отрезке Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru то объем Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru , Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru (рис. 4.12), вычисляется по формуле

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

 
  Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Рис. 4.12

 
  Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Рис. 4.13

Аналогично, объем Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru тела, образованного при вращении вокруг оси Oy плоской фигуры, ограниченной линиями Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru (рис. 4.13), вычисляется по формуле

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Пример. Эллипс Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru вращается вокруг оси Ox, при этом образуется поверхность, называется эллипсоидом вращения. Найти объем тела вращения.

Решение. Построим эллипс в системе координат xOy по данному уравнению.(рис.4.14)

 
  Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru




Рис. 4.14

Объем тела вращения будем находить по формуле Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru (куб. ед.).

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru найдено из уравнения эллипса.

В частности, при Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru вращается окружность, получим объем шара Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru вокруг оси Ox.

Решение. Фигура ограниченная кривыми Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru где Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru и прямыми Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru вращается вокруг оси Oy. (рис. 4.15)

Объем тела вращения Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Рис. 4.15

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru (куб. ед.)

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Определение 5.1.Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru и её производные Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru т.е. уравнение вида

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Если искомая функция Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru есть функция одной независимой переменной x, дифференциальное уравнение называется обыкновенным, например,

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Если искомая функция y есть функция двух и более независимых переменных, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных, например,

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru

Определение 5.2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например, дифференциальное уравнение

Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru уравнение первого порядка.

Определение 5.3. Решением дифференциального уравнения n – го порядка на некотором множестве D называется функция Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru , определенная на множестве D вместе со своими производными до n – го порядка включительно и такая, что подстановка функции Вычисление длинны дуги кривой - student2.ru в дифференциальное уравнение превращает его в тождество по x на D.

Наши рекомендации