Корреляционные функции ДЧ сигналов и распределение числа совпадений в КФ

Ранее отмечалось, что для систем связи с кодовым разделением абонентов оценкой качества синтезируемых ДЧ сигналов является ВКФ.

Используя определение ФН элемента Ф(t) и условие (3.2), получим ВФН сигналов (3.1), (3.3), которая при Ω=0 определяет ВКФ:

-ДЧ сигнала с ЧКП (3.1)

(3.4)

- ДЧ сигнала с ВКП (3.3)

(3.5)

Эти ВКФ ЧКП и ВКП в дискретных точках имеют вид :

(3.6)

(3.7)

Если положить, что в дискретных точках частотно-временной плоскости для ФН элемента Ф(t) выполняются условия ортогональности (т.е. элементы ЧДС не перекрываются по времени, а их спектры по частоте), т.е.

(3.8)

то при из (3.6), (3.7) получена известная оценка модуля ВКФ в дискретных точках

(3.9)

где т – число совпадений элементов ЧДС, т. е. число решений следующих систем уравнений:

(3.10); (3.11)

Система (3.10) соответствует ВКФ (3.6), а (3.11) –ВКФ (3.7). В этих системах λ изменяется от –М до М, а .

Используя одно из уравнений этих систем можно свести их к уравнениям:

(3.11')

Число решений этих целочисленных уравнений меньше числа решений соответствующих сравнений (см. примечание к табл. 2.3) по модулю М:

(3.12)

Примечание. Два целых числа m и n сравнимы по модулю М, т.е. , где М - целое число, если разность (m - n) делится на М без остатка. Это значит, что m и n при делении на М дают одинаковые остатки. Например, если уравнения (3.11') имеют решения, (т. е. левая часть равна 0) то если М=8 уравнения (3.12) будут иметь больше решений при значениях левой части:0, 8, 16, и т.д., сравнимых по модулю М=8.

Сравнения (3.12) являются частными случаями сравнения

(3.13)

где

Таким образом, число решений сравнения (3.13) по модулю М является оценкой сверху числа решений сравнений (3.12).

Если сравнение (3.13) имеет решений, то в оценке (3.9) ставят вместо m. Обычно, , а соответствует случаю выполнения условия ортогональности (3.8) всюду, что получить невозможно. Поэтому при принимают

ДЧ сигналы с т=1 при данных ν, μ, λ, j, k называют оптимальными. Увеличение числа решений (3.13) увеличивает максимальный уровень ВКФ согласно (3.9), ухудшает использование выделенной полосы частот сигнала в системе и позволяет строить большие системы сигналов, но при .

Найдем число совпадений элементов т в ДЧ сигналах для оценки (3.9). Для случая, когда два ДЧ сигнала (полезный сигнал и мешающий) полностью перекрываются по времени (на выходе СФ будем иметь периодическую ВКФ), известно выражение вероятности появления т совпадений.

(3.14)

где – субфакториал, определенный рекуррентными соотношениями:

(3.15)

(3.16)

, (3.17)

которые позволяют найти любое и .

Выражение в квадратных скобках (3.17) при М >>1 стремится к , а распределение (3.14) к закону Пуассона [3] со средним значением a =1:

(3.18)

т.е. практически не зависит от М.

Наиболее вероятные значения т=0 (нет совпадений) и т=1. Их вероятности примерно равны ≈0,368. Т.к. a =1 для закона Пуассона, то среднее значение модуля ВКФ (3.9).

(3.19)

Для случая, когда два ДЧ сигнала перекрываются частично, то на выходе СФ будем иметь апериодическую ВКФ. Пусть временной сдвиг между ЧДС кратен т.е. где Доказано, что вероятность т совпадений при временном сдвиге п равна

(3.20)

где , (3.21)

а определяется через неполный субфакториал

(3.22)

который при n=0 совпадает с (3.17).

Более точные выражения для малых сдвигов и больших п можно найти в [1].