Закон Гука для изотропного упругого тела.

Закон Гука для линейного напряженного состояния. Вспомним курс сопротивления материалов.

Пусть стержень растягивается вдоль своей оси х напряжениями s_x=s.(рис.Р1)

Рис. Р1

Относительное удлиннение e_х = (продольная деформация) пропорционально напряжению s = s_х:

e_х = или s_х = Еe_х. (Р1)

Коэффициент пропорциональности Е называют модулем упругости или модулем Юнга.

Относительные удлиннения в любом из перпендикулярных направлений e_y = e_z = (поперечные деформации) тоже пропорциональны напряжениям, следовательно, пропорциональны деформации e_х. Пишут так:

e_y = e_z = - m e_x = ,(P2)

где m - коэффициент поперечной деформации или коэффициент Пуассона. Из (Р2) следует:

m = (Р2-а)

Коэффициент Пуассона - это взятое с обратным знаком отношение поперечной деформации к продольной при осевом растяжнии стержня. Знак минус в формуле (Р2) поставлен потому, что при растяжении стержня продольная деформация e_х положительна (длина стержня увеличивается), а поперечные деформации e_y = e_z – отрицательны ( поперечные размеры сокращаются). Коэффициент m в при такой постановке оказывается положительным.

Закон Гука для произвольного напряженного состояния в главных осях тензора напряжений. Теперь построим соотношения для произвольного напряженного состояния, заданного главными напряжениями. Пусть главные оси 1, 2, 3 совпадают с координатными осями x, y, z. (рис.P1).

Рис.Р2.

Произвольное напряженное состояние, характеризуемое тремя главными напряжениями (а) может быть представлено как сумма трех состояний (б)+(в)+(г), каждое из которых является одноосным растяжением в направлении соответствующей оси. Относительные удлинения вдоль осей 1, 2, 3 в каждом из частных случаев б, в, г определятся по формулам (р1) и (р2).

- случай (б): e₁ = , e₂ = ,e₃ = ,

- случай (в): e₁ = , e₂ = , e₃ = ,(Р3)

- случай (г): e₁ = , e₂ = ,e₃ = ,

В соответствии с принципом суперпозиции при одновременном действии напряжений s₁, s₂, и s₃ каждая из компонент деформаций равна сумме ее значений при действии каждого напряжения в отдельности. Просуммировав (по столбцам) результаты (Р3), получим:

e₁ = = ,

e₂ = + = , (Р4)

e₃ = + = .

Из симметрии напряжений и свойств материала следует, что деформации сдвига между главными осями равны нулю, следовательно для изотропного материала главные оси тензоров напряжений и деформаций совпадают, эти тензоры соосны.

Закон Гука припроизвольном напряженном состоянии в произвольных координатны осях. Пусть произвольные оси x, y, z наклонены к главным осям 1, 2, 3 под углами, косинусы которых образуют матрицу (L):

(L) = (P5)

При повороте осей компоненты напряжений преобразуются по формулам (9-а) главы 1. Поскольку исходные оси 1, 2, 3 главные, эти формулы принимают вид:

s_x =

s_y = (Р6)

s_z = ,

t_xy =

t_yz = ............

t_zх = ............

Компоненты тензора деформаций преобразуются по аналогичному закону:

e_x =

e_y = (Р7)

e_z = ,

1/2g_xy =

1/2g_yz = ............

1/2g_zх = ............

Задача состоит в том, чтобы выразить компоненты деформаций e_x,e_y,e_z,g_xy,g_yz,g_zx через напряжения s_x,s_y,s_z,t_xy,t_yz,t_zx.

В первую формулу из (Р7) подставим значения главных деформаций из (Р4):

e_x = =

К множителю при m в фигурной скобке добавим ±s₁l² ± s₂m² ± s₃n², получим:

e_x =

Учитывая, что

s₁+s₂+s₃ = s_x + s_y + s_z , (это первый инвариант тензора напряжений),

l₁²+m₁²+n₁² = 1,

= s_x (первая формула из (Р6)), получим:

e_x = ,

Аналогично получаются формулы для двух других линейных деформаций e_y и e_z.

Теперь определим деформацию сдвига из четвертой формулы (Р7):

g_xy =2( ) =

(К выражению в фигурной скобке добавлено ±s₁l₁l₂ ± s₂m₁m₂ ± s₃n₁n₂ ). Учитывая, что из (Р7-4) следует

) = t_xy ,

а из ортогональности новых координатных осей: , получим:

g_xy , (Р8)

где G = (Р9)

Упругая постоянная материала G называется модулем сдвига или модулем упругости при сдвиге. Модуль сдвига связывает деформацию сдвига g с касательным напряжением t ,которое ее вызывает.

Аналогично получаются выражения для деформаций g_yz иg_zx. Полностью система уравнений закона Гука в произвольных осях имеет вид:

e_x = g_xy =

e_y = g_yz = (P10)

e_z = g_zx =

Дальше не закончено.