Находящейся под действием постоянных сил

Варианты 1 — 5 (рис. 117, схема 1). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол а с гори­зонтом, в течение т с. Его начальная скорость v_A. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f

В точке В тело покидает плоскость со скоростью v_B и попадает со скоростью в точку С плоскости BD, наклоненной под углом β к гори­зонту, находясь в воздухе Т с.

При решении задачи тело принять за материальную точку; сопро­тивление воздуха не учитывать.

Вариант 1. Дано: α= 30°; v_A = 0; / = 0,2; /=10 м; β= 60°. Определить х и h.

Вариант 2. Дано: α = 15°; v_A = 2 м/с; f=0,2; h = 4 м; β = 45°. Опре­делить l и уравнение траектории точки на участке ВС.

Вариант 3. Дано: α = 30°; v_A = 2,5 м/с; ; l = 8 м; d = 10 м; β = 60°. Определить и τ.

Вариант 4. Дано: v_A = 0; τ = 2 с; l= 9,8 м; β= 60°; f= 0. Определить α и Т.

Вариант 5. Дано: α = 30°; v_A = 0; l = 9,8 м; τ = 3 с, β= 45°. Определить f и

Варианты 6—10 (рис. 117,схема 2). Лыжник подходит к точке А участка трамплина АВ, наклоненного под углом а к горизонту и имеющего длину l, со скоростью v_A. Коэффициент трения скольжения лыж на участке АВ равен/. Лыжник от Л до В движется х с; в точке В со скоростью v_B он покидает трамплин. Через Т с лыжник приземляется со скоростью v_c вточке С горы, составляющей угол β с горизонтом.

При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 6. Дано: α=20⁰; f=0.1; τ=0.2 c; h=40м; β=30⁰. Определить l и

Вариант 7. Дано: α=15⁰; f=0.1; =16 м/c; l=5м; β=45⁰. Определить и Т.

В а р и а и т 8. Дано: v_A = 21 м/с; f= 0; τ= 0,3 с; v_B = 20 м/с; β=60⁰ Определить α и d.

Вариант 9. Дано: α = 15°; τ = 0,3 f=0,1; h=30 м; β=45°. Определить v_B и

Вариант 10. Дано: α =15°;f=0; = 12 м/с; d= 50 м; β = 60°. Определить т и уравнение траектории лыжника на участке ВС.

Варианты 11—15 (ряс. 117, схема 3). Имея в точке А скорость v_A, мотоцикл поднимается т с по участку АВ длиной l, составляющему с горизонтом угол а. При постоянной на всем участке АВ движущей силе Р мотоцикл в точке В приобретает скорость v_B и перелетает через ров шириной d, находясь в воздухе Тс и приземляясь в точке С со скоростью Vc Масса мотоцикла с мотоциклистом равна m.

При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом материальной точкой и не учитывать силы сопротивления движению.

Вариант 11. Дано: α= 30°; ; l = 40 м; v_A = 0$ v_B = 4,5 м/с; d= 3 м. Определить τ и h;.

В а р и а и т 12. Дано: α = 30°; Р = 0; l = 40 м; v_B = 4,5 м/с; h = 1,5 м. Определить v_A и d.

Вариант 13. Дано: α = 30°; т = 400 кг, v_A = 0; τ= 20 с; d = 3 м; h = 1,5 м. Определить Р и l.

Вариант 14. Дано: α = 30°; т = 400 кг; Р = 2,2 кН; v_A = 0; l = 40 м; d=5м. Определить v_B и

Вариант 15. Дано: α = 30°; v_A = 0; Р = 2 кН, l= 50 м; h= 2 м; d=4м. Определить Т и m.

Варианты 16—20 (рис. 117, схема 4). Камень скользит в течение τ с по участку АВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l. Его начальная скорость v_A. Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен f. Имея в точке В скорость v_B, камень через Т с ударяется в точке С о вертикальную защитную стену. При решении задачи при­нять камень за материальную точку; сопротивление воздуха не учиты­вать.

Вариант 16. Дано: α = 30°; v_A = 1 м/с; 1 = 3 м; f= 0,2; d = 2,5 м. Определить h и Т.

Вариант 17. Дано: α =45°; l = 6 м; v_B = 2 v_A; τ= 1с; h =6 м. Определить d и f.

Вариант 18. Дано: α = 30°; l = 2 м; v_A = 0; f= 0,1; d=3 м. Определить

d и τ.

Вари а н т 19. Дано: α = 15°; l = 3 м; v_B = 3 м/с; ; τ=1,5 с; d= 2 м. Определить v_A и h.

Вариант 20. Дано: а. = 45°, v_A = 0; f= 0,3; d = 2 м; h = 4 м. Опре­делить

l и τ.

Варианты 21 — 25 (рис. 117, схема 5). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Его начальная скорость v_A. Коэффициент трения скольжения равен f. Через τ с тело в точке В со скоростью v_B покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью v_c; при этом оно находится в воздухе Т с.

При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 21. Дано: α= 30°; f= 0,1; v_A = 1 м/с; τ= 1,5 с; h = 10м Определить α и d

Вариант 22. Дано: v_A = 0 α = 45°; l=10 м; τ= 2 с. Определить f и уравнение траектории на участке ВС.

Вариант 23. Дано: f=0; v_A = 0; l = 9,81 м, τ= 2 с; h = 20 м. Опре­делить α и Т.

Вариант 24. Дано: v_A = 0; α = 30°; f=0,2; l = 10 м; d = 12 м. Опре­делить τ и h.

В а р и а н т 25. Дано: v_A = 0; α = 30°; f = 0,2; l = 6 м, h = 4,5 м. Опре­делить τ и v_C.

Варианты 26—30 (рис. 117, схема 6).Имея в точке А скорость v_A, тело движется по горизонтальному участку АВ длиной l в течение τ с. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f. Со скоростью v_B тело в точке В покидает плоскость и попадает в точку С со скоростью v_c, находясь в воздухе Т с. При решении задачи принять тело за мате­риальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 26. Дано: v_A = 7 м/с; f= 0,2; l = 8 м; h = 20 м. Опреде­лить d и v_C

Вариант 27. Дано: v_A = 4 м/с; f = 0,1; τ= 2 с; d = 2 м. Определить v_B и h.

Вариант 28. Дано: v_B = 3 м/с; f = 0,3; l = 3 м; h = 5 м. Определить v_A и Т.

В а р и а н т 29. Дано: v_A = 3 м/с; v_B = 1 м/с; l = 2,5 м; h = 20 м. Опре­делить f и d.

Вариант 30. Дано: f=0,25; l=4м; d = 3 м; h = 5 м. Определить v_A и τ.

Пример выполнения задания (рис 118). В железнодорожных скальных выемках для защиты от кюветов от попадания в них с откосов каменных осыпей устраивается «полка» DC . Учитывая возможность движения камня из наивысшей точки А откоса и пологая при этом его начальную скорость , определить наименьшую ширину полки b и скорость , с которой камень падает на нее. По участку АВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l, камень движется τ, с.

При решении задачи считать коэффициент трения скольжения f камня на участке АВ постоянным, а сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано: : v_A = 0 м/с; α = 60⁰; l = 4 м; h = 5 м; ; τ=1 с; β=75⁰. Определить b и v_C

Решение. Рассмотрим движение камня на участке АВ. Принимая камень за материальную точку, покажем (рис 118) действующие на него силы: вес , нормальную реакцию и силу трения скольжения . Составим дифференциальное уравнение движения камня на участке АВ:

Сила трения

где

Таким образом:

или

Интегрируя дифференциальное уравнения дважды, получаем

Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями задачи: при t=0; и

Составим уравнения, полученные при интегрировании, для t=0:

;

Найдем постоянные:

С₁=0; С₂=0

Тогда

Для момента τ, когда камень покидает участок,

т.е

откуда

т.е.

Рассмотрим движение камня от точки В до точки С.

Показав силу тяжести , действующую на камень, составим дифференциальное уравнение его движения:

Начальное ускорение задачи при t=0

Интегрируем дифференциальные уравнения дважды:

Напишем полученные уравнения для t=0;

;

Отсюда найдем, что

Получим следующее уравнение скоростей камея:

И уравнение его движения:

Уравнение траектории камня найдем, исключив параметр t из уравнений движения. Определив t из первого уравнения и подставив его значение во второе, получаем уравнение параболы:

В момент падения

Определяя d из уравнения траектории, найдем:

Так как траекторией движения камня является ветвь параболы с положительными абсциссами ее точек, то d=2,11 м.

Минимальная ширина полки

Используя уравнение движения камня , найдем время Т движение камня от точки В до точки С:

Скорость камня при падении найдем через проекции скорости на оси координат

по формуле

Для момента падения t=T=0.53 c,

м/с

Задание Д.4. Исследование относительного движения материальной точки

Шарик М,рассматриваемый как материальная точка, перемещается по цилиндрическому каналу движущегося тела А (рис. 129—І31). Найти уравнение относительного движения этого шарика х =f (t), приняв за начало отсчета точку О.

Тело А равномерно вращается вокруг неподвижной оси (в вариантах 2, 3, 4, 7, 10, 11, 14, 20, 23, 26 и30 ось вращения z₁ вертикальна, в ва­риантах 1, 12, 15 и 25 ось вращения x₁горизонтальна). В вариантах 5, : 6, 8, 9, 13, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 24, 27, 28 и 29 тело А движется поступа­тельно, параллельно вертикальной плоскости y₁O₁z₁.

Найти также координату х и давление шарика на стенку канала при заданном значении t = t₁. Данные, необходимые для выполнения задания, приведены в табл. 40.

Таблица 40

№ вар	α град	m кг	ω рад/с	Начальные данные	t1 c	c н/см	l0 м	Уравнение движения тела А	rh м	f
x0 м	v м/с
	-	0,02	π		0,4	0,5	-	-	-	-
	-	0,02	π		0,2	0,4	-	-	-	0,15
		0,03	2π	0,5		0,2	-	-	-	-
	-	0,09	4 π	0,2	-0,8	0,1	0,36	0,15	-	-
		0,02	-	0,6		0,2	-	-	y1=0.6-2t3 (м)	-
	-	0,01	10 π	0,5		0,2	-	-	-	0,10
	-	0,03	2 π	0,3		0,2	-	-	-	0,20
		0,03	-	0,8		0,1	-	-	z1=0.1cos2πt (м)	-
		0,02	-	0,4		0,1	0,20	0,20	y1=4t3 (м)	-
		0,05	6 π	0,4		0,1	-	-	-	-
		0,05	π			0,4	-	-	-	-
	-	0,08	6 π	0,05		0,1	0,20	0,10	-	-
	-	0,01	-		0,5	0,2	-	-	z1=5-10t2 (м)	-	0,1
	-	0,05	4 π	0,5		0,1	-	-	-	0,20	0,2
	-	0,01	π	0,5		1,0	-	-	-	-
		0,02	-	1,0	2,0	0,1	-	-	y1=0.06t3 (м)	-
	-	0,02	6 π		4,0	0,2	-	-	-	0,20
		0,02	-	0,6		0,1	-	-	y1=0.1sinπt (м)	-
	-	0,08	-	0,4	-0,8	0,1	0,40	0,20	y1=8t-t3 (м)	-
	-	0,01	10 π	0,1		0,2	0,20	0,10	-	-
		0,05	-	0,5	0,1	0,1	-	-	y1=2+t2 (м)	-	0,2
	-	0,03	4 π	0,1	3,0	0,1	-	-	-	0,10
	-	0,01	2 π	-0,5	-0,1	0,2	-	-	-	-
		0,01	-		0,2	0,2	-	-	y1=0.1cos1.5πt (м)	-
	-	0,05	2 π	0,1	-0,4	0,1	0,20	0,20	-	-
	-	0,09	π	0,2	0,3	0,1	0,20	0,1	-	-
		0,02	-	1,0	0,6	0,3	-	-	z1=0.1sin0.5πt( м)	-
	-	0,03	-	0,8		0,3	-	-	y1=8-5t3 (м)	-	0,1
		0,10	-	0,4	1,0	0,1	0,20	0,20	y1=8+t3 (м)	-
		0,02	π/2		0,5	0,2	-	-	-	0,50

В задании приняты следующие обозначения: т — масса шарика М; со — постоянная угловая скорость тела А (в вариантах 1—4, 7, 10—12, 14, 15, 20, 23, 25, 26, 30) или кривошипов ОВ и 0₂С (в вариантах 6, 17, 22); с — коэффициент жесткости пружины, к которой прикреплен шарик М; /₀ — длина недеформированной пружины;/— коэффициент трения скольже­ния шарика по стенке канала; х₀, х₀ — начальная координата и проекция начальной скорости на ось х.

Пример выполнения задания (рис. 132). Дано: α= 30°, ω= я рад/с; т = 0,01 кг; τ= 0,2 с; х₀= 0,3 м; х₀ = 2 м/с; с = 1 Н/м; l₀ = 0,2 м; r= 0,2 м.

Найти уравнение х = х (г) относительного движения шарика М, а также координату х₁ и давление шарика на стенку канала при заданном t = t₁.

Р е ш е и и е. Свяжем подвижную систему отсчета Oxyz с вращающимся каналом (трубкой), совместив ось х с траекторией относительного дви­жения шарика М.

Вращение этой системы вокруг оси z₁ является переносным движением для шарика М. Относительным движением шарика М является его дви­жение вдоль трубки. В том случае, когда переносное движение является

равномерным вращением, относи­тельное движение точки определяется уравнением

К шарику М приложены силы: вес G, реакция пружины Р и нор­мальная реакция стенки трубки: эту реакцию можно разложить на две взаимно перпендикулярные составля­ющие N_} и N₂.

Присоединяем к силам, действую­щим на шарик М, переносную цент­робежную силу инерции и кори-олисову силу инерции , направ­ленные противоположно ускорениям ft" и а_с. Направление ускорения а_с найдем по известному правилу. Предположим, что направление от­носительной скорости v_r точки М совпадает с положительным направлением оси х. В этом случае кориолисова сила инерции Ф_с перпендику­лярна плоскости xOz и направлена, как показано на рис. Т32. Модули сил инерции определяются по формулам

где

ω_е = ω, v_r = | х |.

Основное уравнение относительного движения точки М в данном случае имеет вид

(1)

Составим дифференциальное уравнение относительного движения ша­рика М вдоль оси х:

(реакция пружины Р равна произведению коэффициента жесткости на деформацию пружины).

Последнее уравнение представим в виде

(2)

Общее решение полученного дифференциального уравнения (2) имеет вид

X = X* + X**,

где х* — общее решение соответствующего однородного уравнения: х** — частное решение уравнения (2).

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

= -9.876J.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид

х* = С₁ cos 9,876t + C₂ sin 9,876t.

Частное решение уравнения (2) находим в форме

х** = В.

Из дифференциального уравнения (2) находим

В результате вычислений получаем

В = 0,128 м.

Решение дифференциального уравнения (2) относительного движения 1
шарика М получает вид

х = С₁ cos 9,876t + С₂ sin 9,876t + 0,128. (3)

Скорость этого движения

(4)

Постоянные C_t и С₂ определяем, используя начальные условия:

при t = 0 х₀ = 0,3 м, х₀ = 2,0 м/с.

Составим уравнения (3) и (4) для г = 0:

х₀ = С₁ + 0,128; = 9,876С₂,

откуда

C₁ = 0,172; С₂ = 0,202.

Уравнение относительного движения шарика М принимает вид х = 0,172 cos 9,876t + 0,202 sin 9,876t + 0,128.

Скорость относительного движения

Для определения составляющих реакции стенки трубки N₁ и N₂ при

t = t₁ = 0,2 с выразим векторное уравнение (1) в проекциях на оси у и z. Учитывая, что вектор ,перпендикулярен этим осям, получаем

0 = N₂-Ф_с,

Из этих уравнений находим

Для получения числовых значений N1 и N₂ необходимо определить координату x₁ проекцию относительной скорости точки соответ­ствующие значению t₁= 0,2 с:

Следовательно, составляющие реакции N_x = 0,077 H; N₂ = 0,080 H. Реакция стенки трубки

Искомое давление шарика М на стенки трубки по числовому значе­нию равно найденной реакции N и направлено в противоположную сто­рону.

Задание Д.6. Применение основных теорем динамики к исследованию движения материальной точки

Шарик, принимаемый за материальную точку, движется из положения А внутри трубки, ось которой расположена в вертикальной плоскости (рис. 135-137). Найти скорость шарика в положениях В и С и давление шарика на стенку трубки в положении С. Трением на криволинейных участках траектории пренебречь. В вариантах 3, 6, 7, 10, 13, 15, 17, 19, 25, 28, 29 шарик, пройдя путь h₀, отделяется от пружины.

Необходимые для решения данные приведены в табл. 42.

Таблица 42

№ вар	m. кг	vA м/с	τ с	R м	f	α град	β град	h0 см	c Н/см	определить
	0.5		2.0	2.0	0.20			-	-	-
	0.6		0.2	4.0	0.10			-	-	H
	0.4		2.0	0.2	0.15		-			vD
	0.2		0.5	1.0	0.10		-	-	-	vD
	0.1		1.5	2.0	0.20		-	-	-	-
	0.3		2.0	4.0	0.10					vD
	0.4		1.0	1.0	0.10		-			vD
	0.2		0.5	1.5	0.15					h
	0.5		1.5	4.0	0.25			-	-	vD
	0.4		0.1	0.5	0.10			0.2	0.2	vD
	0.2		1.0	1.0	0.30		-	-		vD,h
	0.4		0.4	2.0	0.20			-	-	vD
	0.3		0.1	1.0	0.10					vD
	0.6		2.0	3.0	0.20			-	-	s
	0.1		0.1	1.0	0.15				0.2	vD
	0.4		0.2	2.0	0.40		-	-	-	vD
	0.2		0.1	1.0	0.20		-		1.0	vD
	0.3		0.4	1.5	0.10		-	-	-	-
	0.1		0.1	0.4	0.30				0.5	vD
	0.2		1.0	0.5	0.10		-		1.2	h
	0.7		0.3	0.3	0.20		-	-	-	-
	0.4		0.2	0.2	0.40		-		1.1	vD,h
	0.6		0.4	0.2	0.20		-	-	-	-
	0.5		0.5	0.6	0.30			-	-	H
	0.1		0.2	0.5	0.25	-			0.4	vD
	0.2		0.1	0.2	0.20		-	-	-	vD
	0.8		0.2	0.4	0.15		-	-	-	vD
	0.3		0.1	0.6	0.35				0.1	vD
	0.5		0.2	0.5	0.20				0.8	vD
	0.8		0.3	0.6	0.15		-	-	-	tDE

В задании приняты следующие обозначения: т — масса шарика; изначальная скорость шарика; τ — время движения шарика на участке АВ (в вариантах 1, 2, 5, 8, 14, 18, 20, 21, 23, 24, 27, 30) или на участке BD (в вариантах 3, 4, 6, 7, 9-13, 15-17, 19, 22, 25, 26, 28, 29); f- коэффициент

трения скольжения ша­рика по стенке труб­ки; h₀ — начальная де­
формация пружины;
h — наибольшее сжатие
пружины; с — коэффи­циент жесткости пру­жины; Н — наиболь­шая высота подъема
шарика; s — путь,

пройденный шариком до остановки.

Пример выполнения задания (рис. 138).Да­но: т = 0,5 кг; v_A = = 0,8 м/с;τ= 0,1 с(время движения на

участке BD); R = 0,2 м; f = 0,1; α = 60°; β = 30°; h₀ =0; с = 10 Н/см =1000 Н/м.

Определить v_B, v_C, N_C, v_D,,h.

Решение. Для определения v_B и vc применим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки. Движение шарика на участках АС и АВ траектории происходит под действием силы тяжести G (силы трения на криволинейных участках не учитываем):

v_B = 4,59 м/с;

или

v_c = 4,26 м/с.

Определяем давление шарика на стенку канала в положении С.

В соответствии с принципом Даламбера для материальной точки геометрическая сумма сил, приложенных к точке, и силы инерции этой точки равна нулю:

Силу инерции материальной точки можно разложить на нормальную и касательную составляющие:

Сумма проекций сил на ось х должна быть равна нулю

Отсюда

или

N'c = 25,2 H.

Реакцию можно также определить с помощью естественного уравнения движения:

Отсюда

Искомое давление шарика на стенку трубки по числовому значе­нию равно найденной реакции и направлено в противоположную сторону.

Скорость шарика в положении D найдем, применив на участке BD теорему об изменении количества движения материальной точки (рис. 139):

К точке приложены сила тяжести G, реакция стенки трубки и силатрения F:

F=fN'=fG cosβ.

Так как

то

откуда

= 4,01 м/с.

Для определения максималь­ного сжатия h пружины вос­пользуемся на участке DE тео­ремой об изменении кинетиче­ской энергии материальной точ­ки:

Учитывая, что v_E = 0 и H₃ =

= h sinβ, получаем

или

h² + 2Gh (sinβ+fcos β)/c -

Решая полученное квадратное уравнение относительно h, получим

h = (-0,003 ±0,090) м.

Принимаем в качестве искомой величины положительный корень квадратного уравнения:

h = -0,003 + 0,090 = 0,087 м.

Задание Д.9. Применениетеоремы об изменении