Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений.

ЛЕКЦИЯ 8:

Системы вида Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru называются линейными.

Будем предполагать, что Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru и Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru непрерывны в интервале Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru . Согласно теореме Пикара система имеет единственное решение Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru удовлетворяет начальным условиям Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru при Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru произвольные.

Решение определено в интервале Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru

Особых решений линейная система (1) не имеет.

Если Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , то система (1) называется однородной Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru (2)

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru

Свойства решений однородной системы.

1. Если однородная система имеет комплексное решение Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru (3), то она имеет два вещественных решения Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru и Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru .

2. Если Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru решение однородной системы (20, то

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru (4) также является решением системы (2), где С – произвольная постоянная.

3. Пусть имеется Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru решений системы (2):

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru

… (5)

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru

Первый индекс обозначает номер решения, а второй означает номер функции.

Линейная комбинация Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru (6) также является решением системы (2).

Результат подстановки Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru ого решения в систему (2) имеет вид:

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru (7).

Тогда свойство 3. доказывается следующим образом:

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru ,

учитывая (7), получаем тождество.

Определение:

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru систем функций

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru

… (8)

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru

называется линейно независимыми в интервале Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , если не существует чисел Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru не равных одновременно нулю, при которых для всего интервала Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru выполнялось бы соотношение Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru (9)

Очевидно, что если одна из систем (8) равна нулю в интервале Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , то эти

системы функций линейно зависимыми в Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru .

Введём в рассмотрение определитель Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru :

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru (10)

Этот определитель называется определителем Вронского или вронскианом.

Теорема 1:

Если Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru систем функций

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru

… (11)

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru

линейно независимыми в интервале Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , то Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru .

Так как Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru систем функций (11) линейно независимыми, то справедливо соотношение Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru (12), где не все Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru равны нулю.

Система (12) является линейной и однородной относительно Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru и имеет ненулевое решение. Следовательно, определитель системы (12) равен нулю, т.е. Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru .

Теорема 2:

Если Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru систем функций

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru

… (11)

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru

системы (2) линейно независимыми в интервале Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , то их вронскиан не обращается в нуль ни в одной точке.

Предположим обратное, что существует точка Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , где Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru .

Составим следующую систему:

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru

…… (13)

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru

определитель системы (13) равен нулю, следовательно, существует ненулевое решение.

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru ,…, Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru (14)

Запишем выражение Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru (15)

(15) является решением системы, кроме этого

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru ,…, Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru

На основании теоремы Пикара решение (15) может быть только ненулевым, т.е. Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru или Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , т.е. решения системы (2) линейно независимыми в интервале Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru , что противоречит условию теоремы.

Из теорем 1. и 2. следует следующее утверждение:

Для линейной независимыми Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru решений системы (2) в интервале Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru ,необходимо и достаточно, чтобы вронскиан был отличен от нуля хоть в одной точке этого интервала, что подтверждает формула Остроградского –

Лиувилля.

Формула Остроградского – Лиувилля.

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru

Для доказательства этой формулы найдем производную от вронскиана(по столбцам)

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru (17)

Итак, Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru (18) Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru решение (18) в форме Коши

Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений. - student2.ru .

Наши рекомендации