Тема 6. Системы линейных уравнений

Контрольная работа №2

5. Найти размерность линейной оболочки векторов (1,-1,3,4,5); (2, 1,3,2,6), (-1,-2,0, 2,-1)

5. Найти размерность линейной оболочки векторов (-1,-2,3,4,5); (2, 1,3,2,6), (3,3,0, -2,1)

Вариант 3

5. Найти базис линейной оболочки векторов (-1,-2,3,4,5); (2, 1,3,2,6), (3,3,0, -2,1)

Вариант 4

5. Найти базис линейной оболочки векторов (5,-2,3,4,5); (2, 1,-3,2,6), (-3,3,-6, -2,1)

Задания для итоговой аттестации

К итоговой аттестации допускается студент, успешно выполнивший контрольные работы и дополнительные задания для самостоятельной работы по всем темам.

Итоговым этапом проверки знаний по данному курсу является экзамен, который проводится в письменной форме. Содержание вопросов одного экзаменационного билета охватывает различные разделы курса с тем, чтобы наиболее более полно отразить пройденный материал. В билет входят:

1. Тестовая часть.

2. Практическая часть.

3. Общетеоретическая часть.

Ниже излагаются основные принципы формирования экзаменационных билетов.

I. Тестовая часть

Перечень тестовых вопросов

1. Если матрицы и , то матрица 3A – 2B имеет вид

а) , б) , в) , г) ,д)

2. Для матриц указать те операции, которые можно выполнить:

а) АВ, б)ВА , в) А^ТВ, г) В^ТА, д) АВ^Т,е) В^ТА^Т, ж) А^Т В^Т, з) ВА^Т

3. При умножении матрицы A на матрицу B справа должно соблюдаться условие

а) число строк матрицы A равно числу строк матрицы B

б) число строк матрицы A равно числу столбцов матрицы B

в) число столбцов матрицы A равно числу столбцов матрицы B

г) если матрицы не квадратные, то они должны быть одинакового размера

д) верный ответ отсутствует

4. Для матриц элемент c₂₃ произведения С = B A равен:

а)1, б)0, в)2, г)-2

5. Квадратная матрица называется диагональной, если

а) элементы, лежащие на побочной диагонали, равны нулю

б) элементы, лежащие на главной диагонали, равны нулю

в) элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю

г) элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю

д) элементы, лежащие на главной диагонали, обязательно равны

6. Квадратная матрица называется верхнетреугольной, если

а) элементы, лежащие на побочной диагонали, равны нулю

б) элементы, лежащие на главной диагонали, равны нулю

в) элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю

г) элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю

д) элементы, лежащие на главной диагонали, обязательно равны

7. При каком a определитель равен 0

а)0 ,б)1 ,в)-1 ,г)1,5

8. При замене некоторой строки невырожденной квадратной матрицы на сумму этой строки и какой-то другой, умноженной на число α, определитель.

а) не изменится

б) поменяет знак

в) умножится на число α

г) станет равным нулю

д) увеличится в два раза

9. Указать верные утверждения, связанные с определением и существованием обратной матрицы:

а) обратная матрица A-1 существует, если матрица A – квадратная и det A ≠ 0

б) обратная матрица A-1 существует, если матрица A – квадратная

в) обратная матрица A-1 существует, если матрица A – квадратная и вырожденная, т.е. det A ≠ 0

г) A·A-1 = A-1·A = E, где E – единичная матрица соответствующего размера

д) A·A-1 = A-1·A = A

е) A·A-1 = A-1·A = 1

10. Элемент обратной матрицы A^– (в случае существования) вычисляется по формуле

а)

б)

в)

г)

д)

е)

11. Если матрица , то элемент матрицы, обратной к A, равен:

а)4, б)-4 в)1/4 ,г)-1/4 , д)2 , е)-2

12. Чему равен определитель матрицы B, где .

а)4, б)20 в)1 ,г)-1, д)2 , е) 21

13. Указать те преобразования строк (столбцов) матрицы, которые являются элементарными:

а) умножение строки (столбца) на ненулевое число

б) замена элементов строки (столбца) произвольными числами

в) замена строки (столбца) суммой этой строки (столбца) и другой строки (столбца), предварительно умноженной на некоторое число

г) поменять местами две строки (два столбца)

д) замена строки (столбца) нулевой строкой (столбцом)

е) транспонирование матрицы

14. Выбрать верные утверждения. Ранг матрицы равен...

а) числу ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы;

б) числу столбцов матрицы;

в) произведению числа строк на число столбцов матрицы;

г) максимальному число линейно независимых строк (столбцов) матрицы;

д) число строк матрицы.

15. Чему равен ранг матрицы

а)1,б)2,в)3,г)4

е) Ранг матрицы может измениться если

а) транспонировать матрицу,

б) переставить строки,

в) переставить столбцы,

г) умножить строку на ненулевое число,

д) добавить строку

16. Если матрица системы n уравнений квадратная и ее определитель не равен нулю, то система

а) не имеет решений

б) имеет единственное решение

в) имеет не более n решений

г) имеет ровно n решений

д) имеет бесконечно много решений

17. Если , то

а)

б)

в)

г)

д)

18. Число векторов в фундаментальной системе решений однородной системы равно...

а) рангу матрицы системы

б) числу ненулевых строк в ступенчатом виде

в) числу базисных переменных

г) числу свободных переменных

д) наивысшему порядку отличного от нуля минора

е) числу констант в общем решении

19. Чему равно b, при котором система совместна

а)1, б)2,в)3,г)4

20. Чему равно значение n, при котором система
имеет бесконечно много решений.

а)1, б)2,в)3,г)4

21. В системе базисными можно объявить переменные

а) ,

б)

в)

г)

д)

е)

22. В линейном пространстве определены операции:

а) Сложения и умножения на число,

б) Сложения, умножения и умножения на число,

в) Сложения, умножения, деления и умножения на число

23. Набор векторов образует базис линейного векторного пространства если

а) они линейно независимы

б) их количество равно размерности пространства

в) они линейно независимы и любой вектор пространства представим их линейной комбинацией

г) они линейно независимы и их количество равно размерности пространства

д) они линейно независимы, но добавление к ним еще одного делает их линейно зависимыми

24. Базисом линейной оболочки векторов являются векторы

а) любые два

б)

в)

г)

д)

25. Задача, характеризующаяся тем, что целевая функция является инейной функцией переменных, а область допустимых значений определяется системой линейных равенств или неравенств, называется

A. Задача математического программирования

B. Задача линейного программирования

C. Задача динамического программирования

D. Задача о составлении плана производства

26. Последовательное улучшение плана задачи линейного программирования, позволяющее осуществлять переход от одного допустимого базисного решения к другому, причем так, что значения целевой функции непрерывно возрастают и за конечное число шагов находится оптимальное решение это

A. Симплекс-метод

B. Стохастическое программирование

C. Смешанные стратегии

D. Семейный спор

II. Практическая часть

Практическая частьвключает в себяоднузадачу прикладного характера, требующую использования знаний по нескольким темам дисциплины, таким как, исследование функций, вычисление площадей фигур и т.п.

Практическая часть экзаменационной работы оценивается от 0 до 2 баллов в зависимости от правильности и полноты решения задачи.

Ниже приводятся примеры заданий практической части экзаменационной работы.

1. Найти , где

2. Вычислить , где ,

3. Вычислить определитель матрицы

4. Найти обратную для матрицы

5. Найти фундаментальную систему решений системы , где ,

6. Найти ранг матрицы

7. Найти решение системы методом Крамера , где ,

8. Найти решение системы методом Гаусса. , ,

9. Найти ФСР и общее решение системы уравнений

2х₁-х₂+3х₃-2х₄+4х₅=0

4х₁-2х₂+5х₃+х₄+7х₅=0

2х₁-х₂+х₃ +8х₄+2х₅=0

10. Привести пример базиса в R⁴

11. Найти базис линейной оболочки векторов(3,1,3,4,-2); (-2,1,3,2,6), (-1,-2,0,2,-1), (2,4,6,4,5).

12. Найти матрицу линейного преобразования, переводящего (1,1) в (-3,4) и (0,4) в (5,7).