Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой

На выполнении закона сохранения импульса основано движение ракеты, если её рассматривать как замкнутую систему. Мы рассмотрим более общий случай движения тела с переменной массой при наличии внешней силы, например, движение ракеты в гравитационном поле Земли.

Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru

Для этого рассмотрим два близких момента времени t и t+ dt и вычислим изменение импульса системы: ракета + вытекающий газ.

Пусть в момент времени t импульс системы равен Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru .

За время dt выброшен газ массой dm со скоростью Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru относительно ракеты, и импульса системы: ракета + газ стал равен:

Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru .

В выражении для Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru раскроем скобки и пренебрежем малой величиной более высокого порядка ( Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru )

Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru .

Тогда изменение импульса системы: ракета + газ за время dt равно: Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru , Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru .

Подставляя это во второй закон Ньютона Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru , получим уравнение движения тела с переменной массой:

Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru - уравнение Мещерского.

Второй член справа в этом уравнении представляет собой

Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru - силу реактивной тяги, где Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru — секундный расход топлива.

39Получите дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колеба­нии

Дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний

Рассмотрим механическую систему, положение которой может быть задано с помощью одной величины, которую мы обозначили через x. В таких случаях говорят, что система имеет одну степень свободы. Величиной х, определяющей положение системы, может быть угол, отсчитываемый от некоторой плоскости, или расстояние, отсчитываемое вдоль заданной кривой, в частности прямой линии и т.п. Потенциальная энергия системы в этом случае будет функцией одной переменной х:

Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru

Допустим, что система обладает положением устойчивого равновесия. В этом положении функция Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru (х) имеет минимум. Условимся координату х и потенциальную энергию Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru отсчитывать от положения равновесия. Тогда Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru . Разложим функцию Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru (x) в ряд по степеням х, причем ограничимся рассмотрением малых колебаний, так что высшими степенями х можно будет пренебречь. Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru

Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru

Поскольку Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru при х = 0 имеет минимум, Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru , а Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru положительна. Кроме того, по условию Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru . Введя обозначение Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru , получим:

Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru

Это выражение идентично с выражением Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru для потенциальной энергии деформированной пружины. Воспользовавшись соотношением между потенциальной энергией и консервативной силой, найдем:

Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru - проекция силы на направление х.

В дальнейшем индекс х при обозначении силы будем опускать и писать:

Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru

Это выражение тождественно выражению для упругой силы деформированной пружины. Поэтому силы вида Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru , независимо от их природы, называют квазиупругими. Эти силы всегда направлены к положению равновесия, а модуль их пропорционален величине отклонения системы от равновесного положения. Такие силы еще называют возвращающими.

В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из шарика массы m, подвешенного на пружине, массой которой можно пренебречь по сравнению с m.

В положении равновесия сила тяжести mg уравновешивается упругой силой Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru :

Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru (1)

Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru Будем характеризовать смещение шарика из положения равновесия координатой х, причем ось х направим вниз, а нуль оси х совместим с положением равновесия шарика.

Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru Если сместить шарик в положение, характеризуемое координатой х, то удлинение пружины станет Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru и проекция результирующей силы на ось х примет значение:

Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru

Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru

или, учитывая (1):

Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru ,

т.е. результирующая силы тяжести и упругой силы имеет характер квазиупругой силы.

Сообщим шарику смещение Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru , после чего предоставим систему самой себе.

Уравнение второго закона Ньютона для шарика имеет вид:

Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru

Введем обозначение Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru , тогда получим: Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru

- дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний.

40По какому закону изменяегся колеблющаяся величина при незатухающих гар­монических колебаниях? Приведите график зависимости х(t)

40Дайте определение и выведите формулу периода колебаний пружинного маят­ника.

А – амплитуда, т.е. максимальное смещение от положения равновесия;

Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru - фаза колебаний, которая измеряется в радианах;

Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru - начальная фаза, т.е. фаза в момент времени Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru ;

T - период колебаний, т.е. время одного полного колебания;

Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru - частота колебаний, т.е. число колебаний в единицу времени. (измеряется в герцах, Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru ).Поскольку косинус – функция периодическая с периодом Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru , то Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru - циклическая частота.В случае колеблющегося шарика, подвешенного на пружине: Получите уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой Уравнение движения тела с переменной массой - student2.ru

Наши рекомендации