Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли).

Потенциальная энергия (или энергия положения тел) определяется действием на тело консервативных сил и зависит только от положения тела.

Мы видели, что работу силы тяжести Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru при криволинейном движении материальной точки Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru можно представить в виде разности значений функции Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru , взятых в точке 1 и в точке 2: Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru .

Оказывается, что всегда, когда силы консервативны, работу этих сил на пути 1 Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru 2 можно представить в виде:

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru .

Функция Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru , которая зависит только от положения тела – называется потенциальной энергией.

36. Какие законы сохранения выполняются при движении тела в центральном гра­витационном поле? Получите явные выражения для этих законов сохранения. Какие следствия вытекают из этих законов сохранения?

37. Получите формулы для первой и второй космических скоростей тела, движуще­гося в I рант анионном поле Земли.

Это задача небесной механики.

Рассмотрим гравитационное поле Солнца.

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru - закон всемирного тяготения,

где G = 6.67 Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru Нм2/кг2 -

- гравитационная постоянная.

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru -сила гравитационного притяжения.

Гравитационное взаимодействие осуществляется через гравитационное поле.

1) Гравитационная сила – консервативная сила

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru ,

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru -потенциальная энергия гравитационного поля.

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ruИмеет место закон сохранения механической энергии тела.

E = W + U = const - закон сохранения энергии тела.

2) Гравитационная сила – центральная сила:

Возьмем момент импульса Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru и рассмотрим закон изменения его во времени:

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru -- закон сохранениямомента импульса тела.

Поскольку момент импульса тела сохраняется, движение тела происходит в одной плоскости.Приступим теперь к рассмотрению движения тела: Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru.

Удобно перейти к системе отсчета, которая связана с Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru и вращается с угловой скоростью Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru . ( Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru - угловая скорость)

Во вращающейся системе отсчета надо добавить центробежную силу, поэтому уравнение (1) примет вид:

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ruуравнение движения во вращающейся системе отсчета.

Вычислим Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru :

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru

Здесь использована формула раскрытия двойного векторного произведения

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru .

Тогда (2) примет вид: Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru . (3)

Перейдем к полярной системе координат и выразим r как функцию угла Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru , т.е. Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru . Можно показать, что решение уравнения (3) может быть представлено следующим образом: Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru траектория движения тела в полярных координатах,

где Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru - эксцентриситет, Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru - параметр, определяющий размеры траектории.

Возможны 4 типа траекторий:

1) Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru - окружность;

2) Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru - эллипс;

3) Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru - парабола;

4) Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru - гипербола.

Рассмотрим качественно характер движения с помощью потенциальной кривой. Для этого введем потенциальную энергию центробежной силы:



Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru

Тогда во вращающейся системе отсчета:

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru - эффективная потенциальная энергия.

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru - закон сохранения энергии.

Посмотрим, от каких физических величин зависит эксцентриситет орбиты Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru и параметр Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru . Вернемся к неподвижной системе отсчета.

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru ,

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru (5)

Используем законы сохранения энергии и момента импульса.

Для точки А:

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru = const.

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru – (6)

– эксцентриситет орбиты.

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru --малая и большая полуоси.

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru - действительно эксцентриситет эллипса.

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru Подставляя Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru и Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru в (5), получим

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru - параметр орбиты. (7)

Из формулы (6) получим энергию E:

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru - полная механическая энергия тела.

Введем в точке A ускорение свободного падения g: Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru .

Тогда Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru , Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru

Подставляя L и E в (6) и (7), получим

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru - ускорение свободного падения в точке A.

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru - первая космическая скорость,

Получите формулу для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли (вдали от поверхности Земли). - student2.ru - вторая космическая скорость.

Наши рекомендации