Признак – показатель, характеризующий некоторое свойство объекта совокупности.

В качестве основания группировки следует использовать существенные признаки. В основании группировки м.б. положены как качественные, так и количественные признаки.

Количественные признаки имеют числовые выражения (возраст человека, доход семьи и т.д.), а качественные – отражают состояние единицы совокупности (пол человека, форма собственности предприятия и т.д.).

Статистические группировки по задачам, решаемым с их помощью, делятся на типологические, структурные и аналитические.

Типологическаягруппировка – это разделение исследуемой качественно-разнородной совокупности на однородные группы единиц. В основании такой группировки лежит качественный признак.

Структурной группировкой называется группировка, в которой происходит разделение однородной совокупности на группы, характеризующие ее структуру по какому-либо варьирующему признаку Такая группировка делается по количественному признаку.

Группировка, выявляющая взаимосвязи между изучаемыми явлениями и их признаками, называется аналитической группировкой.

После определения признака, положенного в основание группировки определяют количество групп, на которые разбивают исследуемую совокупность.

Число групп зависит от задач исследования, типа группировки, вида признака, положенного в основание группировки, численности совокупности, степени вариации признака.

При построении группировки по качественному признаку групп, будет столько, сколько имеется градаций, видов, состояний и т.д. у этого признака.

Если группировка проводится по количественному признаку, то оптимальное число групп определяют по формуле Стерд жесса

n = 1+3,322·lg N, (1.1)

где n- число групп в совокупности,

N- число единиц совокупности.

Существует следующее соотношение между числом единиц совокупности и количеством групп (см. Табл.1).

Таблица 1- Соотношение между числом единиц совокупности и количеством групп

N	8-14	15-24	25-44	45-89	90-179	180-359	360-719
n

После определения числа групп определяют интервал группировки.

Интервал- это значение варьирующего признака, лежащего в определенных границах.

Величина равного интервала определяется по формуле

, (1.2)

где R- размах вариации, и определяется по формуле

R=Xmax – Xmin, (1.3)

где Xmax- максимальное значение признака в совокупности,

Xmin- минимальное значение признака в совокупности.

Полученную по формуле (1.2) величину округляют и строят группировку.

Далее определяют количество единиц входящих в тот или иной интервал

Упорядоченное распределение единиц составляются на группы по определенному варьирующему признаку называется статическим рядом распределения.

Различают атрибутивные и вариационные ряды распределения.

Атрибутивными называются ряды распределения, построенные по качественным признакам.

Вариационными называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Любой вариационный ряд состоит из двух элементов: вариантов и частот.

Варианты – отдельные значения признака, которые он принимает в вариационном ряду, т.е. конкретное значение признака (обозначается “x ”).

Частота -это количество единиц совокупности или в каждой отдельной группе , которое имеют данное значение признака (обозначается “f”).

Суммой всех частот определяют численность всей совокупности, её объем.

В зависимости от характера вариации признака различают дискретные и интервальные вариационные ряды.

В случае дискретной вариации величина количественного признака принимает только целые значения.

В случае интервальной вариации величина количественного признака задается в виде интервала («от и до»).

Пример 1

Требуется произвести группировку с равными интервалами предприятий по величине Уставного капитала, при этом максимальное значение признака млн р., минимальное X млн р. Совокупность включает 20 единиц.

Решение:

1) Определение числа групп. В основании группировки заложен количественный признак, поэтому определяем по формуле 1. или таблице 1

n = 1 + 3,322lg20 = 5

2) Расчет величины интервала

h = млн р.

Таблица 2 – Структурная группировка по величине Уставного капитала

Номер групп	1 вариант (закрытые интервалы)	2 вариант (открытые интервалы)	Число предприятий	% к итогу
I	От 290 до 640	До 640
II	От 640 до 990	640-990
III	От 990 до 1340	990 - 1340
IV	От 1340 до 1690	1340 -1690
V	От 1690 до 2040	1690 - 2040
Итого

Средние величины

Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину выросшего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности.

Средний показатель отражает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц.

Выбор вида средней определяется экономическим содержанием определенного показателя и исходных данных. В каждом конкретном случае применяется одна из средних величин: арифметическая, гармоническая, геометрическая и т.д.

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая.Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц.

Чтобы рассчитать среднюю арифметическую, нужно сумму всех значений признаков разделить на их число.

Средняя арифметическая величина применяется в форме простой средней и взвешенной средней.

Средняя арифметическая простая равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, делимой на общее число этих значений (она применяетсяв тех случаях, когда имеются не сгруппированные индивидуальные значения признака).

, (1.4)

где Х₁,X₂,Х_n – индивидуальные значения варьирующего признака (варианты);

n - число единиц совокупности.

Для расчета средних сгруппированных индивидуальных значений признака совокупности применяется расчет средней арифметической взвешенной.

Средняя величина из вариантов, которые повторяют различное число раз, или, имеют различный вес, называются взвешенной. В качестве весов выступают численности единиц в разных группах совокупности.

Средняя арифметическая взвешенная – средняя сгруппированных величин выполняется по формуле

, (1.5)

где X1,X2, X п- отдельные значение признака;

f₁ f₂ f₃ - веса/частоты повторения одинаковых признаков,

Σ xf - сумма произведений величин признаков на их частоты;

Σf - общая численность единиц совокупности.

Вычисление средней арифметической взвешенной из групповых средних Хгр осуществляется по формуле

, (1.6)

где f- число единиц каждой группе.

Если значения определяемого признака заданы в виде интервалов («от – до»), т.е. интервальных видов распределения, то при росте средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимают середины этих интервалов. После того как найдены середины интервалов, вычисления делают так же при расчете средней взвешенной.

Пример 2

Имеются данные о распределении работников предприятия по возрасту (табл.3). Требуется определить средний возраст работников.

Данная группировка выполнена с открытыми интервалами. При определении середины интервалов границы открытых интервалов условно приравниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего).

Таблица 3 -Распределение работников предприятий по возрасту

Возраст, лет	Середина интервала	Число работников, чел.
До 25 25-30 30-40 40-50 50-60 60 и более	22,5 27,5 65
Итого:	–

Решение:

Полученные средние значения интервала используются для расчета средней по совокупности

:

Показатели вариации

Вариация- это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

Средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней величины или значительно отклоняются от нее.

Потому возникает необходимость измерять вариацию признака в совокупностях. Для этой цели в статистике применяют ряд обобщающих показателей.

К показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Размах вариации (R)- разность между максимальным и минимальным значением признака в совокупности (см. формулу 1.3).

Среднее линейное отклонение ( ) представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической (при этом виде предполагают, что среднюю вычисляют из варианта.

Среднее линейное отклонение рассчитывают по формуле:

а) для несгруппированных данных

, (2.1)

где х– отдельные значения признака (вариант);

- средняя величина по совокупности;

n – число членов ряда.

б) для сгруппированных данных

, (2.2)

где - сумма частот вариационного ряда.

Дисперсия( ) – это средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины.

а) Простая дисперсия для несгруппированных данных

, (2.3)

б) взвешенная дисперсия для вариационного ряда

. (2.4)

Среднее квадратическое отклонение ( ) равно корню квадратному из дисперсии

а) для негруппированных данных

, (2.5)

б) для вариационного ряда

. (2.6)

Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем откланяются конкретные варианты от их среднего значения.

Коэффициент вариации (γ) – выражен в % отношении среднего квадратического отклонения к средней арифметической

. (2.7)

Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %.

Правило сложения дисперсий

Общая дисперсия ( ) измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием факторов, обусловивших эту вариацию.

Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общей средней и может быть вычислена как простая по (формуле 2.3) или взвешенная дисперсия (по формуле 2.4).

Межгрупповая дисперсия (δ2) характеризует систематическую вариацию результативного порядка, обусловленную влиянием факторного признака, положенного в основание группировки.

Определение по формуле

δ2 , (2.8)

где xi– средняя по каждой группе;

xоб– средняя по совокупности

Внутригрупповая дисперсия ( ) отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки

а) внутригрупповая дисперсия для негруппированных данных может быть исчислена по формуле

, (2.9)

б) для сгруппированных данных

. (2.10)

На основании внутригрупповой дисперсии можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий

.

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий

.

Пример 3

Вычислить показатели вариации (s² ,s, d, R, ) по следующим исходным данным (табл.4).

Таблица 4- Распределение рабочих-сдельщиков n-го цеха по фактической выработке деталей

Дневная выработка деталей, шт.	Число рабочих-сдельщиков, чел.
			-1,9 -0,9 0,1 1,1 2,1	55,1 29,7 7,9 51,7 25,2	104,69 26,73 0,79 56,87 52,92
Итого:			–	169,6	242,0

1)Находим среднюю по совокупности

2) Размах вариации R = X_max – X_min , R = 12 – 8 = 4 шт.

3) Среднее линейное отклонение d = = = 0,848 шт.

Сравниваем отклонение с величиной Среднее отклонение вариантов признака от их средней величины несущественное, следовательно, совокупность в отношении признака однородна, а средняя типична для данной совокупности.

3) ; 4)

Среднее квадратическое отклонение невелико по сравнению с Вывод тот же, что и при определении среднего линейного отклонения.

5) Коэффициент вариации ,

следовательно, совокупность однородна.

Пример 4

Имеется производительность труда двух групп рабочих n-го цеха (табл.5).

Таблица 5 -Производительность труда 2-х групп рабочих n-го цеха

Показатель	Рабочие, прошедшие техническое обучение	Рабочие, не прошедшие техническое обучение
Выработка, дет./см.
Число рабочих, чел.

Рассчитать три вида дисперсии, проверить правило сложения дисперсий.

Решение

Производительность труда – результативный признак. Численность – это частота.

Определим средние значения производительности труда

1) групповые средние

дет.

дет.

2) общая средняя дет.

Определим внутригрупповые дисперсии (всего две группы, следовательно, дисперсий будет тоже две)

=

=

Межгрупповая дисперсия (

Средняя из внутригрупповых

Общая дисперсия, рассчитанная с использованием правила сложения дисперсий, имеет следующее значение

Общая дисперсия, рассчитанная по базовой формуле, дает тот же результат

Эмпирическое корреляционное соотношение

Вывод:Фактор технического обучения объясняет 66,1% вариации производительности труда.