Поперечные колебания балки с распределенными параметрами

Рис.14.13

Рассмотрим свободные колеба­ния балки с постоянным попе­речным сечением площадью F, плотностью r материала конструк­ции, без учета диссипативных свойств системы (рис.14,13, а).

Дифференциальное уравнение колебания системы с учетом сле­дующего дифференциального соот­ношения теории изгиба имеет вид:

. (14.48)

Здесь - распределенная инерционная нагрузка, которая воз­никает при движении балки:

, (14.49)

где - распределенная масса балки.

Совместно рассматривая соотношения (14.48) и (14.49), получим дифференциальное уравнение свободных колебаний балки без учета диссипативных свойств системы:

. (14.50)

Если учесть затухания колебания по Фойгту в вынужденном ре­жиме при действии внешней нагрузки P(z,t) на балку, дифферен­циальное уравнение (14.50) преобразуется в виде:

, (14.51)

т.е. для исследования вынужденного движения балки необходимо рассмотреть решение уравнения (14.51), при заданных граничных условиях закрепления балки и начальных условиях задачи.

Рассмотрим решение задачи в свободном режиме колебания.

Для решения задачи применим метод разделения переменных, т.е.:

. (14.52)

Подставляя решение (14.52) в уравнение (14.50) и, принимая обо­значения

, (14.53)

получим:

(14.54)

Решение последнего уравнения запишем в общем виде:

. (14.55)

Произвольные постоянные C_i (i = 1,2,3,4) должны быть опреде­лены из граничных условий закрепления балки.

Предположим, что рассматриваемая балка закреплена в обоих концах шарнирно. Тогда на каждой опоре прогиб y и изгибающий момент обращаются в нуль, следовательно, учитывая решение (14.55), имеем:

.

Из первых двух условий вытекает, что C₂ = C₄ = 0. Из двух дру­гих получим:

Приравниваем нулю определитель этой системы:

,

откуда имеем .

Но так как, гиперболический синус обращается в нуль только при = 0, то остается = 0 или (i = 1,2,...), или соглас­но (14.53) выражение частоты собственных колебаний принимает вид:

. (14.56)

В зависимости от значения i = 1,2,... по формуле (14.56) опреде­ляется спектр частот собственных колебаний соответствующий соб­ственным формам, показанным на рис.14.13, б, в, г. Упругая линия балки, учитывая, что C₂ = C₃ = C₄ = 0, при i-ой форме колебаний имеет вид:

.

Окончательная формула по определению прогиба балки, соглас­но (14.52), записывается в виде:

,

здесь C₁- определяется из начальных условий задачи, в зависи­мости от способа возбуждения колебаний балки.

Определение основной частоты собственных

Колебаний консольной балки

Рис.14.14

Требуется определить основную частоту собственных колебаний консольной балки с постоянным поперечным сече­нием (рис.14.14).

Для определения функции Z в данном случае имеем следующие граничные условия:

откуда получим:

(14.57)

Подставляя выражение (14.55) в граничные условия (14.57), будем иметь:

;

;

.

Приравнивая нулю определитель этой системы, получим:

отсюда имеем .

Наименьший корень этого трансцендентного уравнения прини­мает значение: .

Учитывая соотношение (14.53), находим частоту основного (наи­меньшего) тона колебаний:

.

НАЗАД НА ОГЛАВЛЕНИЕ ДАЛЕЕ