Теория уравновешивания вращающихся масс

В современном машиностроении применяется большое ко­личество вращающихся звеньев (роторы электродвигателей, турбин, валы и т. д.). Быстроходность машин, а следователь­но, и угловые скорости вращающихся звеньев непрерывно растут, поэтому уравновешивание центробежных сил инерции .вращающихся масс имеет важное значение.

Рассмотрим вращающееся звено 1 (рис..1), установлен­ное на своей оси в подшипниках 2. При вращении звена к каждой элементарной точечной массе его будет приложена центробежная сила инерции, направленная по радиусу от оси вращения наружу и равная произведению массы на рас­стояние ее до оси вращения и на квадрат угловой скорости звена.

Рис. 1

Если звено 1 будет идеальным телом вращения и ось вра­щения звена совпадает точно с геометрической осью тела, то такое звено будет полностью уравновешенным. Действительно для каждой массы m_i, расположенной на радиусе r_i, всег­да будет существовать в той же плоскости, но по другую сто­рону от оси вращения, другая равная ей масса m_i’ удален­ная от оси на расстояние г_i' равное r_i. Центробежные силы этих масс взаимно уравновесятся. Поэтому не будет сил, вы­зывающих дополнительные давления в подшипниках 2 звена. 1. В реальной действительности получить такое идеаль­ное звено невозможно, даже если оно имеет правильную форму тела вращения: нельзя выдержать абсолютно точно за данные размеры и масса звена неоднородна. Во многих слу­чаях форма вращающегося звена (ротора) бывает более сложной, ротор может состоять из нескольких Деталей, поло­жение которых, вследствие неточности сборки, может не со­ответствовать чертежу. Вследствие этого не все центробеж­ные силы инерции ротора будут уравновешены.

Рис. 2

Рассмотрим ротор 1 (рис. 2), вращающийся в подшип­никах 2 с постоянной угловой скоростью w. Проведем две произвольно выбранные плоскости I и II, перпендикулярные оси вращения ротора. Эти плоскости пересекут ось ротора в точках О₁ и O₂. Зададимся неподвижной системой прямо­угольных координат O₁XYZ. Начало координат поместим в точке O₁, ось O₁Z направим вдоль оси вращения ротора, оси O₁X и O₁Y расположим в .плоскости 1. Возьмем на роторе точку i с неуравновешенной массой m_i, положение которой определяется координатами х_i y_i z_i Радиус-вектор этой точ­ки - r_i; угол, составленный радиус-вектором с положитель­ным направлением оси ох—a_i. Очевидно, что x_i=r_icosa_i, y_i=r_iSina_i. Центробежная сила инерции P_i, развиваемая массой m_i, будет равна:

,

Перенесем силу Pi в плоскость 1. Для этого в начале координат O₁ приложим две силы, одна из которых равна Pi и ей параллельна, другая равна ей по величине, но противо­положна по направлению. В результате получим систему, состоящую из силы, приложенной в точке О₁ и пары сил с моментом M_j = P_iZ_i.

Разложим силу P_i и момент пары сил на составляющие по координатным осям,

Подставляя в эти равенства значение силы Р_i получим:

Составляющие части по координатным осям главного век­тора сил инерции и главного момента от сил инерции- полу­чим, просуммировав составляющие всех центробежных сил инерции и моментов от центробежных сил инерции отдель­ных точечно расположенных неуравновешенных масс. На­правление векторов моментов выбираем так, что если смо­треть вдоль по вектору, момент пары был направлен против часовой стрелки. Тогда

(1)

(2)

Из уравнений 1 и 2 получаем выражения для модулей главного вектора Р и главного момента М.

(3)

Сила Р и момент М вызывают добавочные давления в подшипниках, а от них передаются станине и фундаменту. Эти давления непрерывно изменяют свое направление, так как вектор силы Р и вектор момента М вращаются вместе с ротором. Для того чтобы уничтожить дополнительные давле­ния в опорах и устранить вызываемые ими колебания станин и фундамента, необходимо уравновесить силу Р и момент М, Этот процесс уравновешивания называется балансировкой вращающихся масс (балансировкой ротора).

В некоторых случаях уравновешивается только главный вектор сил инерции Р, а величиной главного момента от па­ры сил инерции пренебрегают. Это допустимо при малой дли­не ротора (шестерни, шкивы, маховики) и невысокой угловой скорости вращения его. Такая балансировка называется ста­тической. Обозначим координаты центра тяжести ротора х_с и Ус, а всю массу его — m_с, тогда мы имеем право записать, что

(4)

Условие, при котором главный вектор сил инерции будет равен нулю, получим, если приравняем нулю проекцию его на оси координат, т. е.

или, имея в виду формулу (4),

(5)

откуда вытекает, что главный вектор сил инерции будет ра­вен нулю, если центр тяжести ротора лежит на оси вращения. Обозначим радиус- вектор, определяющий положение центра тяжести ротора, через , тогда выражение (5) в векторной форме может быть записано так

(6)

Если условие (5) или (6) не будет соблюдено, то необ­ходимо в плоскости приведения 1 (рис.3), которую желательно проводить через центр тяжести ротора, поставить противовес так, чтобы было выдержано условие

Рис. 3.

Если необходимо произвести полное уравновешивание ро­тора, то помимо главного вектора сил инерции нужно урав­новесить также главный момент от пары сил инерции. Пос­ледний может быть представлен парой сил, одну из которых можно расположить в плоскости приведения 1, другую в любой плоскости II. Момент уравновешивающей пары должен быть .равен глав­ному моменту от пары .сил инерции. Уравновешивающие па­ры сил можно произвести двумя противовесами, расположен­ными в I и II плоскостях. Таким образом, полное уравнове­шивание достигается установкой трех противовесов. Однако два из них находятся в одной плоскости I и могут, быть заменены одним противовесом. В итоге задача уравновешива­ния центробежных сил инерции вращающегося ротора может, быть решена постановкой двух противовесов, расположенные в двух произвольно выбранных плоскостях, перпендикулярных оси вращения ротора. (Следует заметить, что от выбора плоскостей зависят величина противовесов и их расположе­ние в плоскостях приведения).

Условия полной (статической и динамической) уравнове­шенности ротора получим, если введем в уравнения (1) и (2) центробежные, силы инерции и моменты от центробеж­ных сил двух противовесов. Пусть в плоскости I и II массы противовесов будут m_I и m_II, положение которых определяет­ся соответственно радиус-векторами r_I и r_II.

Цель работы

Целью работы является графическое и аналитическое оп­ределение величин и расположения противовесов при стати­ческом и динамическом уравновешивании трех известных точечных масс, а также экспериментальная проверка выпол­ненных расчетов.

Пусть имеется ротор (рис. 4), в плоскостях которого 1,2 и 3, перпендикулярных оси вращения, имеются неуравно­вешенные массы mi, m₂. m₃. Положения неуравновешенных масс в плоскостях заданы радиус-векторами г₁ г₂, г₃. Поло­жение плоскостей 1, 2 и 3 относительно плоскости приведе­ния X определяется соответственно координатами z₁, z₂ и z₃. Противовесы устанавливаются в плоскости I и плоскости II, расстояние между ними l. Обозначим вес противовеса при статическом уравновешивании через Q_п, а радиус-вектор, оп­ределяющий положение его центра тяжести, через r_п, Тогда условием уравновешенности ротора (здесь массы заменяют их весами) будет:

(9)

При полном уравновешивании ротора веса противовесов устанавливаемых в плоскости I и II, обозначим Q_I и Q_II, a радиус-векторы, определяющие положения их центров тяже­сти, через r_I и r_II. Тогда условиями полного уравновешивания будут:

(10)

(11)

При аналитическом решении этой задачи уравнение (9) развернется в два уравнения проекций на оси координат, а уравнение (10) и (11) в четыре уравнения проекций на оси координат.

Совокупность уравнений (10) и (11) является условием полного уравновешенного ротора. Решение этих уравнений сводится к определению весов и положений противовесов и может быть осуществлено аналитически и графически.

Рис.4

Рис. 5

В обоих случаях сначала решается уравнение (11) и оп­ределяются вес и положение противовеса при динамическом уравновешивании. Затем решается уравнение (11).

Более: удобным является графический метод, который заключается в построении векторных многоугольников по уравнениям (10) и (11). Сначала строится векторный мно­гоугольник центробежных моментов инерции по уравнению (11), рис. 5, а. Так как суммарный вектор должен быть равен нулю, то замыкающий вектор многоугольника опреде­ляет собой произведение l.

Координата z_II известна и равна 1 расстоянию между плоскостями исправления. Из этого произведения можно оп­ределить r_II, задавшись весом противовеса Q_II. Угол a_II, даю­щий направление радиуса-вектора противовеса, измеряется по чертежу, затем строится многоугольник по уравнение (10), рис. 5, б. В этом многоугольнике неизвестной вели­чиной будет замыкающий вектор, модуль которого равен Q_Iir_I.. Задаваясь Q_I определяем r_I. По чертежу замеряется угол определяющий направление радиуса-вектора про­тивовеса.

Все эти величины, исходя из уравнений (10) и (11), можно вычислить аналитически по соответствующим форму­лам и сопоставить с результатами графического метода:

(12)

(13)

(14)

(15)

Описание установки

Общий вид установки ТММ-35 представлен на рис.. 6.

Рис. 6.

На чугунном основании II закреплены стойки 10 и 18. В стойках закреплены шариковые подшипники вала ротора. На валу ротора установлено пять дисков 2. В крайних дисках (I и II) располагаются противовесы. Три средних диска служат для установки неуравновешенных грузов. Шарикоподшипник правого конца вала I установлен в корпусе 4, который на миниатюрных шарикоподшипниках 6 может перемещаться в горизонтальном направлении по планке 7. Кор­пус, 4 оттягивается в разные стороны пружинами 8, закреп­ленными другими концами на кронштейнах 5 при помощи винтов с гайками 9. Если правый конец ротора слегка отвести в сторону и отпустить, то он начнет совершать колебания в горизонтальной плоскости вокруг левой опоры. Разгон ротора осуществляется двига­телем 13, закрепленным на рычаге 15. При нажиме вниз на шариковую рукоятку рычага 15, последний, поворачиваясь на оси кронштейна 20, поднимает двигатель 13 вверх и при­жимает обрезиненный ролик вала двигателя к фрикцион­ному колесу, закрепленному на валу ротора. Одновремен­но рычаг 15 освобождает кнопочный контакт, включающий двигатель в работу. Если отпустить шаровую рукоятку рыча­га 15, то под действием собственного веса двигатель опустит­ся вместе с рычагом 15 вниз, причем ролик выйдет из за­цепления с колесом, а рычаг 15, нажав на кнопочный кон­такт, выключит двигатель. В комплекте установки имеются грузы 3 и противовесы, хранящиеся в выдвижном ящи­ке 12. Грузы укрепляются в дуговых прорезях дисков. Дуго­вые прорези выполнены по двум радиусам. Для установки грузов по углу все диски имеют шкалы в градусах с согласованным между собой нулевым отсчетом. Подключение уста­новки электрического питания осуществляется шнуром со штепсельной вилкой и тумблером 14.

Основные параметры установки

1. Питание двигателя от сети переменного тока с напря­жением 127 или 220 в.

Примечание. Установка с мотором на 127 в включается в сеть че­рез трансформатор.

2. Потребляемая мощность 40 Вт.

3. Расстояние между соседними дисками 80 мм.

4. Вес: а) грузов —40 г, 50 г, 50 г;

б) противовесов — 60 г, 70 г.

5. Габариты установки 530 X 360 X 355 мм,

6. Общий вес установки 25 кг.

Порядок проведения работы

Принадлежности: установка ТММ-35 с набором грузов, линейка, калькулятор.

1. Составляется форма отчета по лабораторной работе.

2. Веса грузов Q_i, расстояние их до оси вращения r_i и до плоскости приведения I (Zi), а также углы поворота дисков записать в таблицу 1 (задаются преподавателем).

3. В прорези дисков 1, 2, 3 установить и закрепить неурав­новешенные грузы Q1, Q2, Q3,

4. Убедиться в том, что ротор статически и динамически неуравновешен.

Примечание. Ротор при повороте на любой угол стремится занять

одно и то же положение, соответствующее наинизшему положению его центра тяжести.

5. Подсчитать произведения Q_Ir_I и Q_Ir_IZ_I и результаты занести в таблицу 1.

6. Построить векторный многоугольник по уравнению (11) (рис. 5, а). Определить модуль замыкающего векто­ра Q_IIr_IIl. Замерить по чертежу угол a_II. Зная 1 = 320 мм и задавшись Q_II, определить r_II.

7. Построить векторный многоугольник по уравнению (1) (рис. 5, б). Определить модуль замыкающего вектора Q_Ir_I замерить по чертежу угол a_I. Задавшись Q_I, опреде­лить r_I.

8. Противовесы Q_I, Q_II на радиусах r_I и r_II установить в плоскостях приведения I и II. Установить диски I и II на уг­лы a_I и a_II.

9. Проверить статическую уравновешенность ротора. Ро­тор при повороте на любой угол должен находиться в безраз­личном равновесии.

10.Проверить динамическую уравновешенность ротора. Разогнать ротор, нажав на шаровую рукоятку рычага 15. Подпружиненная правая опора не должна совершать коле­баний.

11. По формулам (12) — (15) подсчитать значения уг­лов a_I и a_II и значения произведений Q_Ir_I и Q_IIr_II и результаты занести в таблицу 2.

Таблица 1.

№ дисков	Qi	ri	zi	ai	Qiri	Qirizi
Параметры Плоскость I Плоскость II

Таблица 2.

№ дисков	Qiri	Qirizi	Qirisinai	Qiricosai	Qirizisinai	Qirizicosai
Параметры Плоскость I Плоскость II

Таблица 3.

Параметры		Q	r	a	Qr
Плоскость I Плоскость II	Графически Аналитически

В отчете следует представить:

1. Теоретическую часть.

2. Краткое описание работы и схему установки с распо­ложением неуравновешенных масс.

3. Таблицу 1 для подсчета величин и положений противовесов графическим методом.

4. Планы центробежных и статических моментов в вы­бранном масштабе.

5. Таблицу 2 аналитического расчета противовесов.

6. Таблицу 3 сравнения графического и аналитического методов.

7. Выводы по результатам экспериментальной проверки.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. В каком случае тело будет уравновешено статически?

2. В каком случае тело будет уравновешено динамически?

3. В каком случае тело будет уравновешено полностью?

4. Когда можно «ограничиться статической балансировкой?

5. При каких условиях необходима динамическая балансировка и почему?

6. Как на приборе проверить статическую и динамическую уравнове­шенность?

7. Что такое «плоскости исправления», как они выбираются?

8. Относительно чего можно взять центробежный момент инерции?

9. Что значит «безразличное равновесие?

10. Что является мерой статической и динамической уравновешенности?

11. Каким образом 2 противовеса в одной плоскости свести к одному противовесу?

12. С какой целью производят уравновешивание вращающихся дета­лей?

ЛИТЕРАТУРА

1. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин: учебник для вузов.- 5-е изд., стер.- М.: Альянс, 2008.- 640 с.

2. Фролов К.В., Попов С.А., Мусатов А.К. Теория механизмов и механика машин. Учебник для втузов 5-е изд., стер. под ред. Фролова К.В. - Москва: Высшая школа, 2005. - 496 с.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4