Теорема 37 о возрастании(убывании) функции.

Для того, чтобы f(x) возрастала(убывала) на (a,b) необходимо и достаточно, чтобы на (a,b) выполнилось f’(x)>0(<0).

Док-во: Считается, что f(x)↑(↓) на (a,b) то есть функция f(x) ↑(↓) в каждой точке этого интервала, но тогда в соответствии с теоремой 33, для каждой точке x из (a,b) выполняется f’(x)>0(<0)значит это условие выполняется на всем интервале (a,b). Достаточноcть : считается, что на (a,b) выполняется f’(x)>0(<0)Надо доказать, что f(x) возрастает(убывает) на (a,b).Выберем 2 произвольные точки на сегменте (a,b) и ( < ).Тогда на сегменте выполняется условие теоремы Логранжа. f(x2)-f(x1)=f’(d)(x2-x1)>0.для f’(d)>0àf(x2)>f(x1) при x2>0(< 0для f’(d)<0)(f(x2)<f(x1)при x2>x1).

Теорема 38. Пусть точка - точка возможного экстремума функции f(x). И пусть f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки .Тогда, если f’(x)>0(<0)в пределах этого интервала слева от точки и f’(x)<0(>0) справа от ,то функция имеет в точке локальный максимум(минимум).

Док-во: Проведем его для случая локального максимума. Выберем две точки из окрестности точки : < , > тогда на сегментах и применима формула Логранжа.f(x0)-f(x1)=f’(d)(x0-x1)>0 при d принадлежащем àf(x0)>f(x1).

F(x2)-f(x0)=f’(d)(x2-x0)<0 при d принадлежащем à f(x0)>f(x2)à

Теорема 39.Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки ,за исключением самой . И пусть f(x) непрерывна в Тогда, если в пределах указанной окрестности f’(x)>0(<0) слева от и f’(x)<0(>0) справа от точки ,то функция f(x) имеет в точке локальный максимум(минимум).Если знак производной функции справа и слева одинаковый, то в нет экстремума.

Доказательство аналогично 38 теореме.

Теорема 40.Пусть точка -точка возможного экстремума функции f(x). И пусть функция f(x) имеет в точке конечную вторую производную. Тогда, если f’’( )<0,то в достигается локальный максимум, если же f’’(x)>0, то в локальный минимум.

Док-во: обозначим f’(x) =g(x). Тогда f’’(x)=g’(x) для максимума условие: f’’( )=g’( )<0. Далее в

Теорема 41Пусть функция x₀ y=f(x) дважды дифференцируема на (a,b) Тогда, если f^{``</sup>(x)<0 (f<sup>``}(x)>0 ) на (a,b) то график f(x) на (a,b) имеет выпуклость, направленная вверх (вниз)

Точки перегиба графика функции. Определение

Точка М(x₀,y₀) называется точкой перегиба графика функции y=f(x) если направление выпуклости слева и справа от т. x₀ различ x₀

Теорема 42

Пусть функция y=f(x) дважды дифференцируема в т. x₀ и пусть т. М (x₀,y₀) является точной точкой перегиба графика функции. Тогда y``(x₀)=0

Первое и второе достаточное условие перегиба

Теорема 43

(1 условие) пусть функция y=f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности т. x₀ и пусть f``(x₀)=0, тогда есди вторая производная функции f(x) слева и справа от точки x₀ в пределах выбранной окрестности имеет различный знак, то график функции в т. М (x₀,y₀) имеет перегиб.

Теорема 44

Пусть функция y=f(x) – трижды дифференцируема в т. x₀ , и пусть выполняется f``(x<sub>0</sub>)=0, f``(x₀)≠0. Тогда график функции f(x) в т. М (x₀,y₀) имеет перегиб.

Третье достаточное условие экстремума и перегиба

Теорема 45

Пусть функция y=f(x) – n-раз дифференцируема в окрестности т. x₀ и (n+1) раз дифференцируема в самой т. x₀ .Пусть кроме того выполняется

f``(x₀)= f```(x₀)=… f⁽ⁿ⁾(x₀)=0, f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)≠0 , тогда 1) если число n-четное, то график функции f(x) в т. М (x₀,y₀) имеет перегиб.2) если n-нечетное число и кроме того f`(x₀)=0, f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)<0 (f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)>0) , то фунуция f(x) в т. x₀ имеет локальный максимум ( ЛОКАЛЬНЫЙ МИНИМУМ)