Метод конечных элементов в расчетах плоских стержневых систем

Рассмотрение упругих систем вообще и плоских стержневых систем в частности с позиций МКЭ есть представление упругих систем в виде набора элементов с конечным числом степеней свободы, которые соединяются между собой в узловых точках (узлах). Такое представление заданной системы в виде дискретной модели приводит к полной формализации всех этапов расчета. Подход к решению задачи является единым, как для стержневых систем, так и для пластин, оболочек, объемных тел и т.п.

Рассматривать будем МКЭ разработанный на базе метода перемещений, применительно к расчету плоских стержневых систем.

При расчете плоских стержневых систем в МКЭ приняты те же гипотезы, что и в обычном методе перемещений. Несколько уточняется только одна гипотеза: в МКЭ будем учитывать влияние не только изгибных, но и влияние продольных деформаций на перемещения узловых точек сооружения. Т.е. длина стержня в результате деформаций растяжения-сжатия может изменяться. Это положение позволяет в большей степени формализовать выбор основной системы МКЭ и получить результаты расчета более точные, чем в обычном методе перемещений.

Расчет стержневых систем, как и любых других, в МКЭ начинают с разбиения заданной системы на отдельные элементы.

В качестве конечных элементов (КЭ) мы будем рассматривать прямолинейные стержни, имеющие постоянную жесткость по длине. Между собой КЭ могут соединяться жестко или с помощью шарнира. Точки соединения элементов в МКЭ называют узловыми или узлами.

Т.е. основную систему (дискретную модель) МКЭ получают, разбивая заданную систему на отдельные прямолинейные элементы, имеющие постоянную жесткость по длине. При наличии в системе криволинейных стержней или стержней с переменной жесткостью, их, с достаточной степенью точности, разбивают на участки, в пределах которых стержни считают прямолинейными, с усредненной постоянной жесткостью.

Кроме того, алгоритм МКЭ требует, чтобы все внешние нагрузки, действующие на сооружение, были приложены к узловым точкам ее дискретной модели. Поэтому, точки приложения сосредоточенных сил делают узловыми, а нагрузки распределенные по длине стержня, преобразуют к узловым.

Для преобразования вне узловой нагрузки к узловой используют таблицы метода перемещений (см. рис. б).

В узлах, где отдельные элементы соединяются между собой жестко, имеется три неизвестных перемещения, в шарнирных узлах – два. Следовательно, количество неизвестных МКЭ можно определить:

n = 3n_ж.уз. + 2n_ш.уз .

Положительные направления и порядок нумерации неизвестных принимаем следующий

Дискретная модель сооружения в целом, которая связывается с общей системой осей координат, характеризуется n параметрами перемещений Z_i и узловых силовых воздействий P_i , составляющих векторы

Каждый конечный элемент связан с местной системой осей координат и характеризуется своими параметрами узловых перемещений {V} и соответствующими узловыми усилиями {S}’. Кроме того, для элементов, в пределах которых вне узловая нагрузка преобразуется к узловой, формируют векторы грузовых усилий {S_o}.

В разрешающем уравнении МКЭ

[r]{Z}={P},

матрица [r], которая называется матрицей жесткости сооружения в целом, формируется из матриц жесткости отдельных элементов.