О.А. Кишкинова, И.В. Кутликова, Т.В. Левченкова

О.А. Кишкинова, И.В. Кутликова, Т.В. Левченкова

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

задания и методические рекомендации

Для выполнения контрольной работы

Москва

УДК

Кишкинова, О.А. Аналитическая геометрия: задания и методические рекомендации для выполнения контрольной работы / О.А.Кишкинова, И.В.Кутликова, Т.В.Левченкова. – М.: ФГБОУ ВО МГАВМиБ – МВА имени К.И. Скрябина, 2016. – 23 с.

В методических рекомендациях приведены необходимые теоретические сведения, даны решения типовых задач, приведены вопросы для самопроверки и задания для самостоятельной работы, варианты индивидуальной контрольной работы студентов по разделу «Аналитическая геометрия».

Рекомендованы для студентов очной формы обучения по направлениям подготовки 06.03.01 Биология, 19.03.01 Биотехнология, 38.03.07 Товароведение, 19.03.03 Продукты питания животного происхождения, 19.03.02 Продукты питания из растительного сырья.

Рецензенты: профессор, зав. кафедрой Радиобиологии и вирусологии имени академиков А.Д.Белова и В.Н.Сюрина ФГБОУ ВО МГАВМиБ – МВА имени К.И.Скрябина Н.П. Лысенко.

Утверждено на заседании учебно-методической комиссии ветеринарно-биологического факультета ФГБОУ ВО МГАВМиБ – МВА имени К.И.Скрябина (протокол № 1 от 27 сентября 2016 г).

ВВЕДЕНИЕ

Целью данных методических рекомендаций является помощь студентам при выполнении ими контрольной работы и самостоятельного изучения раздела «Аналитическая геометрия» по дисциплинам «Математика», «Математика и математические методы в биологии» и «Математика и математические методы в биотехнологии».

Самостоятельная работа студентов является неотъемлемой составляющей подготовки студентов. Успешное освоение дисциплин «Математика», «Математика и математические методы в биологии» и «Математика и математические методы в биотехнологии» способствует формированию необходимых компетенций выпускника в соответствии с требованиями ФГОС ВО по направлениям подготовки 06.03.01 Биология, 19.03.01 Биотехнология, 19.03.02 Продукты питания из растительного сырья, 19.03.03 Продукты питания животного происхождения, 38.03.07 Товароведение.

Контрольная работа является одной из форм текущего контроля знаний студентов и ориентирована на закрепление у студентов полученных ими знаний по изучаемой дисциплине.

В данных методических рекомендациях рассмотрены понятия прямой и плоскости, линий второго порядка. Приведены вопросы для самопроверки и задания для самостоятельной работы, варианты индивидуальной контрольной работы студентов по данному разделу дисциплины.

Требования к оформлению контрольной работы

При выполнении и оформлении данной контрольной работы студент должен придерживаться следующих правил:

1. В заголовке контрольной работы должны быть указаны фамилия, имя, отчество студента, номер задания.

2. Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, обязательно чернилами (не красными), с оставлением полей для замечаний преподавателя.

3. Перед решением каждой задачи надо выписывать полностью ее условие.

4. Все задачи должны сопровождаться необходимым графическим изображением.

Контрольная работа, выполненная небрежно, без промежуточных вычислений и без соблюдения изложенных выше правил, возвращается обратно для переработки. Контрольная работа, выполненная не по своему варианту, не проверяется. Номер варианта соответствует номеру студента в списке группы.

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Общее уравнение прямой

Всякое уравнение первой степени, относительно х и у, т.е. уравнение вида:

Ах+Ву+С=0

(5)

где А, В и С постоянные коэффициенты, причем А²+В²¹0, определяет на плоскости некоторую прямую.

Геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению Ах+Ву+С=0, называется прямой на плоскости.

Уравнение Ах+Ву+С=0 называется общим уравнением прямой.

Частные случаи:

1. С=0; А¹0, В¹0.

Прямая, определяемая уравнением Ах+Ву=0, проходит через начало координат.

2. А=0; В¹0, С¹0.

Прямая, определяемая уравнением Ву+С=0, параллельна оси Ох.

3. В=0, А¹0, С¹0.

Прямая, определяемая уравнением Ах+С=0, параллельна оси Oу.

4. В=С=0; А¹0.

Прямая, определяемая уравнением Ах=0, совпадает с осью Оу.

5. А=С=0; В¹0.

Прямая, определяемая уравнением Ву=0, совпадает с осью Ох.

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой (5) С¹0, то разделив все его члены на С, получим уравнение вида

x/a+y/b=1

(8)

где а =–С/А, b=–С/В.

Его называют уравнением прямой в отрезках. В (8) а является абсциссой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – ординатой точки пересечения прямой с осью Оу. Поэтому а и b называют отрезками прямой на осях координат.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М₁(x₁;y₁) и М₂(x₂;y₂)

(9)

Пример 1.

Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок b=–2 и имеющей угловой коэффициент k=3.

Решение:

Применяя формулу (6), запишем уравнение искомой прямой:

у=3х–2.

Ответ: у=3х–2.

Пример 2.

Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки а=2,5 и b=1,5.

Решение:

Воспользовавшись формулой (8) имеем:

х/2,5+у/1,5=1.

Приведем это уравнение к общему виду:

(2/5)х+(2/3)у=1 или 6х+10у–15=0.

Ответ: 6х+10у–15=0.

Пример 3.

Дано общее уравнение прямой 2х–5у+10=0.

Написать: 1) уравнение с угловым коэффициентом;

2) уравнение в отрезках;

3) построить прямую.

Решение:

1) Разрешив уравнение относительно у, получим уравнение с угловым коэффициентом:

5у=2х+10 или у=(2/5)х+2.

Здесь k=2/5; b=2.

2) Перенесем свободный член уравнения в правую часть и разделим обе части на (–10):

2х/(–10)–5у/(–10)=1.

Здесь а=–5; b=2.

3) Построим прямую:

Пример 4.

Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку М(–1;5).

Решение:

Воспользуемся формулой (9)

;

–y=5x;

5x+y=0 – общее уравнение прямой.

Ответ:

Пример 5.

Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(2;–3) и
В(–4;5).

Решение:

Применяя формулу (9) и подставляя х₁=2, у₁=–3, х₂=–4, у₂=5, получим:

(у–(–3))/(5–(–3))=(х–2)/(–4–2) или (у+3)/8=(х–2)/(–6), 4(х–2)=–3(у+3).

Искомое уравнение имеет вид 4х+3у+1=0.

Ответ: 4х+3у+1=0

Пример 6.

Даны вершины треугольника А(–1;1), В(5;7), С(–9;3).

Найти уравнения медиан АD, BE, CN.

Решение:

Найдем сначала координаты точки D – середины стороны ВС по формуле (4):

х=(5–9)/2=–2;

у=(7+3)/2=5,

т. е. D(–2; 5).

Уравнение медианы AD находится с помощью уравнения прямой, проходящей через две точки:

(у–1)/(5–1)=(х+1)/(–2+1) или (у–1)/4=(х+1)/(–1),

т. е. 4х+у+3=0.

Ответ: Уравнение медианы AD 4х+у+3=0.

Уравнения медиан ВЕ и CN находятся аналогично.

Угол между двумя прямыми

Угол между прямыми y₁=k₁x+b₁ и y₂=k₂x+b₂ определяется по формуле

tga=(k2–k1)/(1+k2k1)

(10)

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Кривой второго порядка называется множество точек М(x;y) на плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют следующему общему уравнению кривой второго порядка:

(11)

где а₁₁, а₂₂, а₀ - заданные числа.

Далее рассмотрим наиболее простые частные случаи этого уравнения.

Окружность

Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки (центра).

Если С(а;b) – центр окружности, а R – радиус окружности, то уравнение окружности имеет вид:

(х – а)2 + (у – b)2 =R2

(12)

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (12) примет вид:

х2 + у2 =R2

(13)

Общее уравнение окружности имеет вид:

Ах2+Ау2+Dх+Еу+F=0

(14)

Полезно помнить, что общее уравнение окружности содержит старшие члены х² и у² с равными коэффициентами и отсутствует член с произведением х на у.

Пример 11.

Определить координаты центра и радиус окружности

2х² +2у²–8х+6у+12=0.

Решение:

Разделив уравнение на 2 и сгруппировав члены уравнения, получим:

х²–4х+у²+3у=–6.

Дополним выражения х²–4х и у²+3у до полных квадратов, прибавив к первому двучлену 4, а ко второму (3/2)², одновременно к правой части прибавляется сумма этих чисел:

(х²–4х+4)+(у²+3у+(3/2)²)=–6+4+9/4 или (х–2)²+(у+3/2)²=1/4.

Таким образом, координаты центра окружности а=2, b=–3/2, а радиус окружности R=1/2.

Ответ: Центр О(2;–3/2), R=1/2.

Эллипс

Эллипсом называют множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через 2а), причем эта постоянная больше расстояния между фокусами.

Если оси координат расположены по отношению к эллипсу так, как на рис.1, а фокусы эллипса находятся на оси Ох на равных расстояниях от начала координат в точках F₁(C;0) и F₂(–С;0), то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

х2/а2+у2/b2=1

(15)

Рис. 1

Здесь а – большая полуось, b – малая полуось эллипса. Причем, а, b, и с (с – половина расстояния между фокусами) связаны соотношением

b2 =а2–с2

(16)

Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется эксцентриситетом е=с/а (так как с<а, то е<1).

Расстояние до некоторой точки М эллипса от его фокусов называется фокальными радиусами-векторами этой точки. Их обычно обозначают r₁ и r₂ (в силу определения эллипса для любой его точки r₁+r₂=2а).

В частном случае, когда а=b (с=0, е=0), фокусы сливаются в одной точке – центре; эллипс превращается в окружность с уравнением х²+у²=а².

Пример 12.

Написать каноническое уравнение эллипса, если даны его полуоси а=5 и b=4.

Решение:

Подставляя в уравнение (15) а²=25, b²=16, получим каноническое уравнение эллипса

х²/25+у²/16=1.

Ответ: х²/25+у²/16=1.

Пример 13.

Написать уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 6, а большая полуось равна 5.

Решение:

Зная, что а=5 и 2с=6, найдем малую полуось эллипса из соотношения b²=a²–c, т. е.

b²=25–9=16.

Уравнение эллипса: х²/25+у²/16=1.

Ответ: х²/25+у²/16=1.

Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2а), причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами.

Если поместить фокусы гиперболы в точках F₁(c;0) и F₂(–с;0), то каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

х2/а2–у2/b2=1

(17)

где b²=с²–а².

Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки А₁(а;0) и А₂(–а;0) называются вершинами гиперболы. Отрезок |А₁А₂|=2а называется действительной осью гиперболы, а отрезок |В₁В₂|=2b – мнимой осью (рис.2).

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых имеют вид:

у=(± b/a)х

(18)

Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние точки М(х;у) гиперболы от этой прямой стремится к нулю при х®¥ или х®–¥.

Отношение

е=с/а>1

(19)

называются эксцентриситетом гиперболы.

Рис. 2

Пример 14.

Написать каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси Ох, если а=4, с=5.

Решение:

Найдем мнимую полуось гиперболы из соотношения b²=с²–а²,

b²=25–16=9.

Имея а²=16, b²=9, запишем уравнение гиперболы

х²/16–у²/9=1.

Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Если директрисой параболы является прямая х=–р/2, а фокусом – точка F(р/2;0), то уравнение параболы имеет вид:

у2=2рх

(20)

Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс (рис.3), р>0.

Рис. 3

Уравнение

х2=2ру

(21)

является уравнением параболы, симметричной относительно оси ординат. При р>0, параболы (20) и (21) обращены в положительную сторону соответствующей оси, а при р<0 – в отрицательную сторону.

Пример 15.

Написать каноническое уравнение параболы, если расстояние фокуса от директрисы равно 10.

Решение:

Расстояние фокуса от директрисы р=10. Подставив в уравнение параболы у²=2рх значение р=10, получим

у²=20х.

Ответ: у²=20х.

Пример 16.

Найти уравнение директрисы и координаты фокуса параболы у²=4х.

Решение:

Данная парабола симметрична относительно оси Ох и расположена справа от оси Оу.

Из уравнения (20) находим 2р=4, откуда р=2.

Директрисой служит прямая, параллельная оси Оу и отстоящая от последней на расстоянии р/2=1. Следовательно, уравнение директрисы параболы будет х=–1.

Расстояние фокуса от начала координат равно р/2, поэтому абсцисса фокуса будет х=1.

Итак, фокус находится в точке F(1;0).

Ответ: уравнение директрисы х=–1, фокус F(1;0).

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Вопросы для самопроверки

1. Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом.

2. Напишите общее уравнение прямой.

3. Напишите уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

4. Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки.

5. Напишите уравнение прямой в отрезках.

6. Напишите формулу нахождения угла между прямыми.

7. Напишите общее уравнение линии второго порядка.

8. Напишите каноническое уравнение окружности.

9. Напишите каноническое уравнение эллипса.

10. Что называется фокусом эллипса? Напишите формулу нахождения координат фокуса эллипса.

11. Что называется эксцентриситетом эллипса? Напишите формулу нахождения эксцентриситета эллипса.

12. Какие прямые называются директрисами эллипса?

13. Напишите каноническое уравнение гиперболы.

14. Что называется фокусом гиперболы? Напишите формулу нахождения координат фокуса гиперболы.

15. Что называется эксцентриситетом гиперболы? Напишите формулу нахождения эксцентриситета гиперболы.

16. Какая ось гиперболы мнимая? действительная?

17. Что называется основным прямоугольником гиперболы?

18. Напишите каноническое уравнение параболы?

19. Что называется параметром параболы?

20. Что является осью симметрии параболы?

21. Что называется фокусом параболы? Напишите формулу нахождения координат фокуса параболы.

Задания для самопроверки

1. Составить уравнение окружности:

а) центр окружности совпадает с началом координат и ее радиус R=3;

б) центр окружности совпадает с точкой С(2;-3) и ее радиус R=7;

в) окружность проходит через начало координат и ее центр совпадает с точкой С(6;-8);

г) окружность проходит через точку А(2;6) и ее центр совпадает с точкой С(-1;2);

д) точки А(3;2) и В(–1;6) являются концами одного из диаметров окружности.

2. Написать уравнения окружностей радиуса , касающихся прямой в точке М₁(3;1).

3. Установить, как расположена точка А(1;–2) относительно каждой из следующих окружностей – внутри, вне или на контуре:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

4. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что:

а) его полуоси равны 5 и 2;

б) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8;

в) его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2c=10;

г) расстояние между его фокусами 2c=6 и эксцентриситет e=3/5;

д) его большая ось равна 20, а эксцентриситет e=3/5.

5. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично начала координат, зная, что:

а) его полуоси равны соответственно 7 и 2;

б) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8;

в) расстояние между его фокусами 2c=24 и эксцентриситет e=12/13;

г) его малая ось равна 16, а эксцентриситет e=3/5.

6. На эллипсе найти точку, абсцисса которой равна –3.

7. Определить, какие из точек A₁(-2;3), A₂(2;–2), A₃(2;–4), A₄(–1;3),
A₅(–4;–3), A₆(3;–1), A₇(3;–2), A₈(2;1), A₉(0;15), A₁₀(0;–16) лежат на эллипсе , какие внутри и какие вне его.

8. Составить уравнения эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:

а) точка М₁( ;2) эллипса и его малая полуось b=3;

б) точка М₁(2;–2) эллипса и его большая полуось a=4;

в) точки М₁(4; ) и М₂( ;3) эллипса;

г) точка М₁( ;–1) эллипса и его эксцентриситет e=2/3;

д) точка М₁(2;–-5/3) эллипса и его эксцентриситет e=2/3.

9. Составить уравнение эллипса, зная, что:

а) его большая ось равна 26, фокусы F₁(–10; 0), F₂(14;0);

б) его малая ось равна 2, фокусы F₁(–1;–1), F₂(1; );

в) его фокусы F₁(–2; /3), F₂(2;–3/2) и эксцентриситет e= .

10. Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет , фокус F(–4; 1) и уравнение соответствующей директрисы .

11. Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет e=1/2, фокус F(–4;1) и уравнение соответствующей директрисы .

12. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что:

а) ее оси 2a=10 и 2b=8;

б) расстояние между фокусами 2c=10 и ось 2b=8;

в) расстояние между фокусами 2c=6 и эксцентриситет e=3/2;

г) ось 2a=16 и эксцентриситет e=5/4.

13. Составить уравнение гиперболы, фокусы которого расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что:

а) ее полуоси a=6, b=18 (буквой а обозначена полуось гиперболы, расположенная на оси абсцисс);

б) расстояние между фокусами 2с=10 и эксцентриситет e=5/3.

14. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:

а) очки M₁(6;–1), M₂(–8; ) гиперболы;

б) точка М₁(–5;3) гиперболы и эксцентриситет e= ;

в) точка М₁(9/2;–1) гиперболы с уравнения асимптот .

15. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:

а) парабола расположена в правой полуплоскости, симметрично относительно оси Ох и ее параметр р=3;

б) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ох и ее параметр р=0,5;

в) парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси Оу и ее параметр р=1/4;

г) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично оси Оу и ее параметр р=3.

16. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:

а) парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку А(9;6);

б) парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку В(–1;3);

в) парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку С(1;1);

г). парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку D(4;–8).

17. Найти фокус F и уравнение директрисы параболы у²=24х.

18. Вычислить фокальный радиус точки М параболы у²=20х, если абсцисса точки М равна 7.

19 .Вычислить фокальный радиус точки М параболы у²=12х, если ордината точки М равна 6.

20. На параболе у²=16х найти точки, фокальный радиус которых равен 13.

21. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти ее вершины, величину параметра р и уравнение директрисы:

а) у²=4х–8;

б) у²=4–4х;

в) х²=6у+2;

г) х²=2–у.

Задания для контрольной работы

Вариант 1   1. Даны точки А(–6;3) и В(2;–7). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2. Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Oу для прямой 5х–у+3=0. 3. Дана гипербола х2–4у2=16. Найти: полуоси a и b; фокусы и эксцентриситет. 4. Найти центр и радиус окружности х2+у2–2х+4у–20=0.

Вариант 2   1. Даны точки А(–5;1) и В(4;–3). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2. Показать, что прямые 3х–у+5=0 и х+3у–1=0 перпендикулярны. 3. Найти фокус F и уравнение директрисы параболы у2=24х. 4. Установить, что уравнение 5х2+9у2–30х+18у+9=0. определяет эллипс. Найти координаты его центра, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.

Вариант 3   1. Даны точки А(3;–4) и В(–6;8). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2. Даны вершины треугольника А(–2;2), В(3;4), С(–7;8). Найти уравнение медианы AD. 3. Дана гипербола 16х2–9у2=144. Найти полуоси a и b, фокусы, эксцентриситет. 4. Найти центр и радиус окружности х2+у2+4х–2у+5=0.

Вариант 4   1. Даны точки А(5;–2) и В(–7;4). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(1;5), В(4;3). 3. Дана гипербола х2–4у2=16. Найти полуоси a и b; фокусы и эксцентриситет. 4. Установить, что уравнение 16х2+25у2+32х–100у–284=0 определяет эллипс. Найти координаты его центра, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.

Вариант 5   1. Даны точки А(7;–1) и В(4;–5). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок b=–5 и имеющей угловой коэффициент k=7 3. Дан эллипс 9х2+25у2=225. Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис. 4. Установить, что уравнение 16х2–9у2–64х–54у–161=0 определяет гиперболу. Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис.

Вариант 6   1. Даны точки А(1;7) и В(5;4). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2. Определить уравнение линии центров двух окружностей, заданных уравнениями (х+2)2+(у–1)2=16 и (х+2)2+(у+5)2=25. 3. Определить величину параметра и расположение ветвей параболы у2=6х относительно координатных осей. 4. Установить, что уравнение 4х2+3у2–8х+12у–32=0 определяет эллипс. Найти координаты его центра, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.

Вариант 7   1. Даны точки А(3;0) и В(4;–2). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(1;5), В(4;3). 3. Определить величину параметра и расположение ветвей параболы у2=6х относительно координатных осей. 4. Найти центр и радиус окружности х2+у2+6х–4у+14=0.

Вариант 8   1. Даны точки А(–7;4) и В(5;–2). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок b=–5 и имеющей угловой коэффициент k=7. 3. Дана гипербола х2–4у2=16. Найти: полуоси a и b; фокусы и эксцентриситет. 4. Найти центр и радиус окружности х2+у2+х=0.

Вариант 9   1. Даны точки А(5;–3) и В(0;4). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2. Показать, что прямые 3х–у+5=0 и х+3у–1=0 перпендикулярны. 3. Дана гипербола 16х2–9у2=144. Найти полуоси a и b, фокусы, эксцентриситет. 4. Найти центр и радиус окружности х2+у2+у=0.

Вариант 10   1. Даны точки А(10;3) и В(–1;–3). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2. Определить уравнение линии центров двух окружностей, заданных уравнениями (х+2)2+(у–1)2=16 и (х+2)2+(у+5)2=25. 3. Дан эллипс 9х2+25у2=225. Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет. 4. Установить, что уравнение 9х2–16у2+90х+32у–367=0 определяет гиперболу. Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис.

Вариант 11   1. Даны точки А(–5;2) и В(4;–1). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2. Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Oу для прямой 5х–у+3=0. 3. Найти фокус F и уравнение директрисы параболы у2=24х. 4. Установить, что уравнение 16х2–9у2–64х–18у+199=0 определяет гиперболу. Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис.

Вариант 12   1. Даны точки А(3;–6) и В(–7;2). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2. Определить уравнение линии центров двух окружностей, заданных уравнениями (х+2)2+(у–1)2=16 и (х+2)2+(у+5)2=25. 3. Дана гипербола х2–-4у2=16. Найти полуоси a и b, фокусы и эксцентриситет. 4. Определить уравнение линии центров двух окружностей, заданных уравнениями (х–3)2+у2=9 и (х+2)2+(у–1)2=1.

Вариант 13   1. Даны точки А(1;–5) и В(–3;4). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2. Даны вершины треугольника А(–2;2), В(3;4), С(–7;8). Найти уравнение медианы AD. 3. Дан эллипс 9х2+25у2=225. Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет. 4. Определить уравнение линии центров двух окружностей, заданных уравнениями х2+у2–4х+6у=0 и х2+у2–6х=0.

Вариант 14   1. Даны точки А(–4;3) и В(8;–6). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок b=–5 и имеющей угловой коэффициент k=7. 3. Дана гипербола х2–4у2=16. Найти полуоси a и b, фокусы и эксцентриситет. 4. Установить, что уравнение определяет параболу. Найти координаты ее вершины и величину параметра.

Вариант 15   1. Даны точки А(–5;2) и В(4;–7). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2. Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Oу для прямой 5х–у+3=0. 3. Дана гипербола 16х2–9у2=144. Найти полуоси a и b, фокусы, эксцентриситет. 4. Определить полуоси эллипса 4х2+9у2=25.

Вариант 16   1. Даны точки А(4;–7) и В(–2;5). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2. Определить уравнение линии центров двух окружностей, заданных уравнениями (х+2)2+(у–1)2=16 и (х+2)2+(у+5)2=25. 3. Найти фокус F и уравнение директрисы параболы у2=24х. 4. Установить, что уравнение у=46х2–8х+7=0 определяет параболу. Найти координаты ее вершины и величину параметра.

Вариант 17   1. Даны точки А(–3;5) и В(4;0). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок b=–5 и имеющей угловой коэффициент k=7. 3. Дана гипербола х2–4у2=16. Найти: полуоси a и b, фокусы и эксцентриситет. 4. Установить, что уравнение определяет параболу. Найти координаты ее вершины и величину параметра.

Вариант 18   1. Даны точки А(3;10) и В(–3;–1). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2. Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Oу для прямой 5х–у+3=0. 3. Определить величину параметра и расположение ветвей параболы у2=6х относительно координатных осей. 4. Определить полуоси эллипса 9х2+25у2=1.

Вариант 19   1. Даны точки А(2;–5) и В(–1;4). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2. Показать, что прямые 3х–у+5=0 и х+3у–1=0 перпендикулярны. 3. Дана гипербола 16х2–9у2=144. Найти полуоси a и b, фокусы, эксцентриситет. 4. Определить полуоси эллипса х2+4у2=1.

Вариант 20   1. Даны точки А(–6;3) и В(2;–7). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2. Даны вершины треугольника А(–2;2), В(3;4), С(–7;8). Найти уравнение медианы AD. 3. Дана гипербола х2–4у2=16. Найти: полуоси a и b, фокусы и эксцентриситет. 4. Установить, что уравнение х=2у2–12у+14 определяет параболу. Найти координаты ее вершины и величину параметра.

Вариант 21   1. Даны точки А(5;1) и В(4;–3). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной к прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(1;5), В(4;3). 3. Определить величину параметра и расположение ветвей параболы у2=6х относительно координатных осей. 4. Определить полуоси эллипса 16х2+у2=16.

Вариант 22   1. Даны точки А(–7;4) и В(3;–2). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2. Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Oу для прямой 5х–у+3=0. 3. Найти фокус F и уравнение директрисы параболы у2=24х. 4. Дан эллипс 9х2+5у2=45. Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис.

Вариант 23   1. Даны точки А(8;–6) и В(–4;3). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной к прямой АВ. Найти расстояние между точками А и В. 2 Даны вершины треугольника А(–2;2), В(3;4), С(–7;8). Найти уравнение медианы AD. 3. Дана гипербола 16х2–9у2=144. Найти полуоси a и b, фокусы, эксцентриситет. 4. Установить, что уравнение определяет параболу. Найти координаты ее вершины и величину параметра.

Вариант 24   1. Даны точки А(1;–3) и В(–5;4). Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной к прямой АВ. Найти расстояние меду точками А и В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через Наши рекомендации Кишкинова О.А., Левченкова Т.В., Черенкова И.А. Гордеева Ю.Л., Левченкова Т.В. ← Предыдущая страница | Следующая страница →