Открытая международная студенческая Интернет-олимпиада
I вузовского тура Дисциплина «Математика» 2011 год
Приложение А. Задания
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Профили «Гуманитарный и юридический»
и «Экономика и управление»
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задача 1.
Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. 70 коров съедают всю траву за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней. За сколько дней съедят всю траву 20 коров?
Ответ: 96.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задача 2.
Найти произведение различных корней уравнения 
Ответ: -4.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задача 3.
Укажите рисунок, на котором изображено все множество точек, удовлетворяющих уравнению 
:
а) б) в) г)
Ответ: б).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задача 4.
Прибыль предприятия планировалось увеличить на 20% по сравнению с прошлогодней. Фактически она увеличилась на 26%. На сколько процентов по сравнению с планируемой повысилась прибыль?
Ответ: 5.
Задача 5.
Дана система уравнений:
Пусть ( 
) – решение этой системы. Тогда значение выражения 
равно ј
Ответ: 2.
Задача 6.
На множестве целых чисел введена операция « 
» такая, что
1) 
2) 
где «+» – обычная операция сложения целых чисел.
Вычислите значение выражения 
Ответ: -2012.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задача 7.
Вычислить 
Ответ: 1.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задача 8.
В прямоугольнике 
известны длины сторон 
и 
Прямоугольник повернули по часовой стрелке на угол 
вокруг точки 
, а затем на угол по часовой стрелке вокруг той точки, куда перешла точка 
после первого вращения. Пусть 
– длина траектории, по которой двигалась точка P во время этих перемещений.
Тогда 
равно …
Ответ: 9.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задача 9.
Пусть 
многочлен наименьшей степени, имеющий минимум равный –60 при 
и максимум равный 48 при 
. Тогда сумма коэффициентов многочлена 
равна …
Ответ: 40.
Задача 10.
Найдите произведение абсцисс точек касания тех касательных к графику функции 
, угловой коэффициент которых равен 
Ответ: -216.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задача 11.
Пусть 
равен А. Тогда значение выражения 
равно…
Ответ: 12.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задача 12.
Для многочлена 
соотношение: 
выполняется для всех 
Найти 
.
Ответ: 720.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задача 13.
Торговая фирма владеет пятью магазинами A, B, C, D, E, которые приносят ей прибыль в размерах a, b, c, d, e соответственно. Известно, что суммарная прибыль ненулевая (a + b + c + d + e ≠ 0) и 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e. Найти наибольшее возможное значение доли прибыли магазинов B и D (b + d) в суммарной прибыли. Ответ записать в процентах.
Ответ: 50.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задача 14.
Если 
, то 
равно …
Ответ: 24.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задача 15.
Сумма ряда 
равна …
Ответ: 6.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задача 16.
Пусть функция 
удовлетворяет уравнению 
и условию 
Тогда значение выражения 
равно …
Ответ: 10.
Открытая международная студенческая Интернет-олимпиада
по дисциплине «Математика» 2013 I тур
Приложение А. Задания
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Профили «Гуманитарный и юридический», «Лесохозяйственный и сельскохозяйственный», «Экономика и управление»
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задание 1
Компания сдает в аренду 200 квартир. При арендной плате в 200 у.е. в месяц все квартиры заняты. Арендная плата может изменяться на величину, кратную 10 у.е.
Статистика показывает, что каждое повышение размера арендной платы на 10 у.е. приводит к освобождению 5 квартир. Стоимость обслуживания сданной квартиры для компании составляет 20 у.е. в месяц. Менеджер компании определил размер арендной платы, при которой достигается максимальный доход. Количество занятых при этом квартир равно…
Ответ: 145
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задание 2
Пусть 
– решение системы уравнений 
. Тогда значение выражения 
равно…
Ответ: 9
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задание 3
Даны три вершины треугольника 
, 
и 
. Через центр окружности, описанной около треугольника 
параллельно оси Оz, проведена прямая. Сумма координат точки пересечения этой прямой с плоскостью xOy равна…
Ответ: 3018
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задание 4
Ордината точки пересечения графиков функции 
и ее обратной функции равна…
Ответ: 1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задание 5
Если 
, то 
равно… Ответ: 18
Задание 6
Если 
, то значение x равно…
Ответ: 2013
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задание 7
Функция 
непрерывна в каждой точке числовой прямой, и 
при 
. Тогда 
равно…
Ответ: 4
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задание 8
Функцию 
разложили в степенной ряд 
. Показатель степени четвертого ненулевого слагаемого равен…
Ответ: 17
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задание 9
Пусть для 
выполняется условие 
и площадь закрашенной фигуры (ограничена линиями 
) равна .
Тогда 
равно…
Ответ: 12
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задание 10
Пусть функция 
определена при любых х и удовлетворяет условию 
. Тогда 
равно…
Ответ: 68
Задание 11
Известно, что – многочлен с целыми неотрицательными коэффициентами, 
. Тогда 
равно…
Ответ: 257
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задание 12
Два двузначных числа, записанных одно за другим, образуют четырехзначное число, которое делится без остатка на их произведение. Количество таких пар чисел равно…
Ответ: 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задание 13
Даны две матрицы размерности 
:
и 
.
Сумма всех элементов матрицы 
, которая является решением уравнения 
, равна…
Ответ: 2025078
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задание 14
Если 
, 
, 
, 
, то 
равен…
Ответ: 7
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задание 15
Известно, что 
и 
. Если M – максимальное значение, которое может принять произведение 
, то значение величины 
равно…
Ответ: 12
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задание 16
Пусть 
и 
. Тогда значение выражения 
равно…
Ответ: -70
ОЛИМПИАДА 2009