Равновесие системы сходящихся сил.

Из законов меха­ники следует, что твердое тело, на которое действуют взаимно уравновешенные внешние силы, может не только находиться в покое, но и совершать движение, которое мы назовем движением «по инер­ции». Таким движением будет, например, поступательное равномерное и прямолинейное движение тела.

Отсюда получаем два важных вывода: 1) Условиям равновесия статики удовлетворяют силы, действующие как на покоящееся тело, так и на тело, движущееся «по инерции». 2) Уравно­вешенность сил, приложенных к свободному твердому телу, является необходимым, но не достаточным условием равновесия (покоя) самого тела; в покое тело будет при этом находиться лишь в том случае, если оно было в покое и до момента приложения к нему уравнове­шенных сил.

Для равновесия приложенной к твердому телу системы сходя­щихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю. Условия, которым при этом должны удовле­творять сами силы, можно выразить в геометрической или аналити­ческой форме.

1. Геометрическое условие равновесия. Так как равнодействующая Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru сходящихся сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил, то Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru может обратиться в нуль тогда и только тогда, когда конец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первой,т. е. когда много­угольник замкнется.

Следовательно, для равновесия системы, сходящихся сил необ­ходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построен­ный из этих сил, был замкнут.

2. Аналитические условия равновесия. Аналитически равнодействующая системы сходящихся сил определяется формулой

Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru .

Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R обратится в нуль только тогда, когда одновременно Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru , Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru , Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru , т. е. когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам:

Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru

Равенства выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю.

Если все действующие на тело сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В случае плоской системы сходящихся сил получим, очевидно, только два условия равновесия

Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru

Равенства выражают также необходимые условия (или уравнения) равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием сходящихся сил.

Пример 1. На рис.15 показаны три силы. Проекции сил Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru и Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru на оси х, у, z очевидны:

Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru

Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru

Рис.15

Рис. 2.4.

А чтобы найти проекцию силы Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru на ось х нужно использовать пра­вило двойного проектирования.

Проектируем силу сначала на плос­кость хОу, в которой расположена ось (рис.15), получим вектор Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru , величиной Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru а затем его проектируем на ось х: Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru

Аналогично действуя, найдём проекцию на ось у: Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru .

Проекция на ось z находится проще: Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru .

Нетрудно убе­диться, что проекции сил на ось V равны:

Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru

Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru

При определении этих проекций удобно воспользоваться рис.16, видом сверху на распо­ложение сил и осей.

Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru

Рис.16

Вернёмся к системе сходящихся сил (рис. 17). Проведём оси координат с началом в точке пересечения линий действия сил, в точке О.

Мы уже знаем, что равнодействующая сил Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru . Спроектируем это векторное равенство на оси. Получим проек­ции равнодействующей Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru на оси x, y, z:

Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru

Они равны алгебраическим сум­мам проекций сил на соответствующие оси. А зная проекции равнодействую­щей, можно определить и величину её как диагональ прямоугольного парал­лелепипеда Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru или

Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru .

Направление вектора Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru найдём с помощью направляющих косинусов (рис.17):

Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru

Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru

Рис.17

Пример 2. На шар, вес которого Р, лежащий на горизонтальной плоско­сти и привязанный к ней нитью АВ, действует сила F (рис.18). Определим реакции связей.

Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru

Рис.18

Следует сразу заметить, что все задачи статики решаются по одной схеме, в определённом порядке.

Продемонстрируем ее на примере решения этой задачи.

1. Надо выбрать (назначить) объект равновесия – тело, равновесие ко­торого следует рассмот­реть, чтобы найти неиз­вестные.

В этой задаче, ко­нечно, объект равновесия – шар.

2. Построение рас­чёт­ной схемы. Расчётная схема – это объект рав­новесия, изображённый отдельно, свободным телом, без свя­зей, со всеми силами, действую­щими на него: реакциями и остальными силами.

Показываем реакцию нити Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru и нормаль­ную реакцию плоскости – Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru (рис.18). Кроме них на шар действуют заданные силы Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru и Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru .

3. Надо установить какая получилась система сил и составить со­ответствующие уравнения равновесия.

Здесь получилась система сходящихся сил, расположенных в плос­кости, для которой составляем два уравнения (оси можно проводить произвольно):

Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru ,

Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru

4. Решаем систему уравнений и находим неизвестные.

Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru

По условию задачи требовалось найти давление шара на плоскость. А мы нашли реакцию плоскости на шар. Но, по определению следует, что эти силы равны по величине, только давление на плоскость будет направлено в противоположную сторону, вниз.

Пример 3. Тело весом Р прикреплено к вертикальной плоскости тремя стержнями (рис.19). Определим усилия в стержнях.

Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru

Рис.19

В этой задаче объект равновесия – узел С вместе с гру­зом. Он нарисован отдельно с реак­циями, усилиями в стержнях Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru , Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru , Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru , и весом Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru . Силы образуют пространственную систему сходящихся сил. Составляем три уравнения равно­весия:

Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru

Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru

Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru

Из первого уравнения следует: S2 = S3. Тогда из третьего:

Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru а из второго: Равновесие системы сходящихся сил. - student2.ru

Когда мы направляли усилие в стержне от узла, от объекта равнове­сия, предполагали, что стержни работают на растяжение. Усилие в стержне CD получилось отрицательным. Это значит – стержень сжат. Так что знак усилия в стержне указывает как работает стержень: на растяжение или на сжатие.

Наши рекомендации