В.В. Алексеенков, В.П. Василенков

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие для студентов специальности

«Прикладная информатика в менеджменте»

Смоленск

Издательство СмолГУ

УДК 519.2 (075.8)

ББК 22.17 я 73

А 477

Печатается по решению редакционно-

издательского совета СмолГУ

Реценз ент

Г.С. Евдокимова, доктор педагогических наук, кандидат физико- математических наук, профессор, заведующая кафедрой математики Смоленского государственного университета

А 477

Алексеенков В.В.

Теория вероятностей и математическая статистика:учебно- методическое пособие для студентов специальности «Прикладная информатика в менеджменте» / В.В. Алексеенков, В.П. Василенков; Смол. гос. ун-т. – Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2010. – 100 с.

Пособие предназначено для студентов специальности 080801 «Прикладная информатика в менеджменте» и соответствует Государственному образова- тельному стандарту.

Особенность пособия состоит в том, что основы теории вероятностей и ма- тематической статистики излагаются в контексте решения прикладных задач экономики. Предложен большой массив авторских заданий для аудиторной и самостоятельной работы студентов. Использованы чёткие алгоритмы при рас- смотрении вопросов математической статистики. В пособии впервые система- тизирован и обобщён материал по многомерному статистическому анализу.

Пособие может быть использовано также студентами других экономических и управленческих специальностей при изучении соответствующих разделов высшей математики.

УДК 519.2 (075.8)

ББК 22.17 я 73

© В.В. Алексеенков, В.П. Василенков, 2010

© Издательство СмолГУ, 2010

Введение

Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов вто- рого курса специальности «Прикладная информатика в менеджменте» по дис- циплине «Теория вероятностей и математическая статистика» и полностью соответствует Государственному образовательному стандарту. Курс рассчитан на 36 часов лекций, 32 часа практических занятий и 52 часа самостоятельной работы. По завершении курса предусмотрен экзамен.

Программа курса	Лекции	Практи- ческие занятия	Самостоя- тельная работа
Вероятности событий Классическое определение вероятности. Примене- ние формул комбинаторики при нахождении веро- ятности. Теоремы сложения и умножения вероятно- стей. Формула полной вероятности и формулы Бай- еса. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теорема Лапласа. Фор- мула Пуассона
Случайные величины и процессы Закон распределения дискретной случайной вели- чины. Числовые характеристики дискретных слу- чайных величин и их свойства. Непрерывные слу- чайные величины. Функция и плотность распреде- ления вероятностей. Числовые характеристики не- прерывных случайных величин. Нормальное рас- пределение и его свойства. Случайные процессы. Многомерные случайные величины. Многомерное распределение и его характеристики
Одномерный статистический анализСтатистические методы обработки эксперимен- тальных данных. Оценивание и проверка стати- стических гипотез. Статистический анализ количе- ственных и качественных признаков. Методы шка- лирования
Многомерный статистический анализ Проблема размерности в многомерных методах исследования. Многомерные методы оценивания и статистического сравнения. Множественный кор- реляционно-регрессионный анализ. Компонентный анализ. Факторный анализ. Кластер-анализ. Клас- сификация без обучения. Дискриминантный ана- лиз. Классификация с обучением. Канонические корреляции. Множественный ковариационный анализ. Применение многомерных статистических методов в социально-экономических исследованиях
Современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа	–	–

Занятие 1. События. Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики

Определение 1.1. Событием называется всякий факт, который может произойти в результате некоторого испытания.

Определение 1.2. Случайным называется такое событие, которое при проведении испытания может как произойти, так и не произойти.

Случайные события обычно обозначают первыми прописными латин-

скими буквами: A , B , … .

Определение 1.3. Два события называются несовместными, если при проведении испытания они не могут появиться одновременно.

Определение 1.4. События называются попарно несовместными,

если любые два из них несовместны.

Определение 1.5. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что при проведении серии испытаний какое-то из них будет наступать чаще, чем другое.

Замечание. При выяснении равновозможности событий исходят из интуитивных соображений, здравого смысла или житейского опыта.

Определение 1.6. Будем говорить, что несколько событий образуют полную группупри данном испытании, если они являются попарно несовме- стными и при проведении этого испытания одно из них обязательно про- изойдет.

Определение 1.7. Событие A называется благоприятствующимсобытию B , если всякий раз, когда происходит событие A , происходит и событие B .

Определение 1.8. События

A1 ,

A2 , …,

An называются элементар-

ными исходами (исходами) данного испытания, если они являются равно-

возможными и образуют полную группу.

Определение 1.9 (классическое определение вероятности). Пусть

испытание имеет n исходов:

A1 , A2 , …,

Anи событие Aпроисходит всякий

раз вместе с одним из m определенных исходов (каждый из таких исходов благоприятствует событию A ). Вероятностьюсобытия A при данном

испытании называется число m. n

Обозначать вероятность события A будем через

P( A) = m .

n

P( A) :

Пример 1.1. Из десяти филиалов Банка три расположены вне города. Какова вероятность того, что случайным образом выбранный для проверки филиал Банка находится в городе?

Решение. Пусть событие A – выбранный филиал Банка находится в городе. Испытание состоит в выборе одного филиала из десяти. Пронумеру- ем филиалы числами от 1 до 10. Так как каждый филиал выбирается случай-

но, то события

Ai, состоящие в выборе i-го филиала, являются равновоз-

можными и образуют полную группу. Таким образом, число n всех исходов испытания равно 10. Так как в городе находится семь филиалов Банка, то из

исходов

Ai только 7 являются благоприятствующими событию A, значит,

m= 7 . По классическому определению вероятности находим

P( A) = 0,7 .

При подсчете количества исходов часто бывает удобно использовать следующие правила и формулы комбинаторики.

Правило умножения: если элемент aможно выбрать nспособами и при

любом выборе aэлемент bможно выбрать mспособами, то пару (a, b)

мож-

но выбрать

n⋅mспособами.

Правило суммы: если элемент aможно выбрать nспособами, а элемент

bможно выбрать mспособами, то выбрать aили bможно

n+ m

способами.

Эти правила важны сами по себе, а также при выводе формул для под-

счета числа различных сочетаний, размещений и перестановок.

Пусть имеется множество, состоящее из n элементов.

Определение 1.10. Сочетанием из n элементов данного множества по k элементов называется всякое подмножество k элементов, выбранных из данных n элементов.

Два различных сочетания из n элементов данного множества по k отли-

чаются только составом.

C

n

Число k

различных сочетаний из n элементов данного множества по k

элементов находится по формуле:

С

k n

= n! .

k!⋅(n− k)!

Определение 1.11. Размещением без повторений из n элементов данного множества по k элементов называется всякий упорядоченный на- бор k элементов, выбранных из данных n элементов.

Два различных размещения из n элементов данного множества по k от-

личаются или составом, или порядком элементов.

A

n

Число

k различных размещений (без повторений) из n элементов дан-

ного множества по kэлементов находится по формуле:

A

k= n! .

n (n− k)!

Определение 1.12. Перестановкой без повторений из n элементов данного множества называется всякий упорядоченный набор, составленный из этих n элементов.

Перестановка из n элементов данного множества является размещением

(без повторений) из nэтих элементов по n.

Число

Pn различных перестановок из nэлементов данного множества

находится по формуле:

Pn= n!.

Определение 1.13. Размещением с повторениями из n элементов данного множества по k элементов называется всякий упорядоченный на- бор k элементов, выбранных из данных n элементов, при этом каждый элемент может участвовать в размещении сколь угодно раз.

A

Число

n

k различных размещений с повторениями из n элементов дан-

ного множества по kэлементов находится по формуле:

A

n

k= nk.

Пример 1.2. В отделе качества работают 30 человек: начальник, два заместителя и прочие сотрудники. Из них случайным образом выбирают троих для работы в создаваемом отделе маркетинга. Определите вероятность того, что среди выбранных сотрудников будут два заместителя.

Решение. Пусть событие A – среди выбранных сотрудников будут два заместителя. Испытание состоит в выборе трех человек из 30. Так как поря-

док выбора не важен, то число всех исходов испытания равно C 3

. Так как

выбрать двух заместителей можно одним способом и при этом третьего кан- дидата можно выбрать 28 способами, то по правилу умножения число благо- приятствующих исходов равно 28. По классическому определению вероятно-

сти находим

P( A) = 28

C

30

= 1

145

≈ 0,007 .

Пример 1.3. Из 30 клиентов фирмы 7 имеют претензии к качеству ее услуг. Найдите вероятность того, что из обслуженных сотрудником пяти клиентов двое имеют претензии.

Решение. Пусть событие A – из обслуженных сотрудником пяти клиен-

тов двое имеют претензии. Опыт заключается в выборе пяти человек из 30.

Так как порядок выбора не важен, то число всех исходов испытания равно C 5 .

C

Выбрать же двоих клиентов из числа имеющих претензии можно 2

способа-

ми. Но так как всего нужно выбрать пять клиентов, то оставшихся трёх клиен-

C

тов выбираем из числа не имеющих претензий, а это можно сделать 3

спо-

собами. По правилу умножения число способов, благоприятствующих собы-

тию A, равно

C2C3

. По классическому определению вероятности находим

C2C3

P(A) =

C5

7 23

≈ 0,26.

7 23

Теоретические вопросы и задания

1. Что такое случайное событие? Приведите примеры случайных событий.

2. Какие события называются совместными (несовместными)? Приведите примеры.

3. Что называется полной группой событий? Дайте определение элементар-

ного исхода.

4. Сформулируйте классическое определение вероятности.

5. Что называется сочетанием (размещением, перестановкой)? По какой формуле подсчитывается количество сочетаний (размещений, перестано- вок)?

6. Сформулируйте основные правила комбинаторики: правила суммы и про-

изведения. Приведите примеры.

Задачи и упражнения

1. В приведенных ниже опытах укажите совместные и несовместные собы-

тия. Какое событие какому благоприятствует?

а) Опыт: бросок одной монеты. События: P – выпала решка; O – выпал орел.

б) Опыт: бросок двух монет. События: А – хотя бы на одной из монет вы-

пала решка; В – хотя бы на одной из монет выпал орел; С – на обеих монетах выпала решка; D – на одной монете выпал орел, а на другой – решка.

в) Опыт: два выстрела по мишени. События: А – ни одного попадания;

В – одно попадание; С – два попадания; D – нет промаха.

г) Опыт: вынимание косточки домино. События: А – вынуто 6 очков;

В – вынуто 3 очка; С – вынута косточка «3 – пусто».

2. Образуют ли полную группу события?

а) Опыт: бросок одной монеты. События:

орел.

A1 – выпала решка;

A2 – выпал

б) Опыт: бросок двух монет. События:

A1 – появление двух решек;

A2 – появление двух орлов.

в) Опыт: два выстрела по мишени. События:

A1 – ни одного попадания;

A2 – одно попадание;

A3 – два попадания.

События:

B1 – хотя бы одно попадание;

B2 – хотя бы один промах.

г) Опыт: вынимание карты из колоды. События:

A1 – появление карты

червонной масти;

A2 – появление карты бубновой масти;

A3 – появле-

ние карты трефовой масти.

3. Являются ли равновозможными следующие события?

а) Опыт: бросок симметричной монеты. События:

– выпал орел.

A1 – выпала решка; A2

б) Опыт: бросок неправильной (погнутой) монеты. События:

A1 – выпала

решка;

A2 – выпал орел.

в) Опыт: выстрел по мишени. События:

A1 – попадание;

A2 – промах.

г) Опыт: бросание игральной кости. События:

A1 – появление не менее

трех очков;

A2 – появление не более четырех очков.

д) Опыт: бросок двух монет. События:

A1 – появление двух орлов;

A2 – по-

явление двух решек;

A3 – появление одного орла и одной решки.

4. Из слова НАУГАД выбирается одна буква. Какова вероятность того, что это буква Я? Какова вероятность того, что это гласная?

5. Бросается игральная кость. Вычислите вероятности событий:

а) выпало 2 очка;

б) выпало не менее трех очков;

в) выпало простое число очков;

г) число выпавших очков кратно трем;

д) выпало нечетное число очков.

6. Бросаются две монеты. Найдите вероятность следующих событий:

а) на каждой монете выпал орел;

б) выпал хотя бы один орел;

в) выпали орел и решка.

7. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100.

Найдите вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного же-

тона не содержит цифры 5.

8. Случайно выбранная кость домино оказалась не дублем. Найдите вероят- ность того, что вторую, также взятую наудачу кость домино можно при- ставить к первой.

9. В лотерее 1000 билетов, из которых 150 выигрышных. Участник лотереи покупает 10 билетов. Какова вероятность приобрести из этих билетов: а) ровно 3 выигрышных; б) хотя бы один выигрышный?

10. За круглым столом рассаживаются 5 мужчин и 5 женщин. Найдите веро-

ятность того, что никакие два лица одного пола не сядут рядом.

11. На полке случайным образом расставляют 8 различных книг. Найдите ве- роятность того, что: а) определенные две книги окажутся рядом; б) опре- деленные три книги окажутся рядом.

Домашнее задание

1. Две игральных кости подбрасываются наудачу. Определите элементарные исходы, которые могут произойти в результате опыта. Найдите вероятно-

сти следующих событий: А –количество очков, выпавших на верхних гра- нях костей, одинаково; В – сумма очков, выпавших на верхних гранях кос- тей, равна восьми; C – выпала хотя бы одна единица.

2. Брошены три монеты. Найдите вероятность того, что выпадут две решки.

3. Замок открывается только при наборе шифра – трехзначное число без повторения цифр. Какова вероятность того, что замок откроется, если шифр набран случайно?

4. Сколькими способами можно набрать трехзначный цифровой код, если все его цифры различны?

5. В каждом регионе России государственный номер автомобиля состоит из трёх букв, имеющих одинаковое написание в русском и латинском алфави- тах, и трёхзначного числа (от 001 до 999). Например: «А 621 ТЕ». Сколько всего автомобилей может быть зарегистрировано в каждом регионе?

6. Студент успел выучить 17 вопросов программы из 31. Каждый экзамена- ционный билет состоит из двух неповторяющихся вопросов. Какова веро- ятность того, что студент ответит: а) на все вопросы наудачу взятого би- лета; б) только на один из вопросов билета?

Занятие 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности и формулы Байеса

Для случайных событий вводятся операции отрицания, сложения и ум-

ножения.

Определение 2.1. Отрицанием события A называется новое собы- тие, которое происходит в том и только в том случае, когда непроисходит событие A .

Отрицание события Aобозначается A.

Имеет место соотношение

P( A) + P( A) =1 .

Пример 2.1. В фирме работают 25 человек. Найдите вероятность того, что хотя бы у двух сотрудников фирмы дни рождения совпадают (полагаем равновозможность рождений в любой день года, число дней в году 365).

Решение. Пусть событие A – дни рождения хотя бы у двух сотрудни- ков из 25 совпадают. Событие A – дни рождения всех сотрудников различны. Общее число исходов определяется числом размещений с

повторениями из 365 элементов (дней года) по 25, т.е.

A365

= 36525 . Число же

случаев, благоприятствующих событию A, есть число размещений без

A

повторений из 365 элементов по 25, т.е.

= 365! . Тогда

25!

A

элементов по 25, т.е.

= 365!. Тогда вероятность P( A) =

25!

A25

365 ≈ 0,43, а зна-

A365

чит, искомая вероятность

P(A) =1− P(A) ≈1− 0,43 = 0,57 .

Определение 2.2. Суммой двух событий A и B называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одноиз событий A или B .

Сумма событий Aи Bобозначается

A+ B.

Определение 2.3. Произведением двух событий A и B называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит каждоеиз событий A и B .

Произведение событий Aи Bобозначается

A⋅ B.

Замечание. Понятия суммы и произведения двух событий могут быть естественным образом обобщены и на случай большего числа событий.

Имеют место следующие соотношения:

A1 + A2 +...+ An = A1 ⋅ A2 ⋅...⋅ An ,

A1 ⋅ A2 ⋅...⋅ An = A1 + A2 +...+ An.

Теорема 2.1 (теорема сложения вероятностей несовместных событий). Вероятность появления суммы двух несовместныхсобытий A и B равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Замечание. Теорема 2.1 остаётся справедливой для любого конечного

числа попарно несовместных событий.

Теорема 2.2 (теорема сложения вероятностей совместных со- бытий). Вероятность появления суммы двух совместныхсобытий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного по- явления:

P( A + B) = P( A) + P(B) − P( A ⋅B) .

Определение 2.4. Условной вероятностью

PA(B)

события B при

условии А называется вероятность того, что произойдет событие B при условии, что событие A произошло.

Теорема 2.3 (теорема умножения вероятностей двух событий). Вероятность появления произведения двух событий A и B равна произведе- нию вероятностей одного из них на условную вероятность другого:

P( A ⋅ B) = P( A) ⋅ PA (B) .

Замечание. Теорема 2.3 имеет обобщения на большее число сомножите-

лей. Например, для трех событий A , B и C будет справедливо равенство

P( A ⋅ B⋅С ) = P( A) ⋅ PA ( B) ⋅ PA⋅B (C) .

Определение 2.5. События А и B называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого, т.е. ес-

ли верны равенства:

PB( A) = P( A) и

PA( B) = P(B) .

Теорема 2.4 (теорема умножения вероятностей двух незави- симых событий). Вероятность появления произведения двух независимыхсобытий A и B равна произведению вероятностей этих событий:

P(A⋅ B) = P(A)⋅ P(B).

Пример 2.2. Четверть клиентов организации являются физическими

лицами, а остальные – юридическими. Из практики известно, что 80% всех договоров оплачиваются безналичным расчётом. В то же время из общего

числа договоров с физическими лицами 30% оплачиваются безналичным расчётом. Какова вероятность того, что наудачу выбранный договор заклю- чён с юридическим лицом и оплачивается безналичным расчётом?

Решение. Пусть событие A – договор заключен с физическим лицом,

B – договор оплачивается безналичным расчётом. Тогда по условию

P( A) = 0,25 ,

P(B) = 0,8 ,

PA(B) = 0,3 . Требуется найти вероятность

A⋅ B.

Так как

B= AB+ AB, то

P( AB) = P(B) − P( AB) = P(B) − P( A) ⋅ PA (B) .

Таким образом,

P( AB) = 0,8 − 0,25 ⋅0,3 = 0,05 .

Определение 2.6. События

А1 ,

A2 , …,

An называются независимы-

ми в совокупности, если они попарно независимы и каждое из этих собы-

тий и всевозможные произведения других являются независимыми.

Теорему 2.4 можно обобщить на случай большего числа событий.

Теорема 2.5 (теорема умножения вероятностей нескольких независимых в совокупности событий). Вероятность появления про-

изведения независимыхв совокупности событий

ведению вероятностей этих событий:

А1 ,

A2 , …,

An равна произ-

P(A1 ⋅ A2 ⋅...⋅ An ) = P(A1 )⋅ P(A2 )⋅...⋅ P(An ).

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из

событий

H1 ,

H2 , …,

Hn, образующих полную группу.

Теорема 2.6 (формула полной вероятности). Вероятность собы-

тия A равна сумме произведений вероятностей событий

H1 ,

H2 , …,

Hn,

образующих полную группу, на соответствующие условные вероятности события A :

n

i

P( A) = ∑ P(H i ) ⋅ PH

i−=1

( A) .

Замечание. События

зами.

H1 , …,

H n из теоремы 2.6 называются гипоте-

Теорема 2.7 (формулы Байеса1). Пусть событие Aпроизошло.

Вероятность того, что при этом произошло событие

H i , равна

P (H

P(H i

H

) =

) ⋅ P

i

( A)

.

A i P( A)

Замечание. Практическое значение формул Байеса состоит в том, что при появлении события A , т.е. при поступлении новых данных, можно проверять выдвинутые ранее гипотезы. Такой подход часто используется для корректировки управленческих решений и называется байесовским подходом.

Пример 2.3. Три организации представили для проверки счета. Пер- вая – 15 счетов, вторая – 10, третья – 25. Вероятности правильно оформления счетов соответственно равны: 0,9; 0,7; 0,8. Был выбран один счёт, и он оказал- ся правильным. Какова вероятность, что он был представлен третьей органи- зацией?

Решение. Сначала найдем вероятность события А – наугад выбранный

счет является правильным. Введем гипотезы: Hi

– выбранный счет пред-

ставлен i -й организацией, тогда

P(H1

) = 15 ,

50

P(H 2

) = 10 ,

P(H 3

) = 25 .

По формуле полной вероятности находим:

P( A) = 0,9 ⋅15 + 0,7 ⋅10 + 0,8 ⋅ 25 = 0,81 .

50 50 50

Так как выбранный счёт оказался правильным, то по формуле Байеса найдём искомую вероятность:

PA(H 3

) = 0,8⋅0,5 ≈ 0,49.

0,81

Теоретические вопросы и задания

1. Какое событие называется противоположным данному событию?

2. Что называется суммой двух событий? произведением двух событий?

3. Сформулируйте теорему сложения вероятностей несовместных событий.

4. Сформулируйте теорему сложения вероятностей двух совместных собы-

тий.

5. Что называется условной вероятностью одного события относительно другого? Какие события называются независимыми?

6. Сформулируйте теорему умножения вероятностей двух независимых собы-

тий.

7. Сформулируйте теорему о полной вероятности события.

8. В чем заключается практическое значение формул Байеса?

1 Томас Байес (1702 – 1761) – английский математик и священник.

Задачи и упражнения

1. При движении автомобиля его левые и правые колеса наезжают на препят- ствия (выступы и впадины дорожного полотна). Пусть А – событие, заклю- чающееся в наезде на препятствие левым колесом; В – правым колесом. В

чем состоят следующие события: а) A; б) B; в)

A+ B; г)

A+ B; д) AB?

2. Среди студентов, собравшихся на лекцию по математическому анализу,

выбирают наудачу одного. Событие А – выбран юноша; В – не курит; С –

живет в общежитии. а) Опишите события

ABC,

( A+ B) ⋅C,

A+ BC.

б) При каком условии будет иметь место тождество

ABC= A?

3. Два стрелка, вероятности попадания в мишень у которых равны соответст- венно 0,7 и 0,8, делают по одному выстрелу в одну мишень. Определите вероятности событий: А – в мишени два попадания; B – в мишени одно по- падание; С – в мишени хотя бы одно попадание.

4. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом. В первой ур-

не: 5 белых шаров, 11 чёрных и 8 красных. Во второй урне соответственно:

10, 8 и 6. Из каждой урны наудачу извлекается по одному шару. Какова ве-

роятность того, что извлечённые шары будут одинакового цвета?

5. В группе, состоящей из 25 студентов, в шахматы умеют играть 10 человек, а в шашки – 12 человек. Вероятность того, что студент из этой группы умеет играть в обе эти игры, равна 0,32. Найдите вероятность того, что студент, наугад выбранный из группы, умеет играть в шахматы или в шашки.

6. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона, а потому набирает её наудачу. Определите вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в три места.

7. Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причём в каждой партии од- но изделие – бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, пе- реложено во вторую. После этого наудачу выбирается одно изделие из второй партии. Определите вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.

8. Компания по страхованию автомобилей разделяет водителей на три класса, численности которых относятся как 2:5:3. Вероятности того, что в течение года водитель попадает в аварию, равны 0,01, 0,03, 0,1 соответственно для каждого класса. Наугад выбранный водитель два года подряд попадал в аварию. К какому классу наиболее вероятно он относится?

9. На автозавод поступили двигатели от трёх моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго – 6 и от третьего – 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что: а) установленный на машине двигатель будет работать в течение гарантий- ного срока; б) проработавший двигатель изготовлен на первом заводе? на втором заводе?

Домашнее задание

1. По мишени производится три выстрела. Рассматриваются события Ak –

попадание при k-м выстреле (k= 1, 2, 3). Пользуясь действиями над собы-

тиями

Ak, запишите события: A– все три попадания; В – все три промаха;

С – хотя бы одно попадание; D – хотя бы один промах; M – не меньше двух попаданий; G – не более одного попадания.

2. Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет перво- сортной, равна 0,7, а на втором – 0,8. На первом станке изготовлены две детали, на втором – три. Найдите вероятность того, что все пять деталей будут первосортными.

3. Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Первый рабочий изгото- вил 40 изделий, второй – 35, третий – 25. Вероятность брака у первого рабо- чего 0,03, у второго – 0,02, у третьего – 0,01. Взятое наугад изделие оказалось бракованным. Определите вероятность того, что это изделие сделал второй рабочий.

4. В первой урне находятся 1 белый и 9 чёрных шаров, а во второй – 1 чёр- ный и 4 белых. Из каждой урны удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найдите вероятность того, что вынутый из третьей урны шар окажется белым.

5. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Уп- рощённая схема контроля качества признаёт пригодной стандартную про- дукцию с вероятностью 0,98, а нестандартную признаёт пригодной с веро- ятностью 0,05. Изделие по результатам упрощённого контроля признано пригодным. Какова вероятность того, что контроль не ошибся?

Занятие 3. Повторение испытаний. Формула Бернулли.