Решение показательных уравнений

Определение: Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.

Теорема: Если ахв, где а>0, а≠1, то х = в

Решение показательных неравенств

Определение: Показательным неравенством называется неравенство, в котором неизвестное содержится в показателе степени.

Теорема: Если ахв, где, а≠1, то

1) Если а>0, то х > в, то есть знак сохраняется

2) Если а<0, то х < в, то есть знак меняется

2. Примеры и упражнения

Пример 1: Упростить выражение:

1) Решение показательных уравнений - student2.ru

2) Решение показательных уравнений - student2.ru

Пример 2:Решить показательное уравнение:

4х-8=64

Решение:

4х-8=43

х-8=3

х=3+8

х=11

Ответ :х=11

Пример 3:Решить показательное уравнение:

3х+2+3х=90

Решение:

3х·32+3х=90 t=9

Пусть 3х=t,t>0 3х=9

t·32+t=90 3х=32

9t+t=90 х=2

10t=90 Ответ: х=2

t= Решение показательных уравнений - student2.ru

t=9

Пример 4: Решить показательное уравнение:

2х-1+2х=6

Решение:

Решение показательных уравнений - student2.ru +2х=6

Пусть 2х=t,t>0 t= Решение показательных уравнений - student2.ru

Решение показательных уравнений - student2.ru +t=6 t=4

Решение показательных уравнений - student2.ru +t=6 2х=4

Решение показательных уравнений - student2.ru 2х=22

1t+2t=12 х=2

3t=12 Ответ: х=2

Пример 5: Решить показательное уравнение:

3х+1-4·3х-2=69

Решение:

3х·31-4· Решение показательных уравнений - student2.ru =69

Пусть 3х=t,t>0 t= Решение показательных уравнений - student2.ru

t·31-4· Решение показательных уравнений - student2.ru =69 t=27

3t- Решение показательных уравнений - student2.ru =69 3х=27

Решение показательных уравнений - student2.ru 3х=33

27t-4t=621 х=3

23t=621 Ответ: х=3

Пример 6: Решить показательное уравнение:

9х +8·3х –9 = 0

Решение:

(32)х+8·3х –9 = 0

(3х)2+8·3х –9 = 0

Пусть 3х =t, t > 0

t2 +8· t –9 =0

а=1, b=8, с=-9

t1,2= Решение показательных уравнений - student2.ru = Решение показательных уравнений - student2.ru

t1= Решение показательных уравнений - student2.ru t2= Решение показательных уравнений - student2.ru

t1= 1 t2= -9, не уд., так как t>0

3х = 1

3х =30

х=0

Ответ: х=0

Пример 7: Решить показательное неравенство:

23х-5>16

Решение:

23х-5>24, т.к. 2>1, то знак сохраняем

3х-5>4

3х>4+5

3х>9

х> Решение показательных уравнений - student2.ru

х>3, Ответ: х>3

Пример 8:Решить показательное неравенство:

3х+2+3х-1<28

Решение:

3х·32+ Решение показательных уравнений - student2.ru <28

Пусть 3х=t,t>0 t< Решение показательных уравнений - student2.ru

t·32+ Решение показательных уравнений - student2.ru <28 t<3

9t+ Решение показательных уравнений - student2.ru <28 3х<3

Решение показательных уравнений - student2.ru 3х<31, т.к.3>1, то знак сохраняем

27t+t<84 х<1

28t<84 Ответ: х<1

Варианты контрольной работы

Задание 1: Упростить выражения

Вариант 1: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 2: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 3: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 4: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 5: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 6: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 7: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 8: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 9: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 10: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 11: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 12: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 13: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант14: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 15: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 16: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 17: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 18: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант1 9: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 20: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 21: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 22: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 23: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 24: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 25: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 26: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 27: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 28: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 29: Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 30: Решение показательных уравнений - student2.ru

Задание 2: Решить показательное уравнение

Вариант 1:

3х+1=1 3х-2· 3х-2=7

Вариант 2:

4х+516 9· 3х-1+ 3х=36

Вариант 3:

4х=1 3х+2+3х=810

Вариант 4:

3=3 4·3х+2+ 5·3х+1 -6·3х=5

Вариант 5:

3х=27 4х-3· 4х-2=13

Вариант 6:

3х·32=9 4· 3х-1+ 3х+1=117

Вариант 7:

17х=1 2х+1+2х-1=5

Вариант 8:

13х+1=13 2х+1+5·2х-2=104

Вариант 9:

4х=256 7х-7х-1=6
Вариант 10: 2=16   5х+1-3·5х-2=122

Вариант 11:

3х+4=81 10·5х-1+ 5х+1=7

Вариант 12:

173х-5=17 8·2х-1- 2х=48

Вариант 13:



32+х=37 3х+1-4·3х-2=69

Вариант14:

16=16 5х+1+5х+5х-1=31

Вариант 15:

4х-1=16 3х-3х-2=24

Вариант 16:

32х-1=1 4х+1+4х-2=260

Вариант 17:

5=125 3х+2-5· 3х=36

Вариант 18:

17х-1=17 7х+2-14· 7х=5

Вариант1 9:

43х-4=16 5х+1+5х-2=630

Вариант 20:

(5х)2=25 2х+4-2х=120

Вариант 21:

9х+1=81 9Х-4·3х-45=0

Вариант 22:

43х+1=64 25Х-6·5х+5=0

Вариант 23:

52х+7=5 4х+2х+3-20=0

Вариант 24:

14х+5=1 4Х-14·2х-32=0

Вариант 25:

(3х)3=27 2х-23-х=7

Вариант 26:

15х+2=225 2·5х+2-10·5х=8

Вариант 27:

2х+4=8 3х-3+5х-1=10

Вариант 28:

5=25 2х-2+2х-1+2х=14

Вариант 29:

4х=1 2·4х-5·2х+2=0

Вариант 30:

5=125 3х+2-5· 3х=36

Задание 3: Решить показательное неравенство

Вариант 1:8-2х< 64

Вариант 2: 31-х< Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 3: 22х+1>8

Вариант 4: ( Решение показательных уравнений - student2.ru )х+1< Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 5:42х+1>4

Вариант 6: 2х+4-2х>120

Вариант 7: ( Решение показательных уравнений - student2.ru )4+6х< Решение показательных уравнений - student2.ru 3х-3

Вариант 8: 8·2х-1- 2х>48

Вариант 9: 102+х< 100000

Вариант 10: 2х+1+2х-1<5

Вариант 11: 4· 3х-1+ 3х+1>117

Вариант 12: 5х+4< 625

Вариант 13: 3х+2+3х810

Вариант14: 9· 3х-1+ 3х<36

Вариант 15:10х+1< 1000000

Вариант 16: ( Решение показательных уравнений - student2.ru )6-3х> Решение показательных уравнений - student2.ru 2х-1

Вариант 17: (6)х-1>36х-1

Вариант 18: 7х-3< 49х

Вариант1 9: 103х-1>1000

Вариант 20: 2х-1< 16х+2

Вариант 21: 2·5х+2-10·5х< 8

Вариант 22: 52-х< 25

Вариант 23: 51-3х< Решение показательных уравнений - student2.ru

Вариант 24: 21-х>32х

Вариант 25:( Решение показательных уравнений - student2.ru )4-2х< Решение показательных уравнений - student2.ru х+1

Вариант 26: 7х+1>49х

Вариант 27: 3х-2· 3х-2>7

Вариант 28: 4х-3· 4х-2<13

Вариант 29: 32-х< 27

Вариант 30: 102х+1< Решение показательных уравнений - student2.ru

Содержание темы «Логарифмическая функция»

Решение показательных уравнений - student2.ru

Определение логарифма, свойства логарифмов

Определение логарифма числа, основное логарифмическое тождество. Свойства логарифмов. Обозначение десятичного и натурального логарифма;

ознакомиться с таблицей Брадиса. Десятичные и натуральные логарифмы .

Логарифмическая функция и ее график

Вид логарифмической функции, её основные свойства. Построение графика логарифмической функции с данным основанием.

Логарифмические уравнения

Виды логарифмических уравнений, основные приёмы решения

логарифмических уравнений

Логарифмические неравенства

Виды логарифмических неравенств, основные приёмы решения

логарифмических неравенств

Основные сведения из теории

2.1. Основные свойства логарифма

Определение: Логарифмом числа х по основанию а, где а>0, а≠1, называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить число х.

Определение: Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.

Обозначение: logах (логарифм числа х по основанию а)

а - основание логарифма

logах=в, то х=ав

Основные свойства:

1) logаа =1

2) logа1=0

3) а logах=х (х>0,a>0, а≠1, основное логарифмическое тождество)

Теорема: Пусть а>0, а≠1, х>0, х1>0, х2>0, р- любое действительное число. Тогда справедливы формулы:

4) logах1+ logах2= logа1·х2)

5) logах1-logах2= logа( Решение показательных уравнений - student2.ru )

6) logахр=р·logах

Логарифмическая функция,

Её свойства и график

Определение: Функцию у= logах, где а>0, а≠1, называют логарифмической функцией.

Свойство 1: Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел.

Свойство 2: Множество значений логарифмической функции – множество всех R действительных чисел.

Свойство 3: Логарифмическая функция является возрастающей, если а>1, и убывающей если 0<a<1.

       
  Решение показательных уравнений - student2.ru
    Решение показательных уравнений - student2.ru
 


Наши рекомендации