Тема 4. ОБОБЩАЮЩИЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ
Обобщающие статистические показатели получают в результате сводки и обобщения данных статистического наблюдения. Последние могут быть представлены абсолютными, относительными и средними величинами.
1. АБСОЛЮТНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ характеризуют абсолютные размеры изучаемых статистикой явлений и процессов в конкретных условиях места и времени: их массу, площадь, объём, протяжённость; а также могут представлять объём совокупности (т.е. число составляющих её единиц). Такие показатели всегда являются именованными числами, т.е. имеют определённую единицу измерения, они выражаются в натуральных (тонны, килограммы, мили, километры, штуки, литры и т. д.), стоимостных (рубли, доллары и др.) и трудовых единицах измерения (человеко-дни, человеко-часы, нормо-часы).
2. ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ ПОКАЗАТЕЛЬ - это показатель, полученный путём сравнения статистических показателей в пространстве (между объектами), во времени (по одному и тому же объекту за разные отрезки времени) или путём сопоставления показателей разных свойств изучаемого объекта. Другими словами, - это частное от деления двух статистических показателей.
Относительные показатели могут выражаться в коэффициентах, процентах, промилле, продецимилле. Относительный показатель, полученный путём сопоставления разноимённых величин, должен быть именованным.
Все используемые на практике относительные статистические показатели можно подразделить на следующие виды: 1) планового задания, выполнения плана (договорных обязательств); 2) структуры; 3) динамики; 4) координации; 5) сравнения; 6) интенсивности и уровня развития и др.
1. Относительные показатели планового задания (ОППЗ) и выполнения плана (ОПВП) (договорных обязательств – ОПДО) используются для перспективного планирования деятельности предприятий и сравнения реально достигнутых результатов с намеченными ранее. 
,
.
2. Относительный показатель структуры (ОПС) - соотношение структурных частей изучаемого объекта и их целого, характеризует состав совокупности: 
.
3. Относительный показатель динамики (ОПД) - отношение уровня исследуемого процесса (явления) за данный период времени (по состоянию на данный момент времени) и уровня этого явления или процесса в прошлом:
.
4. Относительный показатель координации (ОПК) - соотношение двух структурных частей изучаемого объекта, также характеризует состав совокупности, но более наглядно, нежели показатели структуры:
.
5. Относительный показатель интенсивности (ОПИ) или уровня социально-экономического развития - соотношение разноимённых, но связанных между собой абсолютных величин, показывает насколько широко распространено изучаемое явление в той или иной среде, либо сколько единиц одной совокупности приходится на единицу другой совокупности. ОПИ – всегда величина именованная:
3. СУЩНОСТЬ И ЗНАЧЕНИЕ СРЕДНИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Наиболее распространённой формой статистических показателей в статистических исследованиях является средняя величина.
· СРЕДНЯЯ ВЕЛИЧИНА – это обобщённая количественная характеристика признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и даёт обобщённую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков.
Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности могут колебаться в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. А при осреднении случайные колебания признака в силу действия закона больших чисел погашаются, уравновешиваются, и в средней величине признака белее отчётливо отражается основная линия развития, необходимость, закономерность.
Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции, т.е. замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность. Но средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень изучаемого признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. В таком случае метод средних должен сочетаться с методом группировок: если совокупность неоднородна – общие средние должны быть заменены или дополнены групповыми, т.е. средними величинами, рассчитанными по качественно однородным группам.
Определить среднюю во многих случаях можно через ИСХОДНОЕ СООТНОШЕНИЕ СРЕДНЕЙ (ИСС) или её логическую формулу:
Для каждого показателя, используемого в социально-экономическом анализе можно составить только одно истинное исходное соотношение для расчёта средней.
От того, в каком виде представлены исходные данные для расчёта средней, зависит, каким именно образом будет реализовано её исходное соотношение; для этого потребуется один из следующих видов средней величины: 1) средняя арифметическая (К = 1); 2) средняя гармоническая (К = - 1); 3) средняя геометрическая (К = 0); 4) средняя квадратическая (К = 2), кубическая (К = 3) и т.д. (табл. 4).
Перечисленные средние объединяются в формуле СРЕДНЕЙ СТЕПЕННОЙ (при различной величине К): 
.
Таблица 4 - Виды средних величин
| Вид средней | Простые (невзвешенные) | Взвешенные |
| Средняя гармоническая |  |  , где W=xf |
| Средняя арифметическая |  |  |
| Средняя геометрическая |  |  |
| Средняя квадратическая |  |  |
Средняя арифметическая является наиболее распространённой формой средних величин, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой и взвешенной.
СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОСТАЯ используется в тех случаях, когда расчёт осуществляется по индивидуальным (несгруппированным) данным: , где x – индивидуальные значения признака, n – объём совокупности.
СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ВЗВЕШЕННАЯ применяется для расчёта средней величины признака по сгруппированным данным (когда отдельные значения признака повторяются несколько раз) или по вариационным рядам распределения, которые могут быть дискретными и интервальными.
Средняя арифметическая взвешенная по дискретному ряду распределения определяется по формуле: , где x – отдельные значения признака; f – число единиц, имеющих данное значение признака (число единиц в каждой группе).
При расчёте средней по интервальному ряду (с равными интервалами) сначала вычисляют середины интервалов (переходят к дискретному ряду), а дальнейший расчёт осуществляется обычным методом определения средней арифметической взвешенной.
Используя свойства средней арифметической, можно применить упрощённый способ её расчёта, называемый "способом моментов" или отсчёта от условного нуля:
, где А – варианта с наибольшей частотой или середина одного из центральных интервалов, имеющего как правило наибольший вес (наибольшую частоту); d – шаг или разница между любыми двумя соседними вариантами (величина интервала); m’ – момент первого порядка, т.е. средняя из значений (х – А) / d.
УПРАЖНЕНИЯ
Задача 4.1. Имеются следующие данные о добыче нефти (включая газовый конденсат) по федеральным округам России в 2010 – 2015 гг.(тыс. т).
| Российская Федерация - всего | ||||||
| Северо-Западный ФО | ||||||
| Южный ФО | ||||||
| Северо-Кавказский ФО | ||||||
| Приволжский ФО | ||||||
| Уральский ФО | ||||||
| Сибирский ФО | ||||||
| Дальневосточный ФО | ||||||
| Крымский ФО | - | - | - | - |
Вычислите абсолютные показатели добычи нефти (включая газовый конденсат) по России в целом, относительные показатели структуры и относительные показатели динамики добычи нефти (по любому из федеральных округов или России в целом) с постоянной и переменной базой сравнения. Проверьте их взаимосвязь. В качестве постоянной базы сравнения принять уровень 2010 года. При расчете показателей динамики с переменной базой сравнения каждый последующий уровень сравнивается с предыдущим смежным.
Сформулируйте выводы по результатам выполнения задания.
Результаты расчетов относительных показателей структуры (в %) представьте в следующей таблице.
| Российская Федерация - всего | ||||||
| в том числе | ||||||
| Северо-Западный ФО | ||||||
| Южный ФО | ||||||
| Северо-Кавказский ФО | ||||||
| Приволжский ФО | ||||||
| Уральский ФО | ||||||
| Сибирский ФО | ||||||
| Дальневосточный ФО | ||||||
| Крымский ФО | - | - | - | - |
Результаты расчетов относительных показателей динамики представьте в следующей таблице.
| Год | ||||||
| Добыча нефти (включая газовый конденсат), тыс. т | ||||||
| Цепной темп роста, % | - | |||||
| Цепной темп прироста, % | - | |||||
| Базисный темп роста, % | ||||||
| Базисный темп прироста, % |
Задача 4.2. По данным о добыче природного газа (в 1000 м3) на одном из предприятий рассчитайте относительные показатели. Сформулируйте выводы.
| Объем добычи газа, 1000 м3 | Относительный показатель, % | Величина | ОП – 100% | |||
| Фактически в предыдущем (базисном) году | В текущем (отчетном) году | планового задания (ОППЗ) | ||||
| по плану | фактически | выполнения плана (ОПВП) | ||||
| динамики (ОПД) |
Задача 4.3. По данным о составе фонда скважин определите относительные показатели структуры (ОПС) и координации (ОПК). Сформулируйте выводы.
| Наименование показателя | Базисный год | Отчетный | ||
| шт. | в % к итогу (ОПС) | шт. | в % к итогу (ОПС) | |
| Эксплуатационный фонд скважин - всего, | ||||
| в т.ч. | ||||
| действующие | ||||
| бездействующие | ||||
| Соотношение действующего и бездействующего фонда скважин (ОПК), раз | - | - |
Задача 4.4. По данным таблицы рассчитайте относительные показатели интенсивности (уровня развития), используя следующие данные по РФ за 2015 г. Сформулируйте выводы.
| Наименование показателя | Величина | |
| Абсолютные показатели: | ||
| Среднегодовая численность населения, тыс. чел. | 146406,0 | |
| Среднегодовая численность занятых в экономике, тыс. чел. | 68389,1 | |
| Валовой региональный продукт, млрд. р. | 58900,7 | |
| Основные фонды в экономике, млрд. р. | ||
| Объем отгруженных товаров собственного производства по видам экономической деятельности, млрд. руб.: | ||
| добыча полезных ископаемых | 11170,6 | |
| обрабатывающие производства | 33087,2 | |
| производство и распределение электроэнергии, газа и воды | 4833,4 | |
| Относительные показатели интенсивности (уровня развития): | ||
| Уровень занятости в % к численности населения | ||
| Объем отгруженных товаров собственного производства на душу населения по видам экономической деятельности (указать единицы измерения самостоятельно): | ||
| добыча полезных ископаемых, | ||
| обрабатывающие производства, | ||
| производство и распределение электроэнергии, газа и воды, | ||
| Валовой региональный продукт на душу населения, (указать единицы измерения самостоятельно) | ||
| Фондовооруженность занятых в экономике, (указать единицы измерения самостоятельно) |
Задача 4.5. Используя значения признаков по участкам месторождений, определите средние показатели по месторождению в целом. Формулы запишите, используя буквенные обозначения признаков. Укажите виды использованных средних величин.
| Участок | Действующий среднегодовой фонд скважин, шт. | Коэффициент эксплуатации скважин, д. ед. | Средний дебит одной скважины, т/сут. | Среднее время работы одной скважины за год, сут. | Среднегодовая выработка одного работника, т/чел. |
| n | k | q | t | w | |
| 0,783 | |||||
| 0,856 | |||||
| 0,987 | |||||
| 0,965 | |||||
| Средняя |
Тема 5. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ
ВАРИАЦИЯ – (в переводе с лат. – изменение, колеблемость, различие) это различие значений какого-либо признака у разных единиц совокупности в один и тот же период или момент времени.
Вариация порождается комплексом условий, действующих на совокупность и её единицы, и присуща всем без исключения явлениям природы и общества (за исключением законодательно закреплённых нормативных значений отдельных социальных признаков).
Измерение вариации даёт возможность оценить степень влияния на изучаемый признак других варьирующих признаков. Например, установить, какие факторы и в какой степени влияют на смертность населения, финансовое положение предприятий, урожайность пшеницы и т. п.
Для измерения вариации признака применяются различные обобщающие показатели.
1. Размах колебаний (вариации) (R) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности: 
.
2. Формулы для расчёта среднего линейного отклонения, дисперсии, среднего квадратического отклонения зависят от того, в каком виде представлены данные (сгруппированы они или нет) (таблица 6).
Таблица 6 – Показатели вариации
| Показатель | Для первичного ряда (по несгруппированным данным) | Для вариационного ряда (по сгруппированным данным) |
| Среднее линейное отклонение |  |  |
| Дисперсия |  |  |
| Среднее квадратическое отклонение |  |  |
Качественные (альтернативные) признаки, так же как и количественные варьируют (изменяются). Вариация альтернативного признака оценивается с помощью показателя дисперсии, определяемого по формуле: 
, где p – доля единиц, обладающих данным признаком; q – доля единиц, не обладающих данным признаком.
При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различной средней арифметической используются относительные показатели рассеивания (вариации). К относительным показателям вариации относятся:
1) коэффициент осцилляции 
;
2) относительное линейное отклонение 
;
3) коэффициент вариации 
, используется для оценки типичности средней величины признака. Совокупность считается однородной, а средняя типичной для данной совокупности, если коэффициент вариации не больше 33 %.
Для оценки влияния различных факторов, определяющих колеблемость индивидуальных значений признака, используется разложение общей дисперсии на составляющие: межгрупповую дисперсию и среднюю дисперсию из внутригрупповых.
Общая дисперсия рассчитывается по всей совокупности и характеризует вариацию признака, обусловленную влиянием всех факторов, действующих в совокупности:
 - простая дисперсия; |  - взвешенная дисперсия |
Межгрупповая дисперсия (является мерой колеблемости частных или групповых средних вокруг общей средней) характеризует вариацию признака, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки: 
.
Вариацию признака под влиянием прочих факторов (помимо признака-фактора, положенного в основу группировки), действующих в совокупности, характеризует средняя дисперсия из внутригрупповых (частных) дисперсий: 
.
Внутригрупповая (частная) дисперсия: 
, отражает вариацию признака только за счёт условий и причин, действующих внутри группы.
Между названными видами дисперсий существует определённое соотношение, которое называют ЗАКОНОМ (правилом) сложения дисперсий: 
.
Отношение межгрупповой дисперсии к общей даст коэффициент детерминации 
, который характеризует долю вариации результативного признака, обусловленную признаком-фактором, положенным в основу группировки, в общей вариации признака.
Показатель, полученный как корень квадратный из коэффициента детерминации, называется эмпирическим корреляционным отношением: 
.
Эмпирическое корреляционное соотношение характеризует тесноту связи между результативным и факторным признаками. Чем ближе эмпирическое корреляционное отношение к 1, тем теснее связь между признаками.
УПРАЖНЕНИЯ
Задача 5.1 Выработка одного рабочего Y (тыс. руб.) и энерговооруженность труда X (кВт·ч) в одном из цехов предприятия характеризуются следующими данными:
| X | ||||||||||
| Y | 6,3 | 3,6 | 7,5 | 8,5 | 12,5 | 6,2 | 12,6 | 10,7 | 2,6 | 7,7 |
Вычислите показатели вариации выработки Y и энерговооруженности труда X: размах, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
При расчете общей дисперсии воспользуйтесь методом моментов:
для Х: 
; для Y: 
,
где n – число наблюдений.
Среднее квадратическое отклонение можно вычислить, как квадратный корень из дисперсии: для Х 
, для Y 
.
Постройте аналитическую группировку исходных данных и вычислите межгрупповую дисперсию, среднюю дисперсию из внутригрупповых, коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение для показателя выработки. Проверьте правило сложения дисперсий.
Сформулируйте выводы о характере вариации изучаемых показателей.
| Номер наблюдения | Проницаемость нефти (х) | Насыщенность породы (у) | х2 | у2 |
| Итого | ||||
| Средняя | ||||
| Размах | - | - | ||
| Дисперсия | - | - | ||
| СКО | - | - | ||
| Коэфф. вариации | - | - |
Задача 5.2. Вычислите показатели вариации для количества израсходованных долот Y и механической скорости проходки X: размах, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Расчеты оформите в таблице по аналогии с заданием 5.1.
| X | ||||||||||
| Y |
Задача 5.3. Вычислите показатели вариации для скорости бурения в твердых породах Y (м/час) и нагрузки на долото X (атм.): размах, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Расчеты оформите в таблице по аналогии с заданием 5.1.
| X | 10,5 | 11,5 | 12,0 | 12,5 | 13,5 | |||
| Y | 3,5 | 2,5 | 2,5 | 1,5 | 0,5 | 0,5 |