По курсу «математика» (первый семестр)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

ПО КУРСУ «МАТЕМАТИКА» (ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР)

Тула 2012

Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры математического моделирования механико-математического факультета,

протокол № 11 от "21" июня 2011 г.

Данные методические указания написаны в помощь студентам технических специальностей для самостоятельной работы в первом семестре. Рассмотрены решения типовых задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, введению в математический анализ, а также даны необходимые теоретические сведения и ссылки на литературу.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1.

Теоретические сведения.

В прямоугольной декартовой системе координат Oxyz положение любой точки задается тремя числами – координатами : по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru (рисунок 1).

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru

Рисунок 1.

Расстояние между двумя точками по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru определяется по формуле

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . (1)

При решении задач аналитической геометрии на плоскости необходимы следующие сведения о прямой линии:

1) если точка М(x; y) делит отрезок М1М2 11; у1) и М22; у2)) в отношении λ, то координаты этой точки выражаются формулами

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , (2)

если же точка М(x; y) - середина отрезка М1М2, то

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ; (3)

2) уравнение прямой, проходящей через точку М1(x1; y1) и имеющей данный угловой коэффициент k, записывается в виде

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ; (4)

3) уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(x1; y1) и М2(x2; y2), имеет вид

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , при этом по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ; (5)

4) острый угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами k1 и k2 определяется по формуле

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , (6)

при этом условие параллельности прямых имеет вид k1=k2, а условие перпендикулярности по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ; (7)

5) если прямая на плоскости задана общим уравнением Ах+Ву+С=0, то по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru - ее угловой коэффициент;

6) если в общем уравнении прямой поделить все члены на по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , получим уравнение прямой в отрезках:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , где по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ; (8)

7) точка пересечения двух прямых А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0 определяется из решения системы уравнений

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . (9)

Уравнение окружности с центром в точке по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и радиусом R имеет вид
по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . (10)

Пример выполнения задания.

Даны вершины треугольника АВС: А(– 4;8), В(5; – 4), С(10;6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD в общем виде и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр.

Решение:

1) Расстояние d между двумя точками на плоскости определяется по формуле (1), в которую подставлены значения координат точек А и В (положим по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ), тогда

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

2) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки имеет вид (5):

Подставив в (5) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ,

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , или по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru (АВ).

Для нахождения углового коэффициента kAB прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно y: по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . Отсюда по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . Подставив в формулу (5) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС: по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ,

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru или x + 7y – 52 = 0 (AC).

Отсюда по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

3) Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k1 и k2, определяется по формуле (6). Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (6), подставив в нее по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ,

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru рад.

4) Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых связаны соотношением (7), поэтому

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном угловым коэффициентом k направлении, имеет вид (4). Подставив в (4) координаты точки С и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , получим уравнение высоты СD:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru (CD).

Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (СD):

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , откуда х = 2, y = 0, то есть D (2;0).

Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, находим:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

5) Так как СD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулой (3) деления отрезка пополам, получим:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Следовательно, Е (6; 3) и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . Используя формулу (10), получаем уравнение искомой окружности: (х – 6)2+( y – 3)2 = 25.

Задача 2.

Теоретические сведения.

Если известны начало вектора по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и конец по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , то координаты вектора по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru находятся по формулам

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , (11)

а его длина определяется выражением

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . (12)

Вектор по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru с координатами по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru может быть представлен разложением по ортам в виде

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . (13)

Если α, β, γ – углы, которые вектор по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru образует с положительными направлениями осей координат, то cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru (рисунок 2). Тогда имеют место соотношения

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Для векторов по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru вводятся операции сложения и умножения на число такие, что
по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ,

где по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru − любое число.

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru Рисунок 2.

Скалярным произведением двух векторов по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru между ними, по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru или, если векторы заданы своими координатами, то

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . (14)

Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называют коллинеарными. Признак коллинеарности векторов по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru является пропорциональность их координат:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . (15)

Если векторы по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru взаимно перпендикулярны, то по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . Угол между векторами по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru определяется соотношением:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . (16)

Уравнение плоскости, проходящей через точку по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru перпендикулярно вектору по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , имеет вид

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . (17)

Пример выполнения задания.

Даны координаты трех точек: А(3; 0; –5), В(6; 2; 1), С(12; –12; 3). Требуется: 1) записать векторы по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Решение:

1) Найдем координаты вектора по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , подставив в формулу (11) координаты точек А и В, и запишем разложение этого вектора по ортам (13):

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Подобным образом

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Модули векторов по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru найдем, подставляя их координаты в формулу (12):

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

2) Найдем косинус угла φ между векторами по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . Для этого вычислим их скалярное произведение по формуле (14):

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Тогда по формуле (16)

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , φ ≈ 64˚37΄ ≈1,13 рад.

3) По условию задачи искомая плоскость проходит через точку С(12; –12; 3) перпендикулярно вектору по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . Подставляя в (17) А= 3, В= 2, С= 6, х0= 12, у0= −12, z0= 3, получим:

3(х – 12) +2 (y + 12) + 6(z – 3) = 0,

или 3х + 2у + 6z – 30 = 0 – искомое уравнение плоскости.

Задача 3.

Теоретические сведения.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Условием компланарности трех векторов по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru является равенство нулю их смешанного произведения:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . (18)

Три вектора образуют базис в том случае, если они некомпланарны.

Если для векторов по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru выполняется условие по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , то они образуют базис, и любой четвертый вектор по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru может быть представлен разложением по этому базису в виде

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , (19)

где α, β, γ – координаты вектора по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru в базисе, образованном векторами по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Координаты α, β, γ находятся из системы уравнений:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . (20)

Пример выполнения задания.

Показать, что векторы по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru (3; 1; 4), по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru (2; 1; –1), по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru (1; –1; 5) образуют базис трехмерного пространства. Найти координаты вектора по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru (5; 0; 3) в этом базисе.

Решение:

Вычислим смешанное произведение векторов по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru :

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Так как смешанное произведение отлично от нуля, то векторы некомпланарны и образуют базис. Координаты вектора по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru в этом базисе найдем, разложив его по векторам по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru следующим образом:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ,

а координаты вектора по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru в новом базисе найдем из системы уравнений (20)

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru или по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru

Решим эту систему для заданных векторов методом Гаусса.

Поменяем местами первое и второе уравнения

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

После этого умножим первое уравнение на (–3) и сложим со вторым. Далее умножим первое уравнение на (–4) и сложим с третьим. Получим:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Затем умножаем второе уравнение на (−5) и складываем с третьим:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Из последнего уравнения имеем γ= 2. Подставляем это значение во второе уравнение, получаем β= 3 и, наконец, из первого уравнения находим α= –1.

Таким образом, подставив в уравнение (19) координаты вектора по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , получим

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Задача 4.

Теоретические сведения.

Неоднородная система трех уравнений с тремя неизвестными в общем случае имеет вид

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru

и может быть записана в матричном виде

А·Х = Н, (21)

где по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru -матрица коэффициентов при неизвестных,

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru - матрица-столбец неизвестных,

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru матрица-столбец свободных членов.

Если матрица А – невырожденная, то есть имеет определитель, отличный от нуля, то существует матрица А-1, обратная к А, так что А-1·А=Е (Е - единичная матрица). Умножим обе части уравнения (22) на А-1 и получим

А-1·А·Х =А-1· Н,

или

Х =А-1· Н, (23)

поскольку А-1·А·Х=Е·Х=Х.

Равенство (23) является решением системы уравнений (22).

Матрица, обратная к невырожденной матрице А, находится по формуле

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru, (24)

где Аіј (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) – алгебраическое дополнение элемента аij, которое является произведением (-1)i+j на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиваем i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А; Δ – определитель матрицы А.

Пример выполнения задания.

Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы: по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru

Решение:

Выпишем для данной системы уравнений матрицу коэффициентов при неизвестных А и столбец свободных членов Н:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Вычислим определитель Δ и алгебраические дополнения Аіј элементов матрицы А:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ,

следовательно, матрица А имеет обратную матрицу А-1.

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ,

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru

Тогда по формуле (24) обратная матрица равна

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

По формуле (23) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Отсюда х1= 3, х2= 0, х3= −2.

Задача 5.

Теоретические сведения.

Число A называют пределом функции y=f(x) в точке a , если эта функция определена в некоторой окрестности точки a , за исключением, быть может, самой точки a , и для каждого e>0 найдется такое d>0, что для всех x, удовлетворяющих условию по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , выполняется неравенство по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru :

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru

Вычисление пределов арифметических выражений по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru по пределам функций по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , из которых они составлены, не всегда возможно. В этих случаях говорят, что возникают неопределенности следующих видов:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Для нахождения пределов таких неопределенных выражений нужно

учитывать конкретный вид функции по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru Например,

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ; (25)

предел отношения двух многочленов по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ;

первый замечательный предел по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ; (26)

второй замечательный предел по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . (27)

Величина по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru называется бесконечно малой при по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , если по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . Две бесконечно малые величины называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1, то есть по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , если по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . Под знаком предела любая бесконечно малая величина может быть заменена на эквивалентную ей. Приведем таблицу эквивалентных бесконечно малых при по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru величин:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ,

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . (28)

Пример выполнения задания.

Вычислить пределы: а) по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , б) по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , в) по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ,г) по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Решение:

а) Подстановка предельного значения аргумента х=-3 приводит к неопределенному выражению вида по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель (х+3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (х+3) отличен от нуля при х→ −3:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

б) При х→ ∞ выражение по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru дает неопределенность вида (∞ − ∞). Для ее устранения умножим и разделим это выражение на по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , после чего разделим числитель и знаменатель полученной дроби на х , учитывая формулу (25):

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

в) При по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru получим неопределенность по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . Обозначим arctg5x = y. Тогда 5х=tgy и y → 0 при х → 0. Применяя свойства пределов и формулу (26), имеем:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Эту задачу можно решить, используя эквивалентные замены бесконечно малых величин (28). Поскольку при по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru эквивалентны по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , можно записать

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

г) При по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru выражение по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru является неопределенностью вида по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой (при х → ∞) величины; после чего применим формулу второго замечательного предела (27):

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Основная литература

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры : Учебник для вузов / Д.В.Беклемишев .— 9-е изд., испр. — М.: Физматлит, 2002 .— 376с.

2. Ильин В.А., Аналитическая геометрия : учебник для вузов / В.А.Ильин, Э.Г.Позняк .— 6-е изд.,стер. — М. : Физматлит, 2002 .— 240с.

3. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии: учебное пособие для втузов / под ред. Н.В.Ефимова .— 17-е изд., стер. — СПб. : Профессия, 2004 .— 200с.

4. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты : учеб. пособие / Л. А. Кузнецов .— 9-е изд., стер .— СПб. [и др.] : Лань, 2007 .— 240 с.

5. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа : учеб. пособие для вузов / А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович .— 14-е изд., стер. — СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2008 .— 736 с.
6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления : учеб. пособие для втузов.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

ПО КУРСУ «МАТЕМАТИКА» (ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР)

Тула 2012

Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры математического моделирования механико-математического факультета,

протокол № 11 от "21" июня 2011 г.

Данные методические указания написаны в помощь студентам технических специальностей для самостоятельной работы в первом семестре. Рассмотрены решения типовых задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, введению в математический анализ, а также даны необходимые теоретические сведения и ссылки на литературу.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1.

Теоретические сведения.

В прямоугольной декартовой системе координат Oxyz положение любой точки задается тремя числами – координатами : по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru (рисунок 1).

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru

Рисунок 1.

Расстояние между двумя точками по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru определяется по формуле

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . (1)

При решении задач аналитической геометрии на плоскости необходимы следующие сведения о прямой линии:

1) если точка М(x; y) делит отрезок М1М2 11; у1) и М22; у2)) в отношении λ, то координаты этой точки выражаются формулами

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , (2)

если же точка М(x; y) - середина отрезка М1М2, то

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ; (3)

2) уравнение прямой, проходящей через точку М1(x1; y1) и имеющей данный угловой коэффициент k, записывается в виде

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ; (4)

3) уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(x1; y1) и М2(x2; y2), имеет вид

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , при этом по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ; (5)

4) острый угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами k1 и k2 определяется по формуле

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , (6)

при этом условие параллельности прямых имеет вид k1=k2, а условие перпендикулярности по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ; (7)

5) если прямая на плоскости задана общим уравнением Ах+Ву+С=0, то по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru - ее угловой коэффициент;

6) если в общем уравнении прямой поделить все члены на по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , получим уравнение прямой в отрезках:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , где по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ; (8)

7) точка пересечения двух прямых А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0 определяется из решения системы уравнений

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . (9)

Уравнение окружности с центром в точке по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и радиусом R имеет вид
по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . (10)

Пример выполнения задания.

Даны вершины треугольника АВС: А(– 4;8), В(5; – 4), С(10;6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD в общем виде и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр.

Решение:

1) Расстояние d между двумя точками на плоскости определяется по формуле (1), в которую подставлены значения координат точек А и В (положим по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ), тогда

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

2) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки имеет вид (5):

Подставив в (5) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ,

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , или по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru (АВ).

Для нахождения углового коэффициента kAB прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно y: по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . Отсюда по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . Подставив в формулу (5) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС: по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ,

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru или x + 7y – 52 = 0 (AC).

Отсюда по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

3) Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k1 и k2, определяется по формуле (6). Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (6), подставив в нее по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ,

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru рад.

4) Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых связаны соотношением (7), поэтому

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном угловым коэффициентом k направлении, имеет вид (4). Подставив в (4) координаты точки С и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , получим уравнение высоты СD:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru (CD).

Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (СD):

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , откуда х = 2, y = 0, то есть D (2;0).

Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, находим:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

5) Так как СD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулой (3) деления отрезка пополам, получим:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Следовательно, Е (6; 3) и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . Используя формулу (10), получаем уравнение искомой окружности: (х – 6)2+( y – 3)2 = 25.

Задача 2.

Теоретические сведения.

Если известны начало вектора по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и конец по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , то координаты вектора по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru находятся по формулам

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , (11)

а его длина определяется выражением

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . (12)

Вектор по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru с координатами по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru может быть представлен разложением по ортам в виде

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . (13)

Если α, β, γ – углы, которые вектор по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru образует с положительными направлениями осей координат, то cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru (рисунок 2). Тогда имеют место соотношения

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Для векторов по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru вводятся операции сложения и умножения на число такие, что
по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ,

где по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru − любое число.

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru Рисунок 2.

Скалярным произведением двух векторов по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru между ними, по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru или, если векторы заданы своими координатами, то

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . (14)

Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называют коллинеарными. Признак коллинеарности векторов по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru является пропорциональность их координат:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . (15)

Если векторы по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru взаимно перпендикулярны, то по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . Угол между векторами по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru определяется соотношением:

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . (16)

Уравнение плоскости, проходящей через точку по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru перпендикулярно вектору по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , имеет вид

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . (17)

Пример выполнения задания.

Даны координаты трех точек: А(3; 0; –5), В(6; 2; 1), С(12; –12; 3). Требуется: 1) записать векторы по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Решение:

1) Найдем координаты вектора по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , подставив в формулу (11) координаты точек А и В, и запишем разложение этого вектора по ортам (13):

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Подобным образом

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Модули векторов по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru найдем, подставляя их координаты в формулу (12):

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

2) Найдем косинус угла φ между векторами по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru и по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . Для этого вычислим их скалярное произведение по формуле (14):

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru .

Тогда по формуле (16)

по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru , φ ≈ 64˚37΄ ≈1,13 рад.

3) По условию задачи искомая плоскость проходит через точку С(12; –12; 3) перпендикулярно вектору по курсу «математика» (первый семестр) - student2.ru . Подставляя в (17) А= 3, В= 2, С= 6, х0= 12, у0= −12, z0= 3, получим:

3(х – 12) +2 (y + 12) + 6(z – 3) = 0,

или 3х + 2у + 6z – 30 = 0 – искомое уравнение плоскост

Наши рекомендации