По курсу «математика» (первый семестр)
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
ПО КУРСУ «МАТЕМАТИКА» (ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР)
Тула 2012
Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры математического моделирования механико-математического факультета,
протокол № 11 от "21" июня 2011 г.
Данные методические указания написаны в помощь студентам технических специальностей для самостоятельной работы в первом семестре. Рассмотрены решения типовых задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, введению в математический анализ, а также даны необходимые теоретические сведения и ссылки на литературу.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1.
Теоретические сведения.
В прямоугольной декартовой системе координат Oxyz положение любой точки задается тремя числами – координатами : (рисунок 1).
Рисунок 1.
Расстояние между двумя точками и определяется по формуле
. (1)
При решении задач аналитической геометрии на плоскости необходимы следующие сведения о прямой линии:
1) если точка М(x; y) делит отрезок М1М2 (М1(х1; у1) и М2(х2; у2)) в отношении λ, то координаты этой точки выражаются формулами
, , (2)
если же точка М(x; y) - середина отрезка М1М2, то
, ; (3)
2) уравнение прямой, проходящей через точку М1(x1; y1) и имеющей данный угловой коэффициент k, записывается в виде
; (4)
3) уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(x1; y1) и М2(x2; y2), имеет вид
, при этом ; (5)
4) острый угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами k1 и k2 определяется по формуле
, (6)
при этом условие параллельности прямых имеет вид k1=k2, а условие перпендикулярности ; (7)
5) если прямая на плоскости задана общим уравнением Ах+Ву+С=0, то - ее угловой коэффициент;
6) если в общем уравнении прямой поделить все члены на , получим уравнение прямой в отрезках:
, где , ; (8)
7) точка пересечения двух прямых А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0 определяется из решения системы уравнений
. (9)
Уравнение окружности с центром в точке и радиусом R имеет вид
. (10)
Пример выполнения задания.
Даны вершины треугольника АВС: А(– 4;8), В(5; – 4), С(10;6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD в общем виде и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр. |
Решение:
1) Расстояние d между двумя точками на плоскости определяется по формуле (1), в которую подставлены значения координат точек А и В (положим ), тогда
.
2) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки имеет вид (5):
Подставив в (5) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:
, , ,
, или (АВ).
Для нахождения углового коэффициента kAB прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно y: . Отсюда . Подставив в формулу (5) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС: , , ,
или x + 7y – 52 = 0 (AC).
Отсюда .
3) Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k1 и k2, определяется по формуле (6). Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (6), подставив в нее , .
,
рад.
4) Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых связаны соотношением (7), поэтому
.
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном угловым коэффициентом k направлении, имеет вид (4). Подставив в (4) координаты точки С и , получим уравнение высоты СD:
, , (CD).
Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (СD):
, откуда х = 2, y = 0, то есть D (2;0).
Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, находим:
.
5) Так как СD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулой (3) деления отрезка пополам, получим:
, .
Следовательно, Е (6; 3) и . Используя формулу (10), получаем уравнение искомой окружности: (х – 6)2+( y – 3)2 = 25.
Задача 2.
Теоретические сведения.
Если известны начало вектора и конец , то координаты вектора находятся по формулам
, , , (11)
а его длина определяется выражением
. (12)
Вектор с координатами может быть представлен разложением по ортам в виде
. (13)
Если α, β, γ – углы, которые вектор образует с положительными направлениями осей координат, то cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора (рисунок 2). Тогда имеют место соотношения
, , , .
Для векторов и вводятся операции сложения и умножения на число такие, что
и ,
где − любое число.
Рисунок 2.
Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, или, если векторы заданы своими координатами, то
. (14)
Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называют коллинеарными. Признак коллинеарности векторов и является пропорциональность их координат:
. (15)
Если векторы и взаимно перпендикулярны, то . Угол между векторами и определяется соотношением:
. (16)
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид
. (17)
Пример выполнения задания.
Даны координаты трех точек: А(3; 0; –5), В(6; 2; 1), С(12; –12; 3). Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору . |
Решение:
1) Найдем координаты вектора , подставив в формулу (11) координаты точек А и В, и запишем разложение этого вектора по ортам (13):
.
Подобным образом
.
Модули векторов и найдем, подставляя их координаты в формулу (12):
, .
2) Найдем косинус угла φ между векторами и . Для этого вычислим их скалярное произведение по формуле (14):
.
Тогда по формуле (16)
, φ ≈ 64˚37΄ ≈1,13 рад.
3) По условию задачи искомая плоскость проходит через точку С(12; –12; 3) перпендикулярно вектору . Подставляя в (17) А= 3, В= 2, С= 6, х0= 12, у0= −12, z0= 3, получим:
3(х – 12) +2 (y + 12) + 6(z – 3) = 0,
или 3х + 2у + 6z – 30 = 0 – искомое уравнение плоскости.
Задача 3.
Теоретические сведения.
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Условием компланарности трех векторов , , является равенство нулю их смешанного произведения:
. (18)
Три вектора образуют базис в том случае, если они некомпланарны.
Если для векторов выполняется условие , то они образуют базис, и любой четвертый вектор может быть представлен разложением по этому базису в виде
, (19)
где α, β, γ – координаты вектора в базисе, образованном векторами .
Координаты α, β, γ находятся из системы уравнений:
. (20)
Пример выполнения задания.
Показать, что векторы (3; 1; 4), (2; 1; –1), (1; –1; 5) образуют базис трехмерного пространства. Найти координаты вектора (5; 0; 3) в этом базисе. |
Решение:
Вычислим смешанное произведение векторов :
.
Так как смешанное произведение отлично от нуля, то векторы некомпланарны и образуют базис. Координаты вектора в этом базисе найдем, разложив его по векторам следующим образом:
,
а координаты вектора в новом базисе найдем из системы уравнений (20)
или
Решим эту систему для заданных векторов методом Гаусса.
Поменяем местами первое и второе уравнения
.
После этого умножим первое уравнение на (–3) и сложим со вторым. Далее умножим первое уравнение на (–4) и сложим с третьим. Получим:
.
Затем умножаем второе уравнение на (−5) и складываем с третьим:
.
Из последнего уравнения имеем γ= 2. Подставляем это значение во второе уравнение, получаем β= 3 и, наконец, из первого уравнения находим α= –1.
Таким образом, подставив в уравнение (19) координаты вектора , получим
.
Задача 4.
Теоретические сведения.
Неоднородная система трех уравнений с тремя неизвестными в общем случае имеет вид
и может быть записана в матричном виде
А·Х = Н, (21)
где -матрица коэффициентов при неизвестных,
- матрица-столбец неизвестных,
матрица-столбец свободных членов.
Если матрица А – невырожденная, то есть имеет определитель, отличный от нуля, то существует матрица А-1, обратная к А, так что А-1·А=Е (Е - единичная матрица). Умножим обе части уравнения (22) на А-1 и получим
А-1·А·Х =А-1· Н,
или
Х =А-1· Н, (23)
поскольку А-1·А·Х=Е·Х=Х.
Равенство (23) является решением системы уравнений (22).
Матрица, обратная к невырожденной матрице А, находится по формуле
, (24)
где Аіј (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) – алгебраическое дополнение элемента аij, которое является произведением (-1)i+j на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиваем i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А; Δ – определитель матрицы А.
Пример выполнения задания.
Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы: |
Решение:
Выпишем для данной системы уравнений матрицу коэффициентов при неизвестных А и столбец свободных членов Н:
, .
Вычислим определитель Δ и алгебраические дополнения Аіј элементов матрицы А:
,
следовательно, матрица А имеет обратную матрицу А-1.
, ,
Тогда по формуле (24) обратная матрица равна
.
По формуле (23) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:
.
Отсюда х1= 3, х2= 0, х3= −2.
Задача 5.
Теоретические сведения.
Число A называют пределом функции y=f(x) в точке a , если эта функция определена в некоторой окрестности точки a , за исключением, быть может, самой точки a , и для каждого e>0 найдется такое d>0, что для всех x, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство :
Вычисление пределов арифметических выражений по пределам функций , из которых они составлены, не всегда возможно. В этих случаях говорят, что возникают неопределенности следующих видов:
.
Для нахождения пределов таких неопределенных выражений нужно
учитывать конкретный вид функции Например,
; (25)
предел отношения двух многочленов ;
первый замечательный предел ; (26)
второй замечательный предел . (27)
Величина называется бесконечно малой при , если . Две бесконечно малые величины называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1, то есть , если . Под знаком предела любая бесконечно малая величина может быть заменена на эквивалентную ей. Приведем таблицу эквивалентных бесконечно малых при величин:
, , ,
, , . (28)
Пример выполнения задания.
Вычислить пределы: а) , б) , в) ,г) . |
Решение:
а) Подстановка предельного значения аргумента х=-3 приводит к неопределенному выражению вида .
Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель (х+3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (х+3) отличен от нуля при х→ −3:
.
б) При х→ ∞ выражение дает неопределенность вида (∞ − ∞). Для ее устранения умножим и разделим это выражение на , после чего разделим числитель и знаменатель полученной дроби на х , учитывая формулу (25):
.
в) При получим неопределенность . Обозначим arctg5x = y. Тогда 5х=tgy и y → 0 при х → 0. Применяя свойства пределов и формулу (26), имеем:
.
Эту задачу можно решить, используя эквивалентные замены бесконечно малых величин (28). Поскольку при эквивалентны , можно записать
.
г) При выражение является неопределенностью вида . Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой (при х → ∞) величины; после чего применим формулу второго замечательного предела (27):
.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 Основная литература
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры : Учебник для вузов / Д.В.Беклемишев .— 9-е изд., испр. — М.: Физматлит, 2002 .— 376с.
2. Ильин В.А., Аналитическая геометрия : учебник для вузов / В.А.Ильин, Э.Г.Позняк .— 6-е изд.,стер. — М. : Физматлит, 2002 .— 240с.
3. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии: учебное пособие для втузов / под ред. Н.В.Ефимова .— 17-е изд., стер. — СПб. : Профессия, 2004 .— 200с.
4. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты : учеб. пособие / Л. А. Кузнецов .— 9-е изд., стер .— СПб. [и др.] : Лань, 2007 .— 240 с.
5. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа : учеб. пособие для вузов / А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович .— 14-е изд., стер. — СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2008 .— 736 с.
6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления : учеб. пособие для втузов.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
ПО КУРСУ «МАТЕМАТИКА» (ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР)
Тула 2012
Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры математического моделирования механико-математического факультета,
протокол № 11 от "21" июня 2011 г.
Данные методические указания написаны в помощь студентам технических специальностей для самостоятельной работы в первом семестре. Рассмотрены решения типовых задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, введению в математический анализ, а также даны необходимые теоретические сведения и ссылки на литературу.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1.
Теоретические сведения.
В прямоугольной декартовой системе координат Oxyz положение любой точки задается тремя числами – координатами : (рисунок 1).
Рисунок 1.
Расстояние между двумя точками и определяется по формуле
. (1)
При решении задач аналитической геометрии на плоскости необходимы следующие сведения о прямой линии:
1) если точка М(x; y) делит отрезок М1М2 (М1(х1; у1) и М2(х2; у2)) в отношении λ, то координаты этой точки выражаются формулами
, , (2)
если же точка М(x; y) - середина отрезка М1М2, то
, ; (3)
2) уравнение прямой, проходящей через точку М1(x1; y1) и имеющей данный угловой коэффициент k, записывается в виде
; (4)
3) уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(x1; y1) и М2(x2; y2), имеет вид
, при этом ; (5)
4) острый угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами k1 и k2 определяется по формуле
, (6)
при этом условие параллельности прямых имеет вид k1=k2, а условие перпендикулярности ; (7)
5) если прямая на плоскости задана общим уравнением Ах+Ву+С=0, то - ее угловой коэффициент;
6) если в общем уравнении прямой поделить все члены на , получим уравнение прямой в отрезках:
, где , ; (8)
7) точка пересечения двух прямых А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0 определяется из решения системы уравнений
. (9)
Уравнение окружности с центром в точке и радиусом R имеет вид
. (10)
Пример выполнения задания.
Даны вершины треугольника АВС: А(– 4;8), В(5; – 4), С(10;6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD в общем виде и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр. |
Решение:
1) Расстояние d между двумя точками на плоскости определяется по формуле (1), в которую подставлены значения координат точек А и В (положим ), тогда
.
2) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки имеет вид (5):
Подставив в (5) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:
, , ,
, или (АВ).
Для нахождения углового коэффициента kAB прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно y: . Отсюда . Подставив в формулу (5) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС: , , ,
или x + 7y – 52 = 0 (AC).
Отсюда .
3) Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k1 и k2, определяется по формуле (6). Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (6), подставив в нее , .
,
рад.
4) Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых связаны соотношением (7), поэтому
.
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном угловым коэффициентом k направлении, имеет вид (4). Подставив в (4) координаты точки С и , получим уравнение высоты СD:
, , (CD).
Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (СD):
, откуда х = 2, y = 0, то есть D (2;0).
Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, находим:
.
5) Так как СD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулой (3) деления отрезка пополам, получим:
, .
Следовательно, Е (6; 3) и . Используя формулу (10), получаем уравнение искомой окружности: (х – 6)2+( y – 3)2 = 25.
Задача 2.
Теоретические сведения.
Если известны начало вектора и конец , то координаты вектора находятся по формулам
, , , (11)
а его длина определяется выражением
. (12)
Вектор с координатами может быть представлен разложением по ортам в виде
. (13)
Если α, β, γ – углы, которые вектор образует с положительными направлениями осей координат, то cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора (рисунок 2). Тогда имеют место соотношения
, , , .
Для векторов и вводятся операции сложения и умножения на число такие, что
и ,
где − любое число.
Рисунок 2.
Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, или, если векторы заданы своими координатами, то
. (14)
Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называют коллинеарными. Признак коллинеарности векторов и является пропорциональность их координат:
. (15)
Если векторы и взаимно перпендикулярны, то . Угол между векторами и определяется соотношением:
. (16)
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид
. (17)
Пример выполнения задания.
Даны координаты трех точек: А(3; 0; –5), В(6; 2; 1), С(12; –12; 3). Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору . |
Решение:
1) Найдем координаты вектора , подставив в формулу (11) координаты точек А и В, и запишем разложение этого вектора по ортам (13):
.
Подобным образом
.
Модули векторов и найдем, подставляя их координаты в формулу (12):
, .
2) Найдем косинус угла φ между векторами и . Для этого вычислим их скалярное произведение по формуле (14):
.
Тогда по формуле (16)
, φ ≈ 64˚37΄ ≈1,13 рад.
3) По условию задачи искомая плоскость проходит через точку С(12; –12; 3) перпендикулярно вектору . Подставляя в (17) А= 3, В= 2, С= 6, х0= 12, у0= −12, z0= 3, получим:
3(х – 12) +2 (y + 12) + 6(z – 3) = 0,
или 3х + 2у + 6z – 30 = 0 – искомое уравнение плоскост